1、考研数学二（常微分方程）-试卷 5 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+)B.(一，0C.(一，4D.(一，+)3.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“一 6y
2、“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=04.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 2y=3xe x B.y“一 y“一 2y=3e x C.y“+y“一 2y=3xe x D.y“+y“一 2y=3e x 5.设 是微分方程 的解，则 （分数：2.00）A.1B.1C.1D.16.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4D.一 xy=47.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y
3、“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C(y 1 (x)一 y 2 (x)8.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2
4、 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 9.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x B.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+xD.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1（分数：2.00
5、）填空项 1:_11.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方
6、程为 1.（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：12.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u “(u，v)+f u “(u，v)=sin(u
7、+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x （分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_(2).求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(-t 2 )dt 的拐点（分数：2.00）_24.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y
8、(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 5 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知微分方程 y
9、“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+) B.(一，0C.(一，4D.(一，+)解析：解析：方程 y“+by“+y=0 的特征方程为 r 2 +6r+1=0，特征根为 (1)b 2 4 时，原方程通解为 (2)b 2 =4 时，原方程通解为 (3)b 2 4 时，原方程通解为 3.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0 C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y
10、“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，r=一 1，一 1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r1)(r+1) 2 =0，即 r 3 +r 2 一 r1=0，对应的微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0，故选 B4.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 2y=3xe x B.y“一 y“一 2y=3e x C.y“+y“一 2y=3xe x D.y“+y“一 2y=3e x 解
11、析：解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1， 2 =一2因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0故对应的齐次微分方程为 y“+y“一 2y=0又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解，而 =1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为 f(x)=Ce x (C 为常数)比较四个选项，应选 D5.设 是微分方程 的解，则 （分数：2.00）A.1 B.1C.1D.1解析：解析：6.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2
12、y=4 D.一 xy=4解析：解析：原微分方程分离变量得 7.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C(y 1 (x)一 y 2 (x) 解析：解析：由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的解8.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是
13、二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y 3 )，(y 2 一 y 3 )都是齐次线性
14、方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的解，且(y 1 一 y 3 )与(y 2 一 y 3 )线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选 D9.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x B.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x D.y=C
15、 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )解析：解析：方程 y“+p(x)y“+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x 2 )和(x 一 e x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x，故选 C二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x）解析：解析：对应的特征方程为 r 2 一 2r+2=0，解得
16、其特征根为 r 1,2 =1i由于 =1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =Ae 2 ，代入原方程解得 A=1因此所求的通解为 y=C 1 e x eosx+C 2 e x sinx+e x 11.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 2e 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 一 4r+3=0，解得 r 1 =1，r 2 =3则对应齐次线性微分方程 y“-4y“+3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 设非齐次线性微分方程 y“-4
17、y“+3y=2e 2x 的特解为 y * =ke 2x ，代入非齐次方程可得 k=-2故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x 12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析：将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，则 13.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx，C 是任意常数）解析：解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知14.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e
18、 x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：显然 y 1 一 y 3 =e 3x 和 y 2 y 2 =e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解且 y * =一 xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e 一 xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数15.设 y=e x (as
19、inx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“-2y“+2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r 1 ，r 2 =1i，因此特征方程为(r-r 1 )(rr 2 )=r 一(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =r 2 一 2r+2=0故，所求微分方程为 y“一 2y“+2y=016.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe 1-x）解析：解析：此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 ，所以原方程可化为 17.微分方程 xy
20、“+3y“=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 p=y“，则原方程化为 ，其通解为 p=Cx -3 因此， 18.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=Cxe -x (x0)）解析：解析：原方程等价为 19.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将已知微分方程变形整理得，20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为21.微分方程 （分数：2.00）
21、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：5，分数：12.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u “(u，v)+f u “(u，v)=sin(u+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)=e -2x f(x，x)，有 y“(x)=一 2 -2x f(x，x)+e -2x f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x)，由 f u “(u，v)+f v “(u，v)=sin(u+v)e u+v
22、 可得 f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x)=(sin2x)e 2x 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y“(x)+2y(x)=sin2x通解为 y(x)=e -2x sin2x.e 2x dx+C，由分部积分公式，可得 )解析：已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x （分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次微分方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r 一 2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =一 2，因此该齐次微分方程的通解为
23、f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 再由 f“(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x 一 3C 2 e -2x =2e x 因此可知 C 1 =1，C 2 =0所以 f(x)的表达式为 f(x)=e x )解析：(2).求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(-t 2 )dt 的拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线方程为 )解析：24.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为
24、曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(X 一 x)它与 x 轴的交点为 由于 y“(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0) 于是 又 S 2 = 0 x y(t)dt.根据题设2S 1 一 S 2 =1，有 并且 y“(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 ，这是可降阶的二阶常微分方程，令 P(y)=y“，则上述方程可化 分离变量得 )解析：设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由反函数的求导公式知 于是有 )解析：(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程(*)所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求 ，因此 y“一 y=sinx 的通解是 )解析：
