1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 9及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.0B.1C.D.4.下列各题计算过程中正确的是( )（分数：2.00）A.数列极限B.C.D.5.下列各式中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在，但不为7.函数 f(x)=xsinx( )（分数：2.00）A.当 x
2、时为无穷大。B.在(一，+)内有界。C.在(一，+)内无界。D.当 x时有有限极限。8.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有界，则y n 必为无穷小。D.若 9.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立。B.b n c n 对任意 n成立。C.极限D.极限10.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数：2.00）A.存在且等于零。B.存在但不一定为零。C.一定不存在。D.不一定存在。11.设函数 f(x)在(一，
3、+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛。B.若x n 单调，则f(x n )收敛。C.若f(x n )收敛，则x n 收敛。D.若f(x n )单调，则x n 收敛。12.设 f(x)=2 x +3 x 一 2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)与 x是等价无穷小。B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小。C.f(x)是比 x高阶的无穷小。D.f(x)是比 x低阶的无穷小。13.设 f(x)可导 f(x)=0,f“(0)=2，F(x)= 0 2 t 2 f(x 3 一 t 3 )dt，g(x)= （分数：
4、2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。14.当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 3 。B.1一 cosx。C.D.x一 tanx。15.当 x0 + 时，与 （分数：2.00）A.B.C.D.16.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，。B.，。C.，。D.，。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.当 x0 时，(x)=kx 2 与 （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_20.= 1.
5、 （分数：2.00）填空项 1:_21.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_23.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_24.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_25.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_26.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_28.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )，其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的
6、无穷小；（分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.求极限 （分数：2.00）_31.求极限 （分数：2.00）_32.求极限 （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 9答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用推演法。将题设条件 f(x)中的所有自变量 x都用(一 x)替换，得 也就是3.设 （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：因为|f(x)|1
7、恒成立，所以 ff(x)=1恒成立，从而 ff(x)=f(1)=1。故选 B。4.下列各题计算过程中正确的是( )（分数：2.00）A.数列极限B.C.D. 解析：解析：A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则。B 项错误， 是定式，不能用洛必达法则。C 项错误，用洛必达法则求5.下列各式中正确的是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 可立即排除 B、D。对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。对于 C选项，因6.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在，但不为 解析：解析：因7.函数 f(x)=xsinx( )
8、（分数：2.00）A.当 x时为无穷大。B.在(一，+)内有界。C.在(一，+)内无界。 D.当 x时有有限极限。解析：解析：8.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有界，则y n 必为无穷小。D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足题设条件，由此可排除 A、B。若取 x n =0，y n =n，也满足 9.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立。B.b n c n 对任意 n成立。C.极限D.极限 解析：解析：
9、由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除 A、B；而极限 a n c n 是一个0*型未定式极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除 C；极限 b n c n 是 1.型，必为无穷大量，即极限不存在。因此选项 D正确。也可用举反例法，取 10.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数：2.00）A.存在且等于零。B.存在但不一定为零。C.一定不存在。D.不一定存在。 解析：解析：取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且 ，但 不存在，故 A、B排除。再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 ， 但11.设
10、函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛。B.若x n 单调，则f(x n )收敛。 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛。D.若f(x n )单调，则x n 收敛。解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内单调有界，且结合选项 B，x n 单调，所以f(x n )单调且有界。故f(x n )一定存在极限，即f(x n )一定收敛。12.设 f(x)=2 x +3 x 一 2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)与 x是等价无穷小。B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小。 C.f(x
11、)是比 x高阶的无穷小。D.f(x)是比 x低阶的无穷小。解析：解析：利用洛必达法则求解。因13.设 f(x)可导 f(x)=0,f“(0)=2，F(x)= 0 2 t 2 f(x 3 一 t 3 )dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。 解析：解析：先改写14.当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 3 。B.1一 cosx。C.D.x一 tanx。 解析：解析：利用常用的等价无穷小结论。由于 x0 时，15.当 x0 + 时，与 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解
12、析：当 x0 + 时，有以下等价无穷小： 由排除法可知正确选项为 B。本题也可以利用另外的方法来解答。 或者直接分解 16.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，。B.，。 C.，。D.，。解析：解析：因为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.当 x0 时，(x)=kx 2 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，18.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：运用洛必达法则，则有20.= 1
13、. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：21.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 且 aretanx为有界函数，即24.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：25.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：26.= 1. （分数：2.00）填
14、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：6，分数：12.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：28.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )，其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将麦克劳林展开式 代入已知等式得 )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(cosx)=ln(1+cossx一 1)，所以 ， 又由麦克劳林展开式 因此)解析：32.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 )解析：
