1、考研数学二（线性代数）-试卷 18 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A * 是 A 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均是 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均是 A * x=0 的解C.Ax=0 与 A * x=0 没有非零公共解D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解3.设向量组(I) 1 ， 2 ， r 可由向量组() 1 ，
2、 2 ， s 线性表示，则 ( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组(I)必线性相关C.当 r5 时，向量组(II)必线性相关D.当 rs 时，向量组(I)必线性相关4.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 (I)的解必是()的解；()的解必是(I)的解； (I)的解不一定是()的解； ()的解不一定是(I)的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B.
3、 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关6.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 1 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 1 2 +k s s =07.设有两
4、个 n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 一 1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s +， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关B. 1 ， s 及 1 ， s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性无关8.已知向量组(I) 1 ， 2 ， 3 ，
5、 4 线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1C. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 19.设向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2
6、+ 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 310.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则 ( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出D. 必不可由 ， 线性表出二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，
7、则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 ABC=D，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 1 =1，0，一 1，2 T ， 2 =2，一 1，一 2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，一1，一 5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设有矩阵
8、 A mn ，B nm ，E m +AB 可逆， (1)验证：E m +BA 也可逆，且(E n +BA) 一 1 =E m B(E m +AB) 一 1 A； (2)设 （分数：2.00）_19.已知 1 =1，一 1，1 T ， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，一 4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_20.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s 一 1 = s 一 1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ，
9、 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_21.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_22.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_23.设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=r()=r，证明：(I)与()等价（分数：2.00）_24.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.问 为何值时，线性方程组 （分数：2
10、.00）_26. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_27.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_28.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_29.已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一 3，6，3 T ， 4 =2，一 1，3，a T 问： (1)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 诹线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ，
11、 3 ， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_30.已知 （分数：2.00）_31.设向量组 1 = 11 ， 21 ， n1 T ， 2 = 12 ， 22 ， n2 T ， s = 1s ， 2s ， ns T ，证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 18 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2
12、.00）_解析：2.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A * 是 A 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * x=0 的解均是 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均是 A * x=0 的解 C.Ax=0 与 A * x=0 没有非零公共解D.Ax=0 与 A * x=0 恰好有一个非零公共解解析：解析：由题设知 n 一 r(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A * =0，任意 n 维向量均是 A * x=0 的解，故正确选项是(B)3.设向量组(I) 1 ， 2 ， r 可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表示，则 ( )（分数：2.
13、00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组(I)必线性相关C.当 r5 时，向量组(II)必线性相关D.当 rs 时，向量组(I)必线性相关 解析：解析：利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组()线性表示，则 rs”的逆否命题即知4.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 (I)的解必是()的解；()的解必是(I)的解； (I)的解不一定是()的解； ()的解不一定是(I)的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 A n x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n
14、x)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确，错误 当 A n+1 x=0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A n x 是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是(I)的解，故正确，错误故选(B)5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余向量线
15、性表出 D. 1 ， 2 ， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关解析：解析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D)都是向量组线性无关的必要条件，但不充分6.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 1 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k
16、 1 1 +k 1 2 +k s s =0解析：解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如 s 可由 1 ， 2 ， s 一 1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设 1 ， 2 ， s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1 ， 2 ， s 线性无关(A)对任何向量组都有 0 1 +0 2 +0 s =0 的结论(B)必要但不充分，如 1 =0，1，0 T ， 2 =1，1，0 T ， 3 =1，0，0 T 任两个线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关(D)必要但不充分如上例 1 +
17、2 + 3 0，但 1 ， 2 ， 3 线性相关7.设有两个 n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 一 1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s +， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关 B. 1 ， s 及 1 ， s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s
18、一 s 线性无关解析：解析：存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 一 1 ) 1 +(k 2 一 2 ) 2 +(k s 一 s ) s =0， 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 一 1 )+ 2 ( 2 一 2 )+ s ( s 一 s )=0， 从而得 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关8.已知向量组(I) 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与(I
19、)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1C. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 解析：解析：因(A) 1 + 2 一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 一 1 )=0； (B)( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0； (C)( 1 + 2 )一( 2 一 3 )一( 3 + 4 )+( 4 一 1 )=0， 故均线性相关，
20、而 9.设向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3解析：解析：因(A) 1 + 2 一( 2 + 3 )+ 3 一 1 =0，(B) 1 + 2 + 2 + 3 一( 1 +2 2 + 3 )=0，(D)一 19( 1 + 2 + 3 )+2(2 1 一 3 2 +22 3 )+5(3 1 +5 2
21、5 3 )=0，故(A)，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关对(C)，若存在数 k 1 ，k 2 ，k 3 使得 k 1 ( 1 +2 2 )+k 2 (2 2 +3 3 )+k 2 (3 3 + 1 )=0， 整理得：(k 1 +k 3 ) 1 +(2k 1 +2k 2 ) 2 +(3k 2 +3k 3 ) 3 =0 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，得 10.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则 ( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出 D. 必不可由 ， 线性表出解析：解析：因 ， 线性无关，故
22、 ， 线性无关，而 ， 线性相关，故 必可由， 线性表出(且表出法唯一)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：B 可逆，则 r(AB)=r(A)=212.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=A 一(一 2E)=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值，由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此
23、 1 =1， 2 =一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1 =一 1， 2 =一 1， 3 =一 2 E+2B=3(一 1)(一 3)=9，A= 1 2 3 =2 故 A+2AB=A(E+2B)=AE+2B=29=1813.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23 n）解析：解析：由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n 一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n 一 1 重)，3因此，A+2E= T +3E 的特征值为 3(n 一
24、1 重)，6，故 A+2E=3 n 一 1 6=23 n 14.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=O 再在等式两边同时加上 6E 可得 A(B一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，也即 (A 一 3E)(B 一 2E)=6E，15.已知 ABC=D，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 1 =1，0，一 1，2 T ， 2 =2，一 1，一 2，6
25、 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，一1，一 5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 ，= 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设有矩阵 A mn ，B nm ，E m +AB 可逆， (1)验证：E m +BA 也可逆，且(E n +BA) 一 1 =E m B(E m +AB) 一 1 A； (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(E n +B
26、A)E n B(E+AB) 一 1 A =E+BA 一 B(E m +AB) 一 1 A 一 BAB(E m +AB) 一 1 A =E n +BA 一 B(E m +AB)(E m +AB) 一 1 A=E n 故 (E n +BA) 一 1 =E n B(E m +AB) 一 1 A )解析：19.已知 1 =1，一 1，1 T ， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，一 4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出
27、为 )解析：20.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s 一 1 = s 一 1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s 一 1 +x s ) s =0 )解析：21.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n
28、r(B)r(AB)=r(E)=nr(B)=n，则 B 的列向量组线性无关)解析：22.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0，即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 等式两边左乘 A，得(k+k 1 +k t )A=0 )解析：23.设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=r()=r，证明：(I)与()等价（分数：2.
29、00）_正确答案：(正确答案：设(I)的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，(1I)的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为(I)可由(II)表示，即 1 ， 2 ， r ，可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r( 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r 又 1 ， 2 ， r 线性无关，则 1 ， 2 ， r 也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 表示，即()也可由(I)表示，得证)解析：24.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
30、案： )解析：25.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)线性方程组(I)的解为 ，得所求基础解系 1 =0，0，1，0 T ， 2 =一 1，1，0，1 T (2)将方程组()的通解代入方程组(I)，得 )解析：28.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ，
31、2 ， s 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 由 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在 k 1 ，k 2 ，k r ，l 1 ，l 2 ，l r 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0， 令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，则 0(否则 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =一 l 1 1 一 l 2 2 一一 l s s ，即一个非零向量 既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0 和Bx=0
32、 有非零公共解 必要性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则 =k 1 1 +k 2 2 +k t t 且 =一 l 1 1 一 l 2 2 一一 l s s ，于是，存在 k 1 ，k 2 ，k t 不全为零，存在 l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0， 从而 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性相关)解析：29.已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一 3，6，3 T ， 4 =2，一 1，3，a T 问： (1)a
33、为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 诹线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 ， 4 )解析：30.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 ， )解析：31.设向量组 1 = 11 ， 21 ， n1 T ， 2 = 12 ， 22 ， n2 T ， s = 1s ， 2s ， ns T ，证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s (线性无关)线性相关(不)存在不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x s ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 成立 )解析：
