1、 2012 年陕西省高考理科数学试题 一、选择题 ：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） . 1. 集合 | lg 0M x x， 2 | 4N x x，则 MN （ C ） （ A） (1,2) （ B） 1,2) （ C） (1,2 （ D） 1,2 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ） （ A） 1yx （ B） 3yx （ C） 1y x （ D） |y x x 3. 设 ,ab R ， i 是虚数单位，则“ 0ab ”是“复数 ba i 为纯虚数”的（ B ） （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不
2、充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 4. 已知圆 22: 4 0C x y x ， l 过点 (3,0)P 的直线，则（ A ） （ A） l 与 C 相交 （ B） l 与 C 相切 （ C） l 与 C 相离 （ D） 以上三个选项均有可能 5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 1 1 1ABC ABC ， 1 2CA CC CB，则直线 1BC与直线 1AB 夹角的余弦值为（ A ） （ A） 55 （ B） 53 （ C） 255 （ D） 35 6. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）
3、，设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分别为 m甲 ， m乙 ，则（ B ） （ A） xx甲 乙 ， m甲 m乙 （ B） xx甲 乙 ， m甲 m乙 （ C） xx甲 乙 ， m甲 m乙 （ D） xx甲 乙 ， m甲 m乙 7. 设函数 () xf x xe ，则（ D ） （ A） 1x 为 ()fx的极大值点 （ B） 1x 为 ()fx的极小值点 （ C） 1x 为 ()fx的极大值点 （ D） 1x 为 ()fx的极小值点 8. 两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者 获胜 ，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ） （ A
4、） 10 种 （ B） 15 种 （ C） 20 种 （ D） 30 种 9. 在 ABC 中，角 ,ABC 所对边 的 长分别为 ,abc，若 2 2 22a b c ，则 cosC 的最小值 为（ C ） （ A） 32 （ B） 22 （ C） 12 （ D） 12 10. 右图是用模拟方法估计圆周率 值 的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ） （ A） 1000NP （ B） 41000NP （ C） 1000MP （ D） 41000MP 二 、填空题：把答案填在答题卡相应 题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 观察下列不
5、等式 2131 22231 1 51 2 3 3 ， 2 2 21 1 1 71 2 3 4 4 照此规律， 第五个 不等式为 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 + +2 3 4 5 6 6 . 12. 5()ax 展开式中 2x 的系数为 10， 则实数 a 的值为 1 。 13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4米，水位下降 1 米后，水面宽 26 米。 14. 设函数 ln , 0()2 1, 0xxfx ， D 是由 x 轴和曲线 ()y f x 及该曲线在点(1,0) 处的切线所围成的封闭区域，则 2z x y 在 D 上的最大值为
6、2 。 15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）若存在实数 x 使 | | | 1| 3x a x 成立，则实数 a 的取值范围是 -2 a 4 。 B.（几何证明选做题）如图，在圆 O 中，直径 AB与弦 CD 垂直，垂足为 E， EF DB ，垂足为 F，若 6AB ， 1AE ，则 DF DB 5 。 C.（坐标系与参数方程 选做题 ）直线 2 cos 1 与圆 2cos 相交的弦长为 3 . 三、解答题 ：解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） . 16.（本小题满分 12分） 函数 (
7、 ) sin ( ) 16f x A x （ 0, 0A ）的最大值 为 3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， （ ）求函数 ()fx的解析式； （ ）设 (0, )2 ，则 ( ) 22f ，求 的值。 17.（本小题满分 12分） 设 na 是 公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 nS ，且 5 3 4,a a a 成等差数列 . （ ）求数列 na 的公比； （ ）证明：对任意 kN ， 21,k k kS S S成等差数列 . 18. （本小题满分 12分） （ ）如图，证明命题“ a 是平面 内的一条直线， b 是 外的一条直线（ b 不垂直于 ） ， c 是直线
8、b 在 上的投影，若 ab ，则 ac ”为真； （ ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需 证明） 19. （本小题满分 12分） 已知椭圆 2 21 :14xCy，椭圆 2C 以 1C 的长轴为短轴，且与 1C 有相同的离心率 . （ ）求椭圆 2C 的方程； （ ）设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 1C 和 2C 上， 2OB OA ，求直线 AB 的方程 . 20.（本小题满分 13分） 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 从第一个顾客开始办理业务时计时 . （ ）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率； （ ） X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望 . 21.（本小题满分 14分） 设函数 ( ) ( , , )nnf x x b x c n N b c R . （ ）设 2n ， 1, 1bc ，证明： ()nfx在区间 1,12内存在唯一的零点； （ ）设 2n ，若对任意 12,xx 1,1 ，有 2 1 2 2| ( ) ( ) | 4f x f x，求 b 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，设 nx 是 ()nfx在 1,12内的零点，判断数列 23, , , nx x x的增减性。
