1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 46 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n3.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2
2、 2B. 1 + 2 为 Ax=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 )D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 4.设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题： (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(
3、4)5.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解B.当 mn 时线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解6.设 A 为 m竹阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.
4、设 为非零向量，A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 A 为 b 阶矩阵，若 A k-1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A -1 线性无关（分数：2.00）_11.设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关 (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表不； (2)设 1 = ， 2 = ， 1 = ， 2 = （分数：2.00）_12.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n 维线性
5、无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_13.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_14.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= （分数：2.00）_15.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_16.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_17.设() 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = ， 2 + 3 = ， 4 = （分数：2.00）_18.设() （分数：2.00）_
6、19.() （分数：2.00）_20.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_21.设() 的一个基础解系为 ，写出() （分数：2.00）_22.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组（分数：2.00）_23.设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n (1)证明： （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_25.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_26.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_27.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个（分数：2.00）_
