1、考研数学二（线性方程组）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 , 2 , 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量
2、线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)c=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解5.要使 （分数：2.00）A.(一 2，1，1)B.C.D.6.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无
3、穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解7.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解8.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解9.设 A 为 43 矩阵，
4、1 ， 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含有一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量11.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0的一个基础解系，
5、A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 , 3 B. 1 , 2 C. 1 , 2 , 3 D. 2 , 3 , 4 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的伴随矩阵 A * O，则线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A=(a ij ) 33 ，是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵
6、A 的秩 r(A)=3，且它的 3 个解向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 + 2 =(2，0，-2，4) T ， 1 + 3 =(3，1，0，5) T ，则 Ax=b 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 4 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，且 A * 0， 1 , 2 , 3 是 Ax=b 的 3 个解向量，其中 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的各行元素之和为 0，A * 为 A 的伴随矩阵，A * O，则 A * x=0 基础解系的解向量的个数为 1（分数：2.00）填空项 1:
7、_19.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_20.设线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设向量组 1 , 2 , 3 是 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=1， 1 + 2 =(1，2，3) T ， 2 + 3 =(0，一 1，1) T ， 3 + 1 =(1，0，一 1) T ，求 Ax=b 的通解（分数：2.00）_23.设线性方程组 （分数：2.00）_24. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_25.已知线性方程组 （分数：2.00）_26.
8、设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_27.设线性方程组 （分数：2.00）_28.设线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 , 2 , 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B
9、.C. D.解析：解析：本题考查非齐次线性方程组通解的结构，所涉及的知识点是 (1)非齐次线性方程组通解为其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解 (2)非齐次线性方程组两个解的和被 2 除仍是非齐次线性方程组的解 (3)非齐次线性方程组两个解的差是其对应的齐次线性方程组的解 由于r(A)=3，故线性方程组 Ax=0 的基础解系含有解向量的个数为 4 一 r(A)=1 又 A= 1 =b，A 2 =b，A 3 =b，有 即 3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A
10、的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件由于 Ax=0 仅有零解的充分条件是 r(A)=n，即 A的列向量组的秩等于 n，故应选 A4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)c=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：解析：本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件和矩阵的秩的性质要求考生掌握：(1)对于 m 阶矩阵 AB，若 r(AB)=m，则(AB)x=0 仅有零解；若 r(AB)m，则(AB)x=0 必有非零解(2)矩阵的秩的公
11、式：r(AB)minr(A)，r(B)，r(A mn )minm，n当 mn 时，r(A)n 5.要使 （分数：2.00）A.(一 2，1，1) B.C.D.解析：解析：本题考查线性方程组解的概念和齐次线性方程组的系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系由于 1 ， 2 都是 Ax=0 的解，且 1 ， 2 线性无关，所以 r(A)1，又 1 ， 2 满足由选项 A 中所确定的方程组 Ax=0，故应选 A6.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若
12、Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析：本题考查非齐次线性方程组 Ax=b 解的存在性和与其对应的齐次线性方程组 Ax=0 解的关系注意到 Ax=0 有解，而 Ax=b 不一定有解对于 A、B 两种情形，由题设条件不能判定方程组 Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等，无法确定方程组 Ax=b 是否有解又若 Ax=b 有无穷多个解，则其解应为Ax=0 的基础解系的线性组合与 Ax=b 的一个特解之和，若 Ax=b 有无穷多个解，则 r(A)=r(A，b)n，而当r
13、(A)n 时，方程组 Ax=0 有非零解，所以 C 不正确，故选 D7.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解 解析：解析：本题考查线性方程组有解的判定方法所涉及的知识点是(1)对于齐次线性方程组 Ax=0，若A0，则 Ax=0 仅有零解，若A=0，则 Ax=0 有非零解 (2)对于非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 r(A)=r(Ab)=r=n，Ax=b 有无穷多解 r(A)=r(Ab)=rn，Ax=b 无解 r(A)r(Ab)若8.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对
14、于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解 B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解解析：解析：本题考查齐次线性方程组解的概念及相关理论显然(I)的解是()的解设 x 0 是()的解，则有 A T x 0 =0，在该式两边左乘 x 0 T ，得 x 0 T A T Ax 0 =0，即(Ax 0 ) T Ax 0 =0，从而Ax 0 =0于是 Ax 0 =0，即()的解是(I)的解故选 A9.设 A
15、为 43 矩阵， 1 ， 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查线性方程组解的性质和非齐次线性方程组解的结构 要求考生掌握： (1)非齐次线性方程组两个解的差是对应齐次线性方程组的解。 (2)非齐次线性方程组的通解是其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解 由于 2 一 1 ， 3 一 1 都是 Ax=0 的解，且可证明 2 一 1 ， 3 一 1 线性无关，所以基础解系解向量的个数为 3 一 r(A)2，于是 r(A)1，又 AO，所以 r
16、(A)1，故 r(A)=1，从而 Ax=0 的基础解系解向量的个数为 2，因此 A、B 不选 而 都是 Ax=0 的解，所以 D 不选，由非齐次线性方程组通解的结构知 10.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含有一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念 要求考生掌握： (1)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数 (2)
17、矩阵与其伴随矩阵的秩的关系 由 A * O 以及 11.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0的一个基础解系，A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 , 3 B. 1 , 2 C. 1 , 2 , 3 D. 2 , 3 , 4 解析：解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念 要求考生掌握： (1)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数 (2)矩阵与其伴随矩阵的秩的关系 (3)线性相关的向量组增加向量的个数所得向量组仍然线性相关 由(1，0，1，0) T
18、是方程组 Ax=0 的一个基础解系，所以 r(A)=3，从而 r(A * )=1，于是 A * x=0 的基础解系解向量的个数为 3，所以 A、B 不能选 又 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的伴随矩阵 A * O，则线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，1) T ，k 为任意实数）解析：解析：本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件及解的结构 由 A 的各行元素之和均为 0 知 13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析
19、：解析：本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件即 n 元方程组 Ax=b 有无穷多解的充要条件是 r(A)=r(A：b)n；也可由克拉默法则(方程组系数矩阵的行列式为零)求出 a 的值，再验证方程组是否有无穷多个解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得14.设 A=(a ij ) 33 ，是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T ）解析：解析：本题主要考查正交矩阵的性质和克拉默法则及矩阵的运算设 由题设知 AA T =E，即 于是有 1+a 12 2 +a 13
20、2 =1，所以 a 12 =a 13 =0，从而 15.设 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=3，且它的 3 个解向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 + 2 =(2，0，-2，4) T ， 1 + 3 =(3，1，0，5) T ，则 Ax=b 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，2，1) T +(1，0，一 1，2) T ，其中 k为任意常数）解析：解析：本题考查线性方程组的解的性质和非齐次线性方程组的通解的结构因为 r(A)=3，所对应的齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 43=1，故它的任一非零解都可作为其
21、基础解系由于 1 + 3 一( 1 + 2 )= 3 一 2 =(1，1，2，1) T 可作为 Ax=0 的基础解系又 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T ）解析：解析：本题考查克拉默法则和范德蒙德行列式的公式 由于A是范德蒙德行列式，所以由 a i a j j，i，j=1，2，n)知A0，因此A T =A0，故方程组 A T x=b 有唯一解，而(1，0，0) T 显然满足 A T x=b，故方程组的解为 x=(1，0，0) T 17.设 A 是 4 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，且 A * 0， 1 , 2 , 3 是 Ax=b 的
22、3 个解向量，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(0，0，0，一 1) T +(2，0，1，3) T ，k 为任意常数 由于 是 Ax=b 的解，且与 1 不等，从而 r(A)4，而 A * O，所以 r(A)3即3r(A)4，因此 r(A)=3 从而 Ax=0 的基础解系有 1 个解向量又因为 ）解析：解析：本题考查线性方程组的解的性质和通解的结构18.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的各行元素之和为 0，A * 为 A 的伴随矩阵，A * O，则 A * x=0 基础解系的解向量的个数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n1）解析：解
23、析：本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念和矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 的秩的关系由 A 的各行元素之和为 0 知(1，1，1) T 是方程组 Ax=0 的解所以 r(A)n又由 A * O 知，r(A)n 一1，故 r(A)=n1，从而 r(A * )=1，因此 A * x=0 的基础解系的解向量的个数为 n119.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：本题考查非齐次线性方程组无解的充分必要条件 所涉及的知识点是 A mn x=b 无解 r(A)r(Ab)和用初等变换求矩阵的秩设方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 A 和 B，对它们施以初等
24、行变换 20.设线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0）解析：解析：本题考查非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 对方程组的增广矩阵 B=(A，b)施以初等行变换，使之化为行阶梯形 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设向量组 1 , 2 , 3 是 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=1， 1 + 2 =(1，2，3) T ， 2 + 3 =(0，一 1，1) T ， 3 + 1 =(1，0，一 1
25、) T ，求 Ax=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 =( 1 + 2 )一( 2 + 3 )= 1 一 3 =(1，3，2) T ， 2 =( 1 + 2 )一( 3 + 1 )= 2 一 3 =(0，2，4) T ，则 1 ， 2 为 Ax=0 的解，且 1 ， 2 线性无关，而 nr(A)=31=2，所以 1 ， 2 为 Ax=0 的基础解系 又设 为 Ax=b 的解，所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：解析：本题考查非齐次线性方程组的解的结构和解的性质23.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对线性方程组的增广矩阵 B=(A，b)施以初
26、等行变换，得 显然，当 a1 时，r(A)=r(B)=4，故有唯一解；当 a=1，且 b一 1 时，r(A)=2，而 r(B)=3，故无解；当 a=1，且 b=一 1 时，r(A)=r(B)=24，故有无穷多解，且等价于下面的方程组 )解析：解析：本题考查非齐次线性方程组解的存在性的判定及含参数方程组求解的方法24. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程组系数矩阵的行列式为 )解析：解析：本题主要考查非齐次线性方程组有解的判定及解的求法将方程组写成矩阵的形式Ax=b当A0 时，Ax=b 有唯一解；当A=0 时，方程组 Ax=b 有无穷多解还是无解要看增广矩阵的秩是
27、否等于系数矩阵的秩25.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数行列式 (1)当 ab，bc，ca 时，A0，方程组仅有零解 (2)下面分四种情况： 当 a=bc 时，同解方程组为 方程组有无穷多组解，全部解为 x=k 1 (1，一 1，0) T ，其中 k 1 为任意常数 当 a=cb 时，同解方程组为 方程组有无穷多组解，全部解为 x=k 2 (1，0，一 1) T ，其中 k 2 为任意常数 当 b=ca 时，同解方程组为 )解析：解析：本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算，基础解系的求法及分情况讨论的能力 当方程组的系数行列式A0
28、 时，方程组仅有零解A=0 时，方程组有非零解，但要考虑到使得A=0 的 a，b，c 的所有可能的情况26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换，得 当 a=0 时，r(A)=r(B)=1n故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，由此得基础解系为 所以方程组的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 (k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数) 当 a0 时，对矩阵 B 继续施以初等行变换 故当 时，r(A)=n 一 1n方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：解析：本题考查齐次线
29、性方程组有非零解的判定条件和求解方法由于未知数的个数与方程组中方程的个数相同，所以可由 Ax=0 有非零解27.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程组的增广矩阵的行列式为 =(a 4 一 a 3 )(a 4 a 2 )(a 4 a 1 )(a 3 一 a 2 )(a 3 一 a 1 )(a 2 a 1 )由 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，故B0，即 r(B)=4，而系数矩阵 A 的秩 r(A)3，故 r(A)r(B)即方程组无解 (2)当 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =一k(k0)时方程组为 )解析：解析：本题考查线性方程组的解的
30、存在性的判定，解的结构及解的求法28.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组的第一个方程，得 =，对方程组的增广矩阵 B 施以初等行变换，得 于是 r(A)=r(B)=34，故方程组有无穷多解，全部解为 =(1，一1，1，一 1) T +k(一 2，1，一 1，2) T ，其中后为任意常数 于是 r(A)=r(B)=24，故方程组有无穷多解，全部解为 =(1，一 1，1，一 1) T +k 1 (1，一 3，1，0) T +k 2 (一 1，一 2，0，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数 (2)当 时，由于 x 2 =x 3 ，即一 1+k=1 一 k，解得 k=1，故方程组的解为 =(1，一 1，1，一 1) T +(一 2，1，一 1，2) T =(一 1，0，0，1) T 当 )解析：解析：本题主要考查齐次、非齐次线性方程组的求解问题将(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组，求出参数 与 的关系，于是化简为只具有一个参数的线性方程组的求解问题，用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形，然后对参数进行讨论，求出全部解
