1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 2及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X与 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立D.X+Y服从一维正态分布3.边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )（分数：2.00）A.必为二维正态分布B.必为均匀分布C.不一定为二维正态分布D.由两个边缘分布确定4.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 X服从 N(1，2)，Y
2、 服从 N(2，2)，Z 服从 N(3，7)，a=PXY，b=PYZ，则( )（分数：2.00）A.abB.abC.a=bD.a，b 大小不能确定5.设相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，则随机变量 Y=min(X 1 ，X 2 )的概率密度 f(x)=( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.f 1 (x)F 1 (x)+f 2 (x)F 2 (x)C.f 1 (x)1一 F 2 (x)+f 2 (x)1一 F 1 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)
3、F 1 (x)6.设(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y的条件下，X 的条件概率密度 f XY (xy)为( )（分数：2.00）A.f X (x)B.f Y (y) (c)f X (x)f Y (y)C.D.考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X 与 Y独立的充分必要条件是 X与 Y不相关7.设随机变量 X和 Y相互独立，且都服从指数分布 E()，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X+Y服从 E(2)B.X-Y服从 E(2)C.min(X，Y)服从 E(2)D.m
4、ax(X，Y)服从 E(2)8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1=PY=2= ， 记 F Z (z)= （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个9.设 X，Y 为连续型随机变量，且 PXY0= ，则 Pmin(X，Y)0=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，每个分布函数均为 F(x)，记 X=min(X 1 ，X n )，Y=max(X 1 ，X n )，则(X，Y)的分布函数 F(x，y)当 yx 时在(x，y)处的值为( )（分数：2.00）A.F(
5、x)F(y) nB.F(y) n 一F(y)一 F(x) nC.F(y) n 一F(y)一 F(x)F(y) n D.r(x) n 一F(x)一 F(y) n 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)11.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_14.一电子仪器由两部分构成，以 X和 Y分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知 X和 Y的联合分布函数为 F(x，y)
6、= （分数：2.00）_15.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_16.已知随机变量 X和 Y相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，求常数 R，使得概率 P （分数：2.00）_17.设随机变量 U在区间-2，2上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_18.设随机变量 X和 Y相互独立，概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_19.设(X，Y)概率密度 f(x，y)= （分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)在区域 b=(x，y)1x3，1y3上服从均匀分布，求 Z=XY的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_21.设随机变量 X
7、和 Y相互独立，都在(一 a，a)上服从均匀分布，求 Z=XY的概率密度。（分数：2.00）_22.设随机变量 X和 Y相互独立，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X和 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)= （分数：2.00）_24.设相互独立的两个随机变量 X，Y 服从相同的分布，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 2答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X与
8、 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立 D.X+Y服从一维正态分布解析：解析：事实上，X 与 Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系 (X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是 aX+bY服从一维正态分布，其中 x，b 不同时为 0即使(X，Y)服从二维正态分布，X 与 Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确3.边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )（分数：2.00）A.必为二维正态分布B.必为均匀分布C.不一定为二维正态分布 D.由两个边缘分布确定解析：解析：边缘分布可
9、由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确 例如，如果(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=4.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 X服从 N(1，2)，Y 服从 N(2，2)，Z 服从 N(3，7)，a=PXY，b=PYZ，则( )（分数：2.00）A.ab B.abC.a=bD.a，b 大小不能确定解析：解析：由于 X服从 N(1，2)，Y 服从 N(2，2)，且 X与 Y相互独立，从而 X一 Y服从 N(一 1，4)，同理 Y-Z服从 N(一 1，9)5.设相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数分别为 F 1 (x)和 F
10、2 (x)，概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，则随机变量 Y=min(X 1 ，X 2 )的概率密度 f(x)=( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.f 1 (x)F 1 (x)+f 2 (x)F 2 (x)C.f 1 (x)1一 F 2 (x)+f 2 (x)1一 F 1 (x) D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)解析：解析：Y=min(X 1 ，X 2 )的分布函数为 F Y (x)=1一1 一 F 1 (x)1一 F 2 (x)， 所以 f Y (x)=F“ Y (x)=f 1 (x)1一 F 2 (x)+f 2 (x)1
11、-F 1 (x)，因此选(C)6.设(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y的条件下，X 的条件概率密度 f XY (xy)为( )（分数：2.00）A.f X (x) B.f Y (y) (c)f X (x)f Y (y)C.D.考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X 与 Y独立的充分必要条件是 X与 Y不相关解析：解析：由于 X与 Y不相关，从而 X与 Y独立，所以 f XY (xy)=f X (x)7.设随机变量 X和 Y相互独立，且都服从指数分布 E()，则下列结论正确的是
12、( )（分数：2.00）A.X+Y服从 E(2)B.X-Y服从 E(2)C.min(X，Y)服从 E(2) D.max(X，Y)服从 E(2)解析：解析：由于 X和 Y相互独立，且都服从 E()，其分布函数为 F(x)= 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1=PY=2= ， 记 F Z (z)= （分数：2.00）A.0个B.1个 C.2个D.3个解析：解析：因为 X在区间(0，1)上服从均匀分布， 9.设 X，Y 为连续型随机变量，且 PXY0= ，则 Pmin(X，Y)0=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解
13、析：解析：事件max(X，Y)0的对立事件为X0，Y0， 由 Pmax(X，Y)0= 又XY0min(X，Y)0，且X0，Y0=min(X，Y)0一XY0， 故 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0+PXY0=10.设 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，每个分布函数均为 F(x)，记 X=min(X 1 ，X n )，Y=max(X 1 ，X n )，则(X，Y)的分布函数 F(x，y)当 yx 时在(x，y)处的值为( )（分数：2.00）A.F(x)F(y) nB.F(y) n 一F(y)一 F(x) n C.F(y) n 一F(y)一 F(x)F(y) n D.r(x) n 一F
14、(x)一 F(y) n 解析：解析：r(x，y)=PXx，Yy=Px+，Yy一 PXx，Yy =PYy一 PXx，yy =Pmax(X 1 ，X 2 ，X n )y-Pmin(X 1 ，X 2 ，X n )x，max(X 1 ，X 2 ，X n )y =F(y) n 一 PX 1 x，X n x，X 1 y，X n y =F(y) n 一 PxX 1 y，xX 2 y，xX n y =F(y) n 一 PxX 1 )，PxX 2 yPxX n y =F(y) n 一F(y)-F(x) n (yx)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)11.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知条件 X和 Y相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)，从而 Z=XY服从 N(0，2)，即 f Z (x)= 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 - + - + f(x，y)dxdy=1， 有 k 0 + xe -x dx 0 + e -xy dy=k 0 + e -x dx=k=1，得 k=1 (2)当 x0 时 f X (x)=f
16、(x，y)dy= - + f(x，y)dy= 0 + xe -x(1+y) =e -x 当 x0 时，f X (x)=0 )解析：14.一电子仪器由两部分构成，以 X和 Y分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知 X和 Y的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)关于 X和 Y的边缘分布函数为 F X (x)=F(x，+)= )解析：15.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.已知随机变量 X和 Y相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，求常数 R，使得概率 P （分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案： )解析：解析：考查利用二维正态分布计算事件概率的方法X 和 Y相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，可以得到(X，Y)的联合概率密度，在区域 17.设随机变量 U在区间-2，2上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X，Y)可能取的值为(一 1，一 1)，(一 1，1)，(1，一 1)，(1，1)， )解析：18.设随机变量 X和 Y相互独立，概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X和 Y相互独立，因此(X，Y)的概率密度为 )解析：解析：本题可以利用 X和 Y相互独立及它们的概率密度的
18、已知条件，求出(X，y)的概率密度f(x，y)，再求出 Z的分布函数 F Z (z)，从而求得 Z的概率密度 f Z (z)；也可以直接利用卷积公式求得f Z (z)，但要注意对 z的取值进行正确的分段19.设(X，Y)概率密度 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用公式 f Z (z)= - + f(x，2xz)dx由于 )解析：20.设二维随机变量(X，Y)在区域 b=(x，y)1x3，1y3上服从均匀分布，求 Z=XY的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 设 Z=XY的分布函数为 F Z
19、 (z)，则 F Z (z)=PX-Yz 当 z0 时，F Z (z)=0， )解析：21.设随机变量 X和 Y相互独立，都在(一 a，a)上服从均匀分布，求 Z=XY的概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 310所示，因为 X和 Y相互独立，都在(一 a，a)上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合概率密度为 设 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz= 当 z一 a 2 时，F Z (z)=0； 当 za 2 时，F Z (z)=1； 当 0za 2 时， )解析：22.设随机变量 X和 Y相互独立，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
20、Z=X+Y的分布函数为 F Z (z)，则 F Z (z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+YzX=1 +PX=2PX+YzX=2+PX=3PX+YzX=3 =04PYz-1+02PYz 一 2+04PYz 一 3 设 Y的分布函数为 F Y (y)，则 F“ Z (z)=04F Y (z-1)+02F Y (z一 2)+04F Y (z一 3)，从而 f Z (z)=F“ Z (z)=0f(z 一 1)+02f(z 一 2)+04f(z 一 3)解析：解析：独立情况下，考查一个离散型，一个连续型随机变量的函数的分布，用全概率公式来求分布函数，离散型随机变量取各值的事件为完备事件组23.设随
21、机变量 X和 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 X可能取值为 0和 1，由全概率公式，知 U=X+Y的分布函数为 F U (u)=PX+YM=PX=0PX+YuX=0+PX=1PX+Yux=1 = 概率密度为 f U (u)= )解析：解析：X 的分布函数为阶梯函数，因此 X是离散型随机变量，Y 是连续型的，因此先找到 X的概率分布，再便用全概率公式求 U的分布函数24.设相互独立的两个随机变量 X，Y 服从相同的分布，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X，Z)可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) )解析：
