1、考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 1及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在 处连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值3.若 f()3f() 2 1e 且 f(0)0，f()在 0 连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点B.f(0)是 f()的极小值C.f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)也不是 yf()的拐点D.f(0)是 f()的极大值4.设
2、f()在(，b)定义， 0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f()在(a，b)单调增加且可导，则 f()0(a，b)B.若( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点，则 f()0C.若 f( 0 )0，f( 0 )0，f( 0 )0，则 0 一定不是 f()的极值点D.若 f()在 0 处取极值，则 f( 0 )0二、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 （分数：2.00）_7.求函数 y （分数：2.00）_8.作函数 y （分数：2.00）_9.设 f()，g()在(a，b)内可导，
3、g()0 且 0 ( （分数：2.00）_10.证明：arctanarcsin （分数：2.00）_11.设 P()在0，)连续且为负值，yy(戈)在0，)连续，在(0，)满足 yP()y0且 y(0)0，求证：y()在0，)单调增加（分数：2.00）_12.设 g()在a，b连续，f()在a，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 （分数：2.00）_13.设 f()在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)f(b)，且 f()不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点 ，使得 f()0（分数：2.00）_14.证明方程 asinb(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab（分数：2.00）
4、_15.求证：e e 2cos5 恰有两个根（分数：2.00）_16.设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_17.讨论曲线 y2ln 与 y2ln 2 k 在(0，)内的交点个数(其中 k为常数)（分数：2.00）_18.证明： 2 ln(1)( （分数：2.00）_19.设 f()在1，)可导， f()kf(1)，在(1，)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f() （分数：2.00）_20.设 ae，0y （分数：2.00）_21.设 0 1 2 ，f()在 1 ， 2 可导，证明：在( 1 ， 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_22.设
5、f()在0，1可导且 f(1)2 f()d，求证： （分数：2.00）_23.已知以 2 为周期的周期函数 f()在(，)上有二阶导数，且 f(0)0设 F()(sin1) 2 )f()，证明 （分数：2.00）_24.设 ba0，f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得f() （分数：2.00）_25.设 f()在 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在 求证： （分数：2.00）_26.设有参数方程 （分数：2.00）_27.设 f()n(1) n (n为自然数)，()求 f()；()求证： （分数：2.00）_28.(
6、)设 f()在，)(，)连续，在(，)(8，)可导，又 f()A( f()A)，求证：f + ( 0 )A(f - ( 0 )A) ()设 f()在( 0 ， 0 )连续，在( 0 ， 0 )可导，又 （分数：2.00）_29.设 f()在(a，)内可导，求证： ()若 0 (a，)，f()0( 0 )，则 ； ()若 f()A0，则 （分数：2.00）_考研数学二（微分中值定理及其应用）-试卷 1答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在 处
7、连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值 解析：解析：由 f()在 a 连续 f()f(a)又 根据极限的保号性 0，当0a 时3.若 f()3f() 2 1e 且 f(0)0，f()在 0 连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点B.f(0)是 f()的极小值C.f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)也不是 yf()的拐点D.f(0)是 f()的极大值 解析：解析：由 f(0)0 知 0 是 f()的驻点为求 f(0)，把方程改写为 f()3f() 2 令 0，得 f(0) 4.设 f()在(，b)定义，
8、0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f()在(a，b)单调增加且可导，则 f()0(a，b)B.若( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点，则 f()0C.若 f( 0 )0，f( 0 )0，f( 0 )0，则 0 一定不是 f()的极值点 D.若 f()在 0 处取极值，则 f( 0 )0解析：解析：选项 A、B、D 涉及到一些基本事实 若 f()在(a，b)可导且单调增加推出 f()0(a，b) 若( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点，则 f( 0 )可能不存在 若 0 是 f()的极值点，则 f( 0 )可能不存在 因此选项 A、B、D 均不正确(如
9、图 41 所示)故选 C 二、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对于 f()：当 0 时 f()e 0，从而 f()在(0，)内无极值 当 0 时 f()(1)e ，令 f()0，得 1当 1 时 f()0，当10 时 f()0，故 f(1)e -1 为极小值 再看间断点 0 处，当 0 时 f()e 0f(0)；当 0 且 充分小时，f()e 20，故 f(0)0 为极大值 ()对于g()：当 0 时 g()e 0，从而 g()在(0，)内无极值 当 0 时
10、与 f()同，g(1)e -1 为极小值 在间断点 0 处 g(0)1当 0 时 g()1；当 0 且充分小时 g()为负值且g()1，从而有 g()1故 g(0)非极值)解析：7.求函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：1 ()由 y 则单调增区间(0，1)；单调减区间(，0)(1，)；极小值点 0 得出凹区间( ，1)(1，)，凸区间(， )；拐点 )解析：8.作函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：0 ()由 y ，y0 得 e，y ()渐近线：只有间断点 0由 可知，有垂直渐近线 0；由 0 可知，有水平渐近线 y0)解析：9.设 f()，g
11、()在(a，b)内可导，g()0 且 0 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以存在常数 c，使得 c( (a，b)，即 f()cg() ( )解析：10.证明：arctanarcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctanarcsin ，则 f() 0，(，) 得 f()为常数又 f(0)0 )解析：11.设 P()在0，)连续且为负值，yy(戈)在0，)连续，在(0，)满足 yP()y0且 y(0)0，求证：y()在0，)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yP()y0(0) 0(0)，又 y()在0，)连续，y()在0，)单
12、调 y(0)0 得 y()0(0) y()P()y()0(0) )解析：12.设 g()在a，b连续，f()在a，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f()在a，b上不恒为零，则 f()在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f( 0 ) f()0，则 0 (a，b)且 f( 0 )0，f( 0 )0 f( 0 )g( 0 )f( 0 )f( 0 )0 与已知条件矛盾同理，若 f( 1 ) f()0，同样得矛盾因此 f()0( )解析：13.设 f()在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)f(b)，且 f()不恒为常数，求证：在(a，b)内存
13、在一点 ，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若不然 (a，b)，f()0 f()在a，b单调不增a，b，f(a)f()f(b) )解析：14.证明方程 asinb(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()asinb，即证它在(0，ab有零点显然，f()在0，ab 若 f(ab)0，则该方程有正根 ab若 f(ab)0，则由连续函数零点存在性定理 )解析：15.求证：e e 2cos5 恰有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f()e e 2cos5 在(，)恰有两个零点由于 f()e e 2sin，
14、f()e e 2cos22cos0 (0)， 因此f()在(，) 又 f(0)0 f()在(，0单调下降，在0，)单调上升 又 f(0)10， f()，因此 f()在(，0)与(0，)各 )解析：16.设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()k 1(0)，则 ()当 k0 时，f()0，f()单调减少，又 故 f()此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f()0 得 ，由于f()0， 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 10 时，有 k，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0及 k )解析：17.讨论曲
15、线 y2ln 与 y2ln 2 k 在(0，)内的交点个数(其中 k为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()2ln 2 k2ln(0，)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f()的零点个数由 f()2 (ln1)， 令 g()ln1 g() 令 f()0 可解得唯一驻点 0 1(0，) 当 01 时 f()0，f()在(0，1单调减少；而当 1 时 f()0，f()在1，)单调增加于是 f(1)2k 为 f()在(0，)内唯一的极小值点，且为(0，)上的最小值点因此 f()的零点个数与最小值 f(1)2k 的符号有关 当 f(1)0 即 k2 时 f()在(0，)内恒值函数，
16、无零点 当 f(1)0 即k2 时 f()在(0，)内只有一个零点 0 1 当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f()在0 + 与 的极限： )2(k)ln(ln2)， (2(k)ln(ln2)， 由连续函数的零点定理可得， )解析：18.证明： 2 ln(1)( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对 f(t)ln(1t)在0，区间用拉格朗日中值定理得 其中c(0，)因此 ln(1)(0) ()对 f(t)ln(1t)与 g(t)t t 2 在0，区间用柯西中值定理得 其中 c(0，)当 0 且 0 时，11c 2 0 1 ln(1) 2 若 0， 2 0，上式显然成立因此l
17、n(1) )解析：19.设 f()在1，)可导， f()kf(1)，在(1，)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知不等式得 在(1，)的 子区间不恒为零，两边乘 k 得 k .f()0(1)， 在(1，)的 子区间不恒为零，又 k+1 f()在1，)连续 )解析：20.设 ae，0y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把不等式改写成 注意到(a )a lna，(cos)sin，而sin1对 f(t)a t ，g(t)cost，在区间，y上应用柯西中值定理，即知存在满足0y 的 ，使得 即 a y a (
18、coscosy).a lna. )解析：21.设 0 1 2 ，f()在 1 ， 2 可导，证明：在( 1 ， 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 现对 与 e - 在 1 ， 2 用柯西中值定理， c( 1 ， 2 )，有 )解析：22.设 f()在0，1可导且 f(1)2 f()d，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() f()，则 F()在0，1可导，且 因此，由罗尔定理，(0，) (0，1)，使得 F() )解析：23.已知以 2 为周期的周期函数 f()在(，)上有二阶导数，且 f(0)0设 F()(sin1) 2 )f()
19、，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 F(0)F( )0，于是由罗尔定理知， ，使得，F( 1 )0又 F()2(sin1)f()(sin1) 2 f(z)， 对 F()应用罗尔定理，由于F()二阶可导，则存在 ，使得 F( 0 * )0 注意到 F()以 2 为周期，F()与 F()均为以 2 为周期的周期函数，于是 0 2 0 * ，即 0 (2， )解析：24.设 ba0，f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (
20、a，b)，使令 g()，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()(ab) )解析：25.设 f()在 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在 求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(1)(1，)，故由拉格朗日中值定理可知，存在()(ln(1)，)，使得 由此可得 由于当 0 时，有 1；当10 时，有 1 故由夹逼定理知， )解析：26.设有参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 3cos 2 t(sint)0，(t0，)，仅当 t0， ， 时为零，因而得 是 t的单调(减)函数 反函数 tt() ysin 3
21、t()y()，11 ()记 0t 当 t0， ， 时 反函数 tt()可导，得yy()可导，则 注意 yy()在1，1连续，t 与 的对应关系： 得 01时 y()单调下降，10 时 y()单调上升 因此 y()在1，0，0，1均是凹的yy()的图形如图 42 )解析：27.设 f()n(1) n (n为自然数)，()求 f()；()求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 f()n(1) n-1 1(n1) 0，得唯一驻点 n 又 f(0)f(1)0，f()n. 0因此 f()f( n ) ()注意 已知数列 单调下降极限为 )解析：28.()设 f()在，)(，)连续，在
22、(，)(8，)可导，又 f()A( f()A)，求证：f + ( 0 )A(f - ( 0 )A) ()设 f()在( 0 ， 0 )连续，在( 0 ， 0 )可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 另一类似 ()由题()得 f + ( 0 )f - ( 0 )A f( 0 )A直接证明 ()即证 f()中至少一个不 若它们均存在， f()A ，由题()得 f ( 0 )A 因 f()在 0 可导 A + A - f( 0 ) )解析：29.设 f()在(a，)内可导，求证： ()若 0 (a，)，f()0( 0 )，则 ； ()若 f()A0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 0 ，由拉格朗日中值定理， ( 0 ，)， f()f( 0 )f()( 0 )f( 0 )( 0 )， 又因 ()因 0，由极限的不等式性质 0 (a，)，当 0 时 f() 0，由题() )解析：
