1、考研数学二（常微分方程）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为 ( )（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y
2、“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=04.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)- 2 (x)C.C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)- 2 (x)+C 2 (x)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1（分数：2.00
3、）填空项 1:_7.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_10.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_11.以 y=C 1 e -2x +C
4、2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_16.求微分方程 yy“-y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00
5、）_17.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_19.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_20.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_21.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_22.求 y“-2y“-e x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_23.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.0
6、0）_24.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_25.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_27.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_28.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一
7、点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行（分数：2.00）_29.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_30.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)-f(x)=a(x-1)y-f(x)，=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 z 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题
8、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为 1 =-2， 2 =2 y“-4y=e 2x 的特解形式为 y=axe 2x ， y“-4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+C，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选(D
9、)3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为 ( )（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0 B.y“+y“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，其特征方程为(-1) 2 (+1)=0，即 3 - 2 -+1=0，所求的微分方程为 y“-y“-y“+y=0，选(A)4.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐
10、次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)- 2 (x)C.C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)- 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)- 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x)，选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.yy“=1+y“ 2 满足初始
11、条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x）解析：解析：令 y“=p，则 ，解得 In(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ，则 1+p 2 =C 1 y 2 ，由 y(0)=1，y“(0)=0 得 y“= +C 2 =x，由 y(0)=1 得 C 2 =0，所以特解为 6.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 cosx+C 2 sin2x+x-2）解析：解析：微分方程两个特征值为 1 =-2i， 2 =2i， 则微分方程的通解为 y=C 1 cosx+C
12、2 sin2x+x-27.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意得 y(0)=0，y“(0)=2， y“-6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 -6+9=0，特征值为 1 = 2 =3， 令 y“-6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代人得 a= 故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)
13、=2xe 3x + 8.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=p，则 y“= ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ，由 y(-2)=1，y“(-2)=1，得 C 1 =0，所以y“= ，再由 y(-2)=1，得 C 2 =0，所求特解为= 9.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：由 xy“=10.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，
14、则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2）解析：解析：显然 =-4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=-12， 即特征方程为 2 +-12=0，特征值为 1 =-4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19， 且通解为 y=C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数
15、)11.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y“+y“-2y=-sinx-3cosx）解析：解析：特征值为 1 =-2， 2 =1，特征方程为 2 +-2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“-2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为 y“+y“-2y=-sinx-3cosx12.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_
16、（正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x）解析：解析：因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征值，即(-1) 2 -3(-1)+a=0 a=-4， 所以特征方程为 2 -3-4=0 13.设 f(x)可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -x）解析：解析：由 整理得 f(x)+ 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正
17、确答案：令 y“=p，则 y“= 由 y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 y“= )解析：16.求微分方程 yy“-y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 y“= =0当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 由 y(0)=y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 )解析：17.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3，则原方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 3x)解析：18.求微分方程
18、y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =-2，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x)解析：19.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -+2=0，特征值为 1,2 = 则原方程的通解为 y= )解析：20.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，所以
19、 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =-1， 2 =2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2 -2=0，所求的微分方程为 y“-y“-2y=0)解析：21.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2-3=0，特征值为 1 =1， 2 =-3，则 y“+2y“-3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 a= 所以原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x + )解析：22.求 y“
20、-2y“-e x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 y“-2y“=e 2x 特征方程为 2 -2=0，特征值为 1 =0， 2 =2， y“-2y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 设方程 y“-2y“=e 2x 的特解为 y 0 =Axe 2x ，代入原方程得 A= 原方程的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x + 由 y(0)=1，y“(0)=1 得 故所求的特解为 y= )解析：23.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4
21、=0，特征值为 1 = 2 =-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x (1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x + (2)当 a=-2 时，因为a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e -2x ， 代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x + )解析：24.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
22、：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =-i， 2 =i，方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y=x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x 2 +1+ 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ )解析：25.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 F=ma= 解此微分
23、方程得 v(t)=v 0 e -t 由 v 0 e -t = 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 )解析：26.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 )解析：27.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y“(X-x) 令 X=0，则 Y
24、=y-xy“，故 A点的坐标为(0，y-xy“) 由MA=OA，得y-xy“= 即 2yy“- 因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 )解析：28.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 令 Y=0，得X=x+yy“，该点到 z 轴法线段 PO 的长度为 由题意得 ，即 yy“-1+y“ 2 令 y“=p，则 y“= ，由
25、y(1)=1，y“(1)=0 得 C 1 =1，所以 y“= )解析：29.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 )解析：30.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)-f(x)=a(x-1)y-f(x)，=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 z 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e -1dx dx+Ce -dx =Ce x -ax， 由f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e x -ax 由 V“(a)= )解析：
