1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 21及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )。B.0。C.2f x (x 0 ，y 0 )。D.3.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。B.x 1
2、x 2 ，y 1 y 2 。C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。5.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 。B.I 1 I 2 I 3 。C.I 2 I 1 I 3 。D.I 3 I 1 I 2 。6.设函数 f()连续，区域 D=(x，y)x 2 +y 2 2y，则 （分数：2.00）A. 1 1 dx B.2 0 2 dy C. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos)dr。D. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos)rdr7.设函数 f(x)连续，若 F(，)= dxdy，其中区域 D 为图 141中阴影部分，则
3、=( ) （分数：2.00）A.f( 2 )。B.C.f()。D.f()。8.f(rcos，rsin)rdr(a0)，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 y 2 a 2 (x0)。C.x 2 y 2 ax。D.x 2 y 2 ax(y0)。9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)= ，其中 D表示区域 0x1，0y1，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=f(lnx+ )，其中函数 f()可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.
4、设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z= f(xy)+y(x+y)，f， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 =一 siny+ （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)，g(x)是连续函数，F(x，y)= 1 x d 0 y f(t)g( )dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.
5、证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_19.设 z= （分数：2.00）_20.设 z=fxy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_21.设函数 f(x，y)=3x+4yx 2 一 2y 2 一 2xy。试问参数 ， 满足什么条件时，函数有唯一极大值?有唯一极小值?（分数：2.00）_22.求z在约束条件 （分数：2.00）_23.计算 (x 2 +y 2 )dxdy，其
6、中 D是由 y=一 x， （分数：2.00）_24.计算二重积分 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.计算二重积分 (x+y) 3 dxdy，其中 D由曲线 x= =0及 x一 （分数：2.00）_27.计算二重积分 （分数：2.00）_求下列积分。（分数：4.00）(1).设 f(x)= 1 x e y2 dy，求 0 1 x 2 f(x)dx；（分数：2.00）_(2).设函数 f(x)在0，1连续且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x(f(y)dy。（分数：2.00）_考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 21答案解析(总分：56.00，做题
7、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )。B.0。C.2f x (x 0 ，y 0 )。 D.解析：解析：由题意 3.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微4.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。B
8、.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。 解析：解析：由 5.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 。 B.I 1 I 2 I 3 。C.I 2 I 1 I 3 。D.I 3 I 1 I 2 。解析：解析：在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1上， 有 0x 2 +y 2 1，从而有 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 ) 2 0。 已知函数 cosx在(0， )上为单调减函数，于是 0 6.设函数 f()连续，区域 D=(x，y)x 2 +y 2 2y，则 （分数：2.00）A. 1 1 dx B
9、.2 0 2 dy C. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos)dr。D. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos)rdr 解析：解析：积分区域 D=(x，y)x 2 +y 2 2y(如图 143)。在直角坐标系下， 故排除 A、B 两个选项。 在极坐标系下 7.设函数 f(x)连续，若 F(，)= dxdy，其中区域 D 为图 141中阴影部分，则 =( ) （分数：2.00）A.f( 2 )。 B.C.f()。D.f()。解析：解析：题设图象中所示区域用极坐标表示为 0，1r。 因此可知 F(，)= = 1 f(r 2 )dr， 根据变限积分求导可得 8.f(rcos，r
10、sin)rdr(a0)，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 y 2 a 2 (x0)。C.x 2 y 2 ax。 D.x 2 y 2 ax(y0)。解析：解析：由 r=acos 知 r 2 =arcos，即 x 2 +y 2 =ax(a0)，故选 C。9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)= ，其中 D表示区域 0x1，0y1，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知：11.设 z=f(
11、lnx+ )，其中函数 f()可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 所以12.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2xy)dxxdy）解析：解析：利用变量替换，设 xy=， =，则有 x 2 = ，y 2 =，f(，)=( 13.设 z= f(xy)+y(x+y)，f， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf (xy)+ (x+y)+y (x+y)）解析：解析：由题干可得： f (xy)+y (x+y)， 14.设 =一 sin
12、y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2 一 x)siny+*）解析：解析：由 ，有 z(x，y)=(siny+ )dx=一 xsiny一 ln1 一 xy+g(y)。 又根据已知可得 z(1，y)=一 siny ln1 一 y+g(y)=siny， g(y)=2siny+ ln1y， 从而 z(x，y)=(2 一 x)siny+15.设 f(x)，g(x)是连续函数，F(x，y)= 1 x d 0 y f(t)g( )dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xg( ）解析：解析：因为 F(x，y)= 1 x df(t)g( )dt，于是 1
13、6.D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+sin1+cos1 一 2sin2一 cos2）解析：解析：积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x，0x1，则 (1+x)sinyd = 0 1 dx 0 1x sinydy = 0 1 (1+x)一(1+x)cos(1+x)dx， 利用换元法，令 1+x=t，x0，1时，t1，2，则 (1+x)sinyd = 1 2 ttcostdt= 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.
14、证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则等式z=Ax+By+ 成立。令 y=0，于是 ， 令 )解析：19.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 。而且 f(x)是一元函数 f()与二元函数 =xy 的复合， 是中间变量；(xy)是一元函数 ()与二元函数 =x+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得 +(x+y)+y (x+y) (x+y) =
15、f (xy)+(x+y)+y (x+y)， )解析：20.设 z=fxy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 =f 1 xy，yg(x)y+f 2 xy，yg(x)yg (x)， =f 11 xy，yg(x)xy+f 12 xy，yg(x)yg(x)+f 1 xy，yg(x)+f 21 xy，yg(x)xyg (x)+f 22 xy，yg(x)yg(x)g (x)+f 2 xy，yg(x)g (x)。 由 g(x)在 x=1处取得极值 g(1)=1，可知 g (1)=0。 故
16、 )解析：21.设函数 f(x，y)=3x+4yx 2 一 2y 2 一 2xy。试问参数 ， 满足什么条件时，函数有唯一极大值?有唯一极小值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据取得极值的必要条件，得方程组 系数行列式=4(2 2 一 2 )，所以当0 时，f(x，y)有唯一驻点，即 )解析：22.求z在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+3y+3z 一 5)。 且令 解得 (x，y，z) 1 =(1， ，1)， (x，y，z) 2
17、=(5， ，5) 所以当 x=1，y= 时，z=1 最小；当 x=一 5，y= )解析：23.计算 (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D是由 y=一 x， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 一 2x+y 2 =0 (x一 1) 2 +y 2 =1； y=一 x与 x 2 +y 2 =4的交点为 ； y=一 x与 x 2 一 2x+y 2 =0的交点为(0，0)和(1，一 1)； x 2 +y 2 =4与 x 2 一 2x+y 2 =0的交点为(2，0)。 )解析：24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意， 令 =cos 得，原式= )解析：25.
18、计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因此 )解析：26.计算二重积分 (x+y) 3 dxdy，其中 D由曲线 x= =0及 x一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 1422所示，D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0y1， ； D 2 =(x，y)一 1y0， 由于 (x+y) 3 dxdy= (x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 )dxdy， 且区域 D关于 x轴是对称的，被积函数 3x 2 y+y 3 是 y的奇函数，所以 (3x 2 y+y 3 )dxdy=0。 )解析：27.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确
19、答案：由题设知，积分区域是如图 1425所示的六边形区域，且 D=D 1 +D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1，1 一 xy2， D 2 =(x，y)1x2，0y3 一 x。 于是 )解析：求下列积分。（分数：4.00）(1).设 f(x)= 1 x e y2 dy，求 0 1 x 2 f(x)dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).设函数 f(x)在0，1连续且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x(f(y)dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= x 1 f(y)dy，则 (x)=一 f(x)，于是 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy= 0 1 x 1 f(y)dyf(x)dx=一 0 1 (x)d(x) = 2 (x) 0 1 = )解析：
