1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 25 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.两个 4 阶矩阵满足 A 2 =B 2 ，则（分数：2.00）A.A=BB.A=-BC.A=B 或 A=-BD.A=B或A=-B3.设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得C （分数：2.00）A.P -1 APB.PAP -1 C.P T APD.PAP T 4.设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1 ， 2
2、， 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )已知 P T AP= 则 Q T AQ=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到-B * D.交换 A * 的 1，2 列得到-B * 6.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，a 11 ，a 12 ，a 13 为 3 个相等的正数，则它们为（分数：2.00）A.B.3C.13D.二、填空题(总
3、题数：4，分数：8.00)7.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 .记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，求 P -1 AP= 1.（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 1 ， 2 为 2 维列向量，矩阵 A=(2 1 + 2 ， 1 - 2 )，B=( 1 ， 2 )若A=6，B= 1（分数：2.00）填空项 1:_9. 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维向量组，3 阶矩阵 A 满足 A 1 = 1 +2 2 ，A 2 = 2 +2 3 ，A 3 = 3 +2 1 A= 1.（分数：2.00）
4、填空项 1:_10.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解A= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a
5、 33 k ；f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn ) (a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_13.n 维向量 =(a，0，0，a) T ，a0，A=E- T ，A -1 =E+a -1 T ，求 a（分数：2.00）_14.A=E- T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 =3E-2A，求 T （分数：2.00）_15.设 A= T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k， A k =( T ) k-1 A=(tr(A) k-1 A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（
6、分数：2.00）_16. T = （分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.3 阶矩阵 A，B 满足 ABA * =2BA * +E，其中 A= （分数：2.00）_22.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B（分数：2.00）_23.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向
7、量，使得 P=(，A，A 2 )可逆，并且 A 3 =3A-2A 2 (1)求 B，使得 A=PBP -1 (2)求A+E（分数：2.00）_24.设 3 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，A=1，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )，求B（分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵 （分数：2.00）_27.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）_28.矩阵 A= （分数：2.00）_29.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA -1 =BA
8、 -1 +3E，已知 A * = （分数：2.00）_30.已知 A= （分数：2.00）_31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 =(-1，1，1) T ， 2 =(2，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A（分数：2.00）_32.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得C=AQ（分数：2.00）_33.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵 （分数：2.00）_34.设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A * =A T 证明A0
9、（分数：2.00）_35.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )都是 3 阶矩阵 规定 3 阶矩阵 （分数：2.00）_36.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆（分数：2.00）_37.设 A，B 都是 n 阶矩阵，E-AB 可逆证明 E-BA 也可逆，并且(E-BA) -1 =E+B(E-AB) -1 A（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 25 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.两个 4
10、阶矩阵满足 A 2 =B 2 ，则（分数：2.00）A.A=BB.A=-BC.A=B 或 A=-BD.A=B或A=-B 解析：解析：对 A 2 =B 2 两边取行列式，得 A 2 =B 2 A 2 -B 2 =0 (A-B)(A+B)=0 3.设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得C （分数：2.00）A.P -1 APB.PAP -1 C.P T APD.PAP T 解析：解析：根据初等矩阵的有关性质， 4.设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1 ， 2 ， 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3
11、 )已知 P T AP= 则 Q T AQ=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：显然关键是 Q 和 P 的关系 由矩阵分解，有 Q= ，则 Q T = P T 于是 Q T AQ= P T AP =Q T AQ= 5.设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到-B * D.交换 A * 的 1，2 列得到-B * 解析：解析：B= 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则 B * =B -1 B= A=-A，
12、B * =A * 于是 B * =-A * 6.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，a 11 ，a 12 ，a 13 为 3 个相等的正数，则它们为（分数：2.00）A. B.3C.13D.解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 .记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，求 P -1 AP= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：8.已知 1 ， 2 为 2 维列向量，矩阵 A=(2 1 + 2 ， 1 -
13、 2 )，B=( 1 ， 2 )若A=6，B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：9. 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维向量组，3 阶矩阵 A 满足 A 1 = 1 +2 2 ，A 2 = 2 +2 3 ，A 3 = 3 +2 1 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：10.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：2
14、7，分数：54.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a 33 k ；f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn ) (a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方法一 设 A 和 B
15、都是 n 阶上三角矩阵，C=AB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 ij 时，c ij =0c ij =A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B都是 n 阶上三角矩阵，A 的第 i 个行向量的前面 i-1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 n-j 个分量都是 0，而 i-1+n-j=n+(i-j-1)n，因此 c ij =0 c ii =a i1 b 1i +a ii-1 b i-1i +a ii b ii +a ii+1 +b i+1i +a in b ni =a ii b ii (a i1 =a ii-1 =0，b i+1i =b
16、 ni =0) 方法二 设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，C=( 1 ， 2 ， n )要证明每个 i 下面的n-i 个分量都是 0 由(21)， i =A i 而 i 的下面 n-i 个分量都是 0，于是用(22) i =b 1i 1 +b 2i 2 +b ii i 则因为 1 ， 2 ， i 的下面 n-i 个分量都是 0，所以 i 的下面 n-i 个分量也都是 0 并且 i 的第 i 个分量是(C 的一个对角线元素) c i =b 1i a i1 +b 2i a i2 +b ii a ii =a ii b ii (因为 a i1 =a i2 =a ii-
17、1 =0) (2)设 A 是上三角矩阵由(1)，直接可得 A k 是上三角矩阵，并且对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a nn k 设 f(A)=a m A m +a m-1 A m-1 +a 1 A+a 0 E.a i A i 都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn )解析：13.n 维向量 =(a，0，0，a) T ，a0，A=E- T ，A -1 =E+a -1 T ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E- T )(E+a -1 T )=E E+a
18、-1 T - T -a -1 T T =E a -1 T - T -a -1 T T =0，( T =2a 2 ) (a -1 -1-2a) T =0， a -1 -1-2a=0，(因为 T 不是零矩阵) 1-a-2a 2 =0，a=-1)解析：14.A=E- T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 =3E-2A，求 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =3E-2A， A 2 +2A-3E=0 (A+3E)(A-E)=0， (4E- T )(- T )=0， 4 T - T T =0，( T 是数!) (4- T ) T =0，(由于 ， 都是非零列向量， T
19、不是零矩阵) )解析：15.设 A= T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k， A k =( T ) k-1 A=(tr(A) k-1 A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A k =( T ) k = T T T T =( T )( T )( T ) T =( T ) k-1 A T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 2 b 2 ，而 a 1 b 1 ，a 2 b 2 ，ab nn 正好的 A= T 的对角线上各元素，于是 T =tr(A)， A k =(tr(A) k-1 A)解析：16. T = （分
20、数：2.00）_正确答案：(正确答案：( T ) 2 =( T ) T ，计算 ( T ) 2 = )解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的秩为 2，不符合例 25 注的条件，不能用例 25 的方法直接求 A 的方幂我们先求 A 2 A 2 = )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此矩阵为 A A 2 = A 3 = )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A n =A n-2 +A 2 -E 即 A 2 -A n-2 =A 2 -E A n-2 (A 2 -E)=A 2 -E 只要证明 A(A 2 -E
21、)=A 2 -E此式可以直接检验： A(A 2 -E)= )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此矩阵为 A，记 B= ，则 A=B+E 因为 B 和 E 乘积可交换，对 A 10 =(B+E) 10 可用二项展开式：(B+E) 10 = C 10 i B 10-i 注意矩阵 B 满足：B 2 = ，而当 n2 时 B n 是零矩阵 于是 A 10 =C 10 8 B 2 +C 10 9 B+E=45B 2 +10B+E= )解析：21.3 阶矩阵 A，B 满足 ABA * =2BA * +E，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 从右侧乘 AB
22、A * =2BA * +E 的两边，得 AAB=2AB+A， A(A-2E)B=A， 两边取行列式 A 3 A-2EB=A， )解析：22.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )可逆，并且 E=P -1 ( 1 ， 2 ， 3 )=(P -1 1 ，P -1 2 ，P -
23、1 3 )， 则 P -1 1 =(1，0，0) T ，P -1 2 =(0，1，0) T ，P -1 3 =(0，0，1) T ，于是 B=P -1 AP=P -1 A( 1 ， 2 ， 3 )=P -1 ( 1 + 2 + 3 ，2 1 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 ) )解析：23.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2 )可逆，并且 A 3 =3A-2A 2 (1)求 B，使得 A=PBP -1 (2)求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A=PBP -1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2 )=(，A，A 2 )B A(，
24、A，A 2 )=(A，A 2 ，A 3 )=(A，A 2 ，3A-2A 2 ) =(，A，A 2 ) (矩阵分解法) (2)A+E=P(B+E)P -1 则 A+E=PB+EP -1 =B+E= )解析：24.设 3 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，A=1，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )，求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 ) =( 1 ， 2 ， 3 ) B= 1 ， 2 ， 3 )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：记 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，=(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T ，所求行列式相应的矩阵为： (+，+，+) 将它对(，)做矩阵分解，得 (+，+，+)=(，) 两边求行列式，得所求行列式的值： +，+，+=， )解析：26.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 的逆矩阵可用初等变换法计算： 的逆矩阵也可用初等变换法计算： 的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为 ，求 D ij 由 则
26、 BD 21 =0，得 D 21 =0(因为 B 可逆) BD 22 =E，得 D 22 =B -1 AD 11 +CD 21 =E，即 AD 11 =E，得 D 11 =A -1 AD 12 +CD 22 =0，得 D 12 =-A -1 CB -1 用的方法，得 )解析：27.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A -1 XA=XA+2A A -1 X=X+2E X=AX+2A (E-A)X=2A， 用初等变换法解此基本矩阵方程： )解析：28.矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化 2A=XA-4X 得 X(A-4E)=2A用初等变换法解此矩
27、阵方程： (A T -4E2A T ) )解析：29.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA -1 =BA -1 +3E，已知 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 右乘 ABA -1 =BA -1 +3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A * 从左乘两边，得 AB=A * B+3AE， 由A * =8，得A=2，代入上式： (2E-A * )B=6E， 用初等变换法求得 )解析：30.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 XA+2B=AB+2X 化得：X(A-2E)=(A-2E)B，即 X=(A-2E)B(A-2E) -1 ， 则 X 2017 =(
28、A-2E)B 2017 (A-2E) -1 =(A-2E)B(A-2E) -1 =X， 再从关于 X 的矩阵方程 X(A-2E)=(A-2E)B 用初等变换法求解 X： (A-2E) T B(A-2E) T )=(A T -2EB(A T -2E) )解析：31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 =(-1，1，1) T ， 2 =(2，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 3 =(1，1，1) T ，则 A 3 =(2，2，2) T ，建立矩阵方程： A( 1 ， 2 ， 3 )=(0，0，2 3 )， 用初等
29、变换法解得 )解析：32.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得C=AQ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵分解 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，则 B=( 2 ， 1 ， 3 )，C=( 2 ， 1 ， 1 + 3 )于是 )解析：33.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式 A * =AA -1 来求伴随矩阵 =AB， =(-1) n AB， =AB，
30、 =(-1) n AB， )解析：34.设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A * =A T 证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把条件 A * =A T 写出， 则 a ij =A ij ， 于是A= a ij A ij = a ij 2 ， (也可从 AA T =AA * =AE，也可得到A= a ij 2 ， )解析：35.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )都是 3 阶矩阵 规定 3 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则) C= ( 1 ， 2 ， 3 )=A T B 于是 C=A T B=AB 则C0 A0 并且B0 即 C 可逆 )解析：36.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆（分数：2.00）_正确
