1、 - 1 - 2006 年常德市初中毕业生学业考试数学试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 合分人 复分人 得分 考试注意： 1请考生在总分栏上面的座位号方格内工整地填写好座位号； 2本学科试卷共六道大题，满分 150 分，考试时量 120 分钟； 3考生可带科学计算器参加考试 一、填空题 （本大题 8 个小题，每个小题 4 分，满分 32 分） 1 1 2 的相反数是 2据统计，湖南省常德市 2005 年农业总产值达到 24 800 000 000 元，用科学记数法可表示 为 元 3已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 （填上你认为正 确的一个方程即可） 4等腰梯形的上底、
2、下底和腰长分别为 4cm， 10cm， 6cm，则等腰梯形的下底角为 度 5多项式 2 4ax a 与多项式 2 44xx+的公因式是 6如图 1，若 AB CD ， EF 与 AB CD， 分别相交于点 E F EP EF EFD， ， 的平 分线与 EP 相交于点 P ，且 40BEP= o ，则 EPF = 度 7在半径为 10cm 的 Onull 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 6cm，则弦 AB 的长是 cm 8右边是一个有规律排列的数表，请用含 n 的代数式（ n 为正整数）表示数表中第 n 行第 n 列的数： 二、选择题 （本题中的选项只有一个是正确的，请你将正确的选项填在下
3、表中，本大题 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9下列计算正确的是（ ） 16 4= 32 22 1= 24 6 4 = 2 62 3 =null 10图 2 是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ） B E A P F C D 图 1 - 2 - 11图 3 是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图， 若参加舞蹈类的学生有 42 人，则参加球类活动的学生人数有（ ） 145 人 147 人 149 人 151 人 12根据下列表格中二次函数 2 y ax bx c=+的自变量 x 与函数
4、值 y 的对应值，判断方程 2 0ax bx c+=（ 0aabc ， 为常数）的一 个解 x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 2 y ax bx c=+ 0.03 0.01 0.02 0.04 66.17x 6.17 6.18x 6.18 6.19x 6.19 6.20 x 13下列命题中，真命题是（ ） 两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线垂直的四边形是菱形 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 ;两条对角线相等的平行四边形是矩形 14已知 11 1 2 2 2 33 3 ()( )( )Px y Px y Px y， ， ， 是反比例函数 2 y x =
5、的图象上的三点，且 12 3 0 x xx，则 123 y yy， 的大小关系是（ ） 321 y yy 123 y yy 213 y yy 231 y yy 15如图 4，在直角坐标系中， Onull 的半径为 1， 则直线 2yx= + 与 Onull 的位置关系是（ ） 相离 相交 相切 以上三种情形都有可能 16若用（ 1） ， （ 2） ， （ 3） ， （ 4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（ a） ， （ b） ， （ c） ， （ d）对应的图象排序： 球类 其它 35% 40% 15% 美术 类 舞蹈 类 图 3 O 1 1 1 1 y x 图 4 （ 1） （ 2
6、） （ 3） （ 4） 图 2 A B C D - 3 - （ a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （ b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （ c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （ d）某人从 A 地到 B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开 A 地的距离与时间的关 系） ，其中正确的顺序是（ ） （ 3） （ 4） （ 1） （ 2） （ 3） （ 2） （ 1） （ 4） （ 4） （ 3） （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 2） （ 1） 三、 （本大题 4 个小题，每小题 6 分，满分 24 分） 17计算： 2
7、 0 11 (3.14 ) (1 cos 60 ) 32 + o null 18先化简代数式： 22 12 1 11 1 xx xx x + + ，然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求 值 19有 2 个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有 1、 2、 3、 4 四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有 5、 6、 7、 8 四个数，甲、乙两人商定 了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘， 如果得到的积大于 20，则甲获胜，否则乙获胜 （ 1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率 （ 4 分） （ 2）你认为这个游
8、戏公平吗？为什么？（ 2 分） - 4 - 20 如图 5 ，已知反比例函数 1 (0) m ym x = 的图象经过点 (21)A ， ，一次函数 2 (0)ykxbk=+ 的图象经过点 (0 3)C ， 与点 A ，且与反比例函数的图象相交于另一点 B （ 1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式； （ 4 分） （ 2）求点 B 的坐标 （ 2 分） 四、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21如图 6，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡 度 1: 3i = ，斜坡 BD 的长是 50 米，在山坡的坡底 B 处测得铁架顶端 A 的仰
9、角为 45 o ，在 山坡的坡顶 D 处测得铁架顶端 A 的仰角为 60 o （ 1）求小山的高度； （ 4 分） （ 2）求铁架的高度 （ 31.73 ，精确到 0.1 米） （ 4 分） 1 0 1 3 1 12 y x C B A 图 5 - 5 - 22如图 7， P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA PB PC， ，以 BP 为边作 60PBQ= o ，且 BQBP= ，连结 CQ （ 1）观察并猜想 AP 与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论 （ 4 分） （ 2）若 : 3:4:5PA PB PC = ，连结 PQ ，试判断 PQC 的形状，并说明理由 （ 4 分）
10、五、 （本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 23在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动八年级学生 小青想了解她所居住的小区 500 户居民的家庭收入情况，从中随机调查了 40 户居民家庭的 收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图 根据以上提供的信息，解答下列问题： （ 1） 补全频数分布表： （ 3 分） （ 2） 补全频数分布直方图； （ 2 分） （ 3） 这 40 户家庭收入的中位数落在哪一个小组？（ 2 分） （ 4） 请你估计该居民小区家庭收入较低（不足 1000 元）的户数大约有多少户？（ 3 分） 分
11、组 频数 频率 600 799 2 0.050 800 999 6 0.150 1000 1199 0.450 1200 1399 9 0.225 1400 1599 1600 1800 2 0.050 合计 40 1.000 图 7 Q C P A B 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 4 8 12 16 20 (户数 ) (元 ) 频数分布表 频数分布直方图 - 6 - 24某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进 8 台空调和 20 台 电风扇，需要资金 17400 元，若购进 10 台空调和 30 台电风扇，需要资金 22500
12、元 （ 1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（ 5 分） （ 2）该经营业主计划购进这两种电器共 70 台，而可用于购买这两种电器的资金不超过 30000 元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利 200 元，销售一台这样的电风扇可获 利 30 元该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于 3500 元试问该经营业 主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？（ 5 分） 六、 （本大题 2 个小题，每小题 13 分，满分 26 分） 25如图 8，在直角坐标系中，以点 (30)A ， 为圆心，以 23为半径的圆与 x 轴相交于点 B C， ，与 y 轴相交于点
13、DE， （ 1）若抛物线 2 1 3 yxbxc=+经过 CD， 两点，求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在 该抛物线上 （ 6 分） （ 2）在（ 1）中的抛物线的对称轴上求一点 P ，使得 PBD 的周长最小 （ 3 分） （ 3）设 Q 为（ 1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点 M ，使得 四边形 BCQM 是平行四边形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 （ 4 分） 图 8 O A B D E y x C - 7 - 26把两块全等的直角三角形 ABC 和 DEF 叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角顶点 D 与 三角板 ABC 的斜边中点 O 重
14、合，其中 90ABC DEF= o ， 45CF= o ， 4ABDE=，把三角板 ABC 固定不动，让三角板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE 与射线 AB 相交于点 P ，射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q （ 1）如图 9，当射线 DF 经过点 B ，即点 Q 与点 B 重合时，易证 APD CDQ 此 时， APCQ= （ 2 分） （ 2）将三角板 DEF 由图 9 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中 090 oo ，问 AP CQ 的值是否改变？说明你的理由 （ 5 分） （ 3）在（ 2）的条件下，设 CQ x= ，两块三角板重叠面积为 y ，求 y
15、与 x 的函数关系式 （图 10，图 11 供解题用） （ 6 分） ( ) ( ) ( ) B(Q) C F E A P 图 9 图 10 图 11 - 8 - 2006 年常德市初中毕业生学业考试试卷 数学参考答案及评分标准 说明： （一） 答案中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数，全卷满分 150 分 （二） 答案中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和本答案 不同，可参照本答案中的标准给分 （三）评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅如果 考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度者，视影响程度决 定后面部分的得分
16、，但原则上不超过后面部分应得分数的一半，如有严重的概念错误，就不 给分 一、填空题（本小题 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1 1 2 2 10 2.48 10 3 2 20 xx = 或 2 320 xx +=等 4 60 5 2x 6 65 7 16cm 8 2 1nn+ 二、选择题（本小题 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 三、 （本小题 4 个小题，每小题 6 分，满分 24 分） 17解： 2 0 11 (3.14 ) (1 cos 60 ) 32 + o null 2 111 11 322 =+ n
17、ull 3 分 2 21 2 32 = + null 4 分 2 2 3 = + 5 分 4 3 = 6 分 18解： 22 12 1 11 1 xx xx x + + 2 22 (1) 2 1 (1)(1) 1 1 xx xx x x =+ + 2 分 2 2 2 1 (1) 1 x x x + = 4 分 2 1x=+ 5 分 - 9 - 当 0 x = 时，原式的值为 1 6 分 说明：只要 1x ，且代入求值正确，均可记满分 6 分 19解： （ 1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表： 1 2 3 4 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 7 7 14 21 28 8
18、 8 16 24 32 由上表可知，该游戏所有可能的结果共 16 种，其中两卡片上的数字之积大于 20 的有 5 种， 所以甲获胜的概率为 5 16 P = 甲 4 分 （ 2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率 5 16 P = 甲 ，乙获胜的概率 11 16 P = 乙 ， 11 16 16 5 ，所以，游戏对双方是不公平的 6 分 20解： （ 1） 点 (21)A ， 在反比例函数 1 m y x = 的图象上 2 m 1= 即 2m = 又 (21)A ， ， (0 3)C ， 在一次函数 2 y kx b= + 图象上 21 3 kb b += = 即 1 3 k b = =
19、反比例函数与一次函数解析式分别为： 2 y x = 与 3y x= + 4 分 （ 2）由 3 2 y x y x =+ = 得 2 3x x +=，即 2 320 xx+ += 2x = 或 1x = 于是 2 1 x y = = 或 1 2 x y = = 点 B 的坐标为 (12) ， 6 分 四、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21解： （ 1）如图，过 D 作 DF 垂直于坡底的水平线 BC 于点 F 由已知，斜坡的坡比 1: 3i = ，于是 3 tan 3 DBC= 坡角 30DBC= o 2 分 于是在 Rt DFB 中， sin 30 25DF DB
20、= o - 10 - 即小山高为 25 米 4 分 （ 2）设铁架的高 AEx= 在 Rt AED 中，已知 60ADE = o ，于是 3 tan 60 3 AE DE x= o 6 分 在 Rt ACB 中，已知 45ABC= o ， 25AC AE EC AE DF x=+=+=+ 又 3 23 3 BCBFFCBFDE x=+=+= + 由 AC BC= ，得 3 25 25 3 3 x x+= + 25 3 43.3x = ，即铁架高 43.3米 8 分 22解： （ 1）猜想： APCQ= 1 分 证明：在 ABP 与 CBQ 中， ABCB= ， BPBQ= ， 60ABC PB
21、Q= o ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ= ABP CBQ APCQ= 4 分 （ 2）由 : 3:4:5PA PB PC = 可设 3PA a= ， 4PB a= ， 5PC a= 5 分 连结 PQ ，在 PBQ 中，由于 4PB BQ a= = ，且 60PBQ= o PBQ 为正三角形 4PQ a= 于是在 PQC 中， 22 22 22 16 9 25PQ QC a a a PC+=+= PQC 是直角三角形 8 分 五、 （本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 23解： （ 1）频数： 18 频数： 3， 频率： 0.075 3 分 （ 2）略 5
22、 分 （ 3）这 40 户家庭收入的中位数在 1000 1199null 这个小组（或答第三小组） 7 分 （ 4）因为收入较低的频率为 0.050 0.150 0.2+ = ，所以该小区 500 户居民的家庭收入较 - 11 - 低的户数为 0.2 500 100=户 10 分 24解： （ 1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为 x 元和 y 元 依题意，得 8 20 17400 10 30 22500 xy xy += += 3 分 解得 1800 150 x y = = 即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为 1800元和 150元 5 分 （ 2）设该业主计划购进空调 t 台，则购
23、进电风扇 (70 )t 台 则 1800 150(70 ) 30000 200 30(70 ) 3500 tt tt + + 解得： 49 811 17 11 t t 为整数 t 为 9， 10， 11 7 分 故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调 9 台，电风扇 61 台； 方案二：购进空调 10 台，电风扇 60 台； 方案三：购进空调 11 台，电风扇 59 台 8 分 设这两种电器销售完后，所获得的利润为 W ，则 200 30(70 )Wt t= + 170 2100t= + 由于 W 随 t 的增大而增大 故当 11t = 时， W 有最大值， 170 11 2100 397
24、0W = + = 最大 即选择第 3 种进货方案获利最大，最大利润为 3970元 10 分 说明：如果将 9t = ， 10， 11时分别代入 170 2100Wt= + 中，通过比较得到获利最 大的方案，同样记满分 六、 （本大题 2 个小题，每小题 13 分，满分 26 分） 25解： （ 1） 3OA = ， 23AB AC= (30)B ， ， (3 3 0)C ， 又在 Rt AOD 中， 23AD = ， 3OA = 22 3OD AD OA= = D 的坐标为 (0 3)， 3 分 又 DC， 两点在抛物线上， 2 3 1 (3 3) 3 3 0 3 c bc = += null
25、 解得 2 3 3 3 b c = = - 12 - 抛物线的解析式为： 2 123 3 33 y xx= 5 分 当 3x = 时， 0y = 点 (30)B ， 在抛物线上 6 分 （ 2） 2 123 3 33 y xx= 2 1 (3)4 3 x= 抛物线 2 123 3 33 y xx= 的对称轴方程为 3x = 7 分 在抛物线的对称轴上存在点 P ，使 PBD 的周长最小 BD 的长为定值 要使 PBD 周长最小只需 PB PD+ 最小 连结 DC ，则 DC 与对称轴的交点即为使 PBD 周长最小的点 设直线 DC 的解析式为 ymxn= + 由 3 33 0 n mn = +
26、= 得 3 3 3 m n = = 直线 DC 的解析式为 3 3 3 y x= 由 3 3 3 3 yx x = = 得 3 2 x y = = 故点 P 的坐标为 (3 2)，- 9 分 （ 3）存在，设 (3 )Qt， 为抛物线对称轴 3x = 上一点， M 在抛物线上要使 四边形 BCQM 为平行四边形，则 BCQM 且 BCQM= ，点 M 在对称轴的左侧 于是，过点 Q 作直线 LBC 与抛物线交于点 () m M xt， 由 BCQM= 得 43QM = 从而 33 m x = ， 12t = 故在抛物线上存在点 ( 312)M ， ，使得四边形 BCQM 为平行四边形 - 13
27、 - 13 分 26解： （ 1） 8 2 分 （ 2） APCQnull 的值不会改变 3 分 理由如下：在 APD 与 CDQ 中， 45AC= o 180 45 (45 ) 90APD a a=+= oo o o 90CDQ a= o 即 APD CDQ= APD CDQ 5 分 AP CD AD CQ = 2 2 1 8 2 AP CQ AD CD AD AC = = nullnull 7 分 （ 3）情形 1：当 045a oo 时， 24CQ ，即 24x ，此时两三角板重叠部分为四 边形 DPBQ ，过 D 作 DG AP 于 G ， DN BC 于 N ， 2DG DN= 由（
28、 2）知： 8AP CQ =null 得 8 AP x = 于是 11 1 22 2 yABACCQDNAPDG=nullnullnull 8 8(24)xx x = 10 分 情形 2：当 45 90a oo 时， 02CQ 时，即 02x ，此时两三角板重叠部分 为 DMQ ， 由于 8 AP x = ， 8 4PB x =，易证： PBM DNM ， BMPB MNDN = 即 22 BMPB BM = 解得 284 24 PB x BM PB x = + 84 44 4 x MQ BM CQ x x = = 于是 18 4(02) 24 x yMQDN x x x = null （ ）
29、 （ ） - 14 - 综上所述，当 24x 时， 8 8yx x = 当 02x 时， 84 4 4 x yx x = 2 48 4 y xx x = + 或 13 分 说明：未指明 x 的范围，不扣分 上述情形 2 有多种解法，如： 法二：连结 BD ，并过 D 作 DN BC 于点 N ，在 DBQ 与 MCD 中， 45DBQ MCD= o 45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC = + = + = + = o DBQ MCD MCDB CD BQ = 即 2 4 22 MC x 2 = 8 4 MC x = 2 848 44 xx MQ MC CD x x x + = = 2 148 (0 2) 24 xx yDNMQ x x + = null 法三：过 D 作 DN BC 于点 N ，在 Rt DNQ 中， 222 DQ DN NQ=+ 2 4(2 )x=+ 2 48x x=+ 于是在 BDQ 与 DMQ 中 45DBQ MDQ= o DMQ DBM BDM=+ 45 BDM=+ o BDQ= BDQ DMQ - 15 - BQDQ DQ MQ = 即 4 x DQ DQ MQ = 22 48 44 DQ x x MQ x x + = 2 148 (0 2) 24 xx yDNMQ x x + = null
