1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 16 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似。C.矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交。D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。3.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A
2、 2 。C.A 1 。D.AE。4.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。5.已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=一 2，b=6。B.a=2，b=一 6。C.a=2，b=6。D.a=一 2，b=一 6。6.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T ； E 一 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。7.n 阶矩阵 A 和 B 具
3、有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。9.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则
4、( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征向量两两正交。B.A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组。C.对于 A 的 k 重特征值 0 ，有 r( 0 E 一 A)=n 一 k。D.对于 A 的 k 重特征值 0 ，有 r( 0 E 一 A)=k。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，一 1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设
5、 =(1，一 1，a) T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.若矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 i =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、_20.n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_21.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_22.已知 A= （分数：2.00）_已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x 与 y；（分数：2.00）_(2).求一个满足 P 1 AP=B 的可逆矩阵 P。（分数：2.00）_23.设矩阵 （分数：2.00）_某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经
7、过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：2.00）_(2).验证 （分数：2.00）_(3).当 （分数：2.00）_A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_24.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为P 1 =(1，2，2) T ，P 2 =(2，1，一
8、 2) T ，求 A。（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2， 1 =(1，一 1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 B。（分数：2.00）_25.29设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 16 答案解析(总分：66.00，做题
9、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似。C.矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交。 D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。解析：解析：因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一 1，0，一 2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆。故选 A。 因为矩阵 A+E 的
10、特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。(或由3.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。 B.A 2 。C.A 1 。D.AE。解析：解析：由于EA T =(EA) T =EA，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A与 A T 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2 = 2 ，A 1 = 1 ，(AE)=(1)， 说明 A 2 、A 1 、AE 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选 A。4.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（
11、分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。 解析：解析：考查下列矩阵5.已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=一 2，b=6。 B.a=2，b=一 6。C.a=2，b=6。D.a=一 2，b=一 6。解析：解析：设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 即有6.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T ； E 一 （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：由
12、 A=，0，有 A 2 =A()=A= 2 ，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 知 必是矩阵 E 一 A 属于特征值 1 一 7.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。 C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，故 E 一 B=E 一 P 1 AP=P 1 (EA)P =P 1 EAP=EA， 即 A 与 B 有相同的特征值。 但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似。例如 8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，
13、A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，于是 P 1 A 2 P=B 2 ，P T A T (P T ) 1 =B T ，P 1 A 1 P=B 1 ， 故 A 2 B 2 ，A T B T ，A 1 B 1 。 又由于 A 可逆，可知 A 1 (AB)A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选 D。9.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.(
14、1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。 解析：解析：若 P 1 AP= 10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征向量两两正交。B.A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组。C.对于 A 的 k 重特征值 0 ，有 r( 0 E 一 A)=n 一 k。 D.对于 A 的 k 重特征值 0 ，有 r( 0 E 一 A)=k。解析：解析：实对称矩阵 A 必可相似对角化，A 的属于 k 重特征值 0 的线性无关的特征向量必有 k 个，故 r( 0 EA)=n 一 k。选项 C
15、正确。 需要注意的是：实对称矩阵 A 的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n 个特征向量不一定是单位正交向量组。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1；2 或一 2； 2 = 3 =2）解析：解析：由题意可得A=一 4a2b 2 =一 12，所以 2ab 2 =6。 又 A 的特征多项式为 EA= 12.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(一 1)=3，所以 a=1。又因为
16、矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有13.设 =(1，一 1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，一 1，1) T 。k0）解析：解析：令 B= T ，则矩阵 B 的秩是 1，且 T =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 =( T )=( T )=2， 即 =(1，一 1，1) T 是矩阵
17、B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。14.设 =(1，一 1，a) T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * =A= 0 A，即 展开成方程组的形式为 15.设 A 是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：km）解析：解析：由 A 的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m 可知 A
18、(1，1，1) T =k(1，1，1) T ，A * (1，1，1) T =m(1，1，1) T ， 在 A(1，1，1) T =k(1，1，1) T 两边同时左乘 A * 可得 A * A(1，1，1) T =kA * (1，1，1) T ，即 A(1，1，1) T =kA * (1，1，1) T =km(1，1，1) T ， 故A=km。16.若矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，0，1) T ，其中 k0）解析：解析：因 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必是三重的，且 r(EA)=2。由 tr(A)= 1 + 2 + 3 =9 可
19、得 1 = 2 = 3 =3。于是 3EA= 17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 的特征方程 EA= =(1)( 2 一 1)=0， 可得 A 的特征值是 =1(二重)，=一 1。 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =1 必有两个线性无关的特征向量，因此r(EA)=32=1，根据 18.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 i =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A
20、 i =i i (i=1，2，3)可知 A 的特征值为 1，2，3。令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ， 则 P 1 AP= ，所以 三、解答题(总题数：11，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：20.n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 EA= =1 一(n1)b 一(1b) n1 ， 则 A 的特征值为 1+(n 一 1)b 和 1b(n1 重)。 当 b=0 时，A 的特征值是 1(n 重)，任意 n 维非零列向量均为 A 的特征向量。 当 b0 时，对方程组(1+n 一 1)bEAx=0 的系
21、数矩阵作初等行变换得 解得上述方程组的基础解系为 1 =(1，1，1，1) T 。所以 A 的属于 =1+(n 一 1)b 的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1，1) T ，其中 k0。 对方程组(1b)EAx=0 的系数矩阵作初等行变换得 )解析：21.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 )。
22、又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是有 ( 1 ) 1 +( 一 2 ) 2 +( 一 3 ) 3 =0。 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 =0， 一 2 =0， 3 =0，即 1 = 2 = 3 。)解析：22.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 =( 一 2n+1)( 一 n+1) n1 ， 则 A 的特征值为 1 =2n 一 1， 2 =n1，其中 2 =n 一 1 为 n 一 1 重根。 当 1 =2n1 时，解齐次方程组( 1 E 一 A)x=0，对系数矩阵作初等变换
23、，有 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 。 当 2 =n 一 1 时，齐次方程组( 2 E 一 A)x=0 等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(一 1，1，0，0) T ， 3 =(一 1，0，1，0) T ， n =(一 1，0，0，1) T ， 则 A 的特征向量是 k 1 1 和k 2 2 +k 3 3 +k n n ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 ，k n 不同时为零。 )解析：已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x 与 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相似矩阵有相同的特征值，由矩阵 B 的特征值为 2，y，一 1 可知矩阵 A
24、 的特征值也为 2，y，一 1，故 A=2y(一 1)=一 2，且 tr(A)=2+0+x=2+y+(一 1)，解得 y=1，x=0。)解析：(2).求一个满足 P 1 AP=B 的可逆矩阵 P。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =一 1。由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得矩阵 A 的属于特征值 1 =2， i =1， 3 =一 1 的特征向量分别为 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(0，一 1，1) T ， 令可逆矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正
25、确答案：(正确答案：A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y 是 A 的特征值。 因为 =一 4 是 A 的特征值，所以 A+4E= =9(x 一 4)=0， 解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同， A= =一 100， =一 20y， 所以 y=5。 当 =5 时，解方程(A 一 5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、单位化得： 当 =一 4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 ，单位化得： )解析：某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培
26、训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 化成矩阵形式为 )解析：(2).验证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为行列式 1 ， 2 = =50，所以 1 ， 2 线性无关。 又A 1 = = 1 ，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1 =1。 A 2 = ，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2 = )解析：(3).当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
27、A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，得 即特征值 1 =一 1， 2 =1 对应的特征向量为 又由 r(A)=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3 =0 对应的特征向量为 )解析：(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：24.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为P 1 =(1，2，2) T ，P 2 =(2，1，一 2) T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
28、：因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q 1 ，q 2 ，q 3 )，使 Q T AQ=Q 1 AQ= 。 将对应于特征值 1 、 2 的特征向量 单位化，得 )解析：设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2， 1 =(1，一 1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得 A 2 1 =A 1 = 1 ，依次递推，则有 A 3
29、 1 = 1 ，A 5 1 = 1 ，故 B 1 =(A 5 一 4A 3 +E) 1 =A 5 1 一 4A 3 1 + 1 =一 2 1 ， 即 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量。 由关系式 B=A 5 一 4A 3 +E 及 A 的三个特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2 得 B 的三个特征值为 1 =一 2， 2 =l， 3 =1。 设 1 ， 3 为 B 的属于 2 = 3 =1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2 、 3 正交，即 1 T 2 =0， 1 T 3 =0。 因此 2 ， 3 可取为下列齐次线性方
30、程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为： 。 B 的全部特征向量为： )解析：(2).求矩阵 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.29设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A 的特征值是 2，5，一 4。 对 =5，由(5EA)x=0 得基础解系 2 =(1，一 1，1) T 。 对 =一 4，由(一 4E 一 A)x=0 得基础解系 3 =(一 l，0，1) T 。 因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2 ， 3 ，即 )解析：
