1、考研数学数学二-试卷 59 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3. （分数：2.00）A.B.C.D.4.可微函数 f(x，y 在点(x o ，y o )取得极大值，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x o ，y)在)yy o 处的导数等于零B.f(x o ，y)在 yy o 处的导数大于零C.f(x o ，y)在 yy o 处的导数小于零D.f(x o ，y)在 yy o 处的导数不存在5.微分方程
2、 2yy(y) 2 的通解为( )（分数：2.00）A.y(xc)。B.yc 1 (x1) 2C.yc 1 (xc) 2D.yc 1 (xc 2 ) 26.若曲线 yx 2 axb 和 2y1xy 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（分数：2.00）A.a0，b2B.a1，b3C.a3，b1D.a1，b17.在区间(，+)内，方程x 14 x 12 cosx0( )（分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P
3、1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.(P -1 )9.设 A 为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A 中三个列向量，则A( )（分数：2.00）A.A 3 ，A 2 ，A 1 B.A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，A 3 A 1 C.A 1 ，A 2 ，A 3 D.A 1 ，A 1 A 2 ，A 1 A 2 A 3 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 ysinx，0x2，t 为 1 时，右图中阴影部分的面积 S 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)
4、有连续的导数，f(0)0 且 f(0)b，若函数 （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设 A 从原点出发，以固定速度 v o 沿 y 轴正向行驶，B 从(x o ，0)出发(x o 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_20.设 f(x)在区间0，
5、1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(12)1，试证：(1)存在(12，1)，使 f()；(II)对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()f()1（分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有f(x)f(y)xy证明：（分数：2.00）_23.设 zf(x 2 y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 为 A 的分别属于特征值1、1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 2 3 ， (I)证明 1 ， 2 ， 3 线性无
6、关； ()令 P( 1 ， 2 ， 3 )，求 P 1 AP（分数：2.00）_25.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k 0，试证明矩阵 EA 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为 n 阶单位矩阵)（分数：2.00）_考研数学数学二-试卷 59 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：3. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：4.可微函数 f(x，y 在点(x o ，y o )取得极大值
7、下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x o ，y)在)yy o 处的导数等于零 B.f(x o ，y)在 yy o 处的导数大于零C.f(x o ，y)在 yy o 处的导数小于零D.f(x o ，y)在 yy o 处的导数不存在解析：5.微分方程 2yy(y) 2 的通解为( )（分数：2.00）A.y(xc)。B.yc 1 (x1) 2C.yc 1 (xc) 2D.yc 1 (xc 2 ) 2 解析：6.若曲线 yx 2 axb 和 2y1xy 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（分数：2.00）A.a0，b2B.a1，b3C.a3，b1D.a1，b1
8、解析：7.在区间(，+)内，方程x 14 x 12 cosx0( )（分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根解析：8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.(P -1 )解析：9.设 A 为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A 中三个列向量，则A( )（分数：2.00）A.A 3 ，A 2 ，A 1 B.A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，A 3 A 1 C.
9、A 1 ，A 2 ，A 3 D.A 1 ，A 1 A 2 ，A 1 A 2 A 3 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：11.设 ysinx，0x2，t 为 1 时，右图中阴影部分的面积 S 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：12.设 f(x)有连续的导数，f(0)0 且 f(0)b，若函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于 F(x)在 x0 连续， ）解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：按照参数方程求导得切线斜
10、率，代入点斜式即得切线方程 ）解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u ）解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为a ii i ， 所以 aaa600a2）解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确
11、答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 A 从原点出发，以固定速度 v o 沿 y 轴正向行驶，B 从(x o ，0)出发(x o 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(12)1，试证：(1)存在(12，1)，使 f()；(II)对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由题设，引入辅助函数 (x)xf(x)，则 (x
12、)在0，1上连续， )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D 1 为辅助性半圆形区域， )解析：22.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有f(x)f(y)xy证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 zf(x 2 y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 为 A 的分别属于特征值1、1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 2 3 ， (I)证明 1 ， 2 ， 3
13、线性无关； ()令 P( 1 ， 2 ， 3 )，求 P 1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)假设 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 3 可由 1 ， 2 线性表出， 可设 3 k 1 1 k 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 不全为 0， 否则由等式 A 3 2 3 得到 2 0，不符合题设 因为 1 ， 2 为矩阵 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，所以 A 1 1 ，A 2 2 ， 则 A 3 A(k 1 1 k 2 2 )k 1 1 k 2 2 2 k 1 1 k 2 2 )解析：25.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k 0，试证明矩阵 EA 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为 n 阶单位矩阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由代数公式 1a k (1a)(1aa k1 )以及 A 与 E 可交换，有 EA k (EA)(EAA k1 )，而 A k 0，故有(EA)(EAA k1 )E， 可知 EA 可逆，且有(EA) 1 EAA k1 )解析：
