1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）文科数学及参考答案 第卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP = )1()( 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分； 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2、 11 12 答 案 C A D A B D B C D B A C （ 1）已知集合 2 560Axx x=+=，集合 213Bxx= ，则集合 AB= （ A） 23xx （ B） 23xx （ C） 23xx （ D） 13xx 的反函数是 （ A） () ( ) 1 1 x f xe xR =+ （ B） ( ) ( ) 1 10 1 x f xxR =+ （ C） () ( ) 1 10 1 1 x fx x =+ （ D） ( ) ( ) 1 11 x fxe x = + （ 3）曲线 3 4y xx=在点 ()1, 3 处的切线方程是 （ A） 74yx=+ （ B） 72yx=
3、 + （ C） 4y x= （ D） 2y x= （ 4）如图，已知正六边形 123456 PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是 （ A） 12 13 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ B） 12 14 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ C） 12 15 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ D） 12 16 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （
4、 5）甲校有 3600名学生，乙校有 5400名学生，丙校有 1800名学生，为统计三校学生某 方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 90人的样本，应在这三校分别抽取 学生 （ A） 30人， 30人， 30人 （ B） 30人， 45 人， 15人 （ C） 20 人， 30人， 10人 （ D） 30人， 50人， 10人 （ 6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ A） sin 6 yx =+ （ B） sin 2 6 yx = （ C） cos 4 3 yx = （ D） cos 2 6 yx = (7) 已知二面角 l 的大小为 0 60 ， ,mn为异面直线，且
5、,mn ，则 ,mn所成 的角为 （ A） 0 30 （ B） 0 60 （ C） 0 90 （ D） 0 120 (8) 已知两定点 ()()2,0 , 1,0AB ， 如果动点 P 满足 2PA PB= ， 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ A） 9 （ B） 8 （ C） 4 （ D） (9) 如图，正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 ,A BCD在球 O的同一 个大圆上，点 P 在球面上，如果 16 3 PABCD V = ，则球 O的表面积是 （ A） 4 （ B） 8 （ C） 12 （ D） 16 (10) 直线 3y x=与抛物线 2 4y x= 交于 ,AB两点
6、，过 ,AB两点向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为 ,PQ，则梯形 APQB 的面积为 （ A） 36 （ B） 48 （ C） 56 （ D） 64 （ 11）设 ,abc分别是 ABC 的三个内角 ,ABC所对的边，则 ( ) 2 abbc= + 是 2AB= 的 （ A） 充要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而充分条件 （ D）既不充分又不必要条件 （ 12）从 0 到 9这 10个数字中任取 3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为 （ A） 41 60 （ B） 38 54 （ C） 35 54 （ D） 19 54 第卷 二填空题：本大题共 4
7、 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上。 （ 13） () 10 12x 展开式中的 3 x 系数为 960 （用数字作答） （ 14）设 ,x y满足约束条件： 1 1 2 210 x y x xy + ，则 2zxy= 的最小值为 6 ; （ 15）如图，把椭圆 22 1 25 16 xy +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个 分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1234567 ,PPPPPPP七个 点， F 是椭圆的一个焦点，则 1234567 PF PF PF PF PF PF PF+=35 ; （ 16） ,mn是空间两条不同直线， , 是两个不同平面，下
8、面有四个命题： ,/, /mn mn ,/, /mn m n ,/,/mn m n ,/,/mmn n 其中真命题的编号是 ， ;（写出所有真命题的编号） 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本大题满分 12 分） 数列 n a 的前 n项和记为 ( ) 11 ,1, 211 nnn Sa a S n + = =+ （）求 n a 的通项公式； （）等差数列 n b 的各项为正，其前 n项和为 n T ，且 3 15T = ，又 112 233 ,ababab+ + 成等比数列，求 n T 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识
9、，以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解：（）由 1 21 nn aS + =+可得 ( ) 1 212 nn aS n = +，两式相减得 () 11 2, 3 2 nnnn n aaaa an + = = 又 21 213aS=+= 21 3aa= 故 n a 是首项为 1，公比为 3得等比数列 1 3 n n a = （）设 n b 的公比为 d 由 3 15T = 得，可得 123 15bbb+=，可得 2 5b = 故可设 13 5, 5bdbd= =+ 又 12 3 1, 3, 9aa a= 由题意可得 ()()() 2 515953dd+ + = + 解得 12 2, 10
10、dd= 等差数列 n b 的各项为正， 0d 2d = () 2 1 32 2 n nn Tn nn =+ =+ （ 18）（本大题满分 12 分） 已知 ,ABC是三角形 ABC 三内角，向量 ( ) ()1, 3 , cos , sinmnAA= = nullnullnull ，且 1mn= nullnull null （）求角 A； （）若 22 1sin2 3 cos sin B BB + = ，求 tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解：（） 1mn= nullnull nu
11、ll () ()1, 3 cos , sin 1AA = 即 3sin cos 1AA= 31 2sin cos 1 22 AA = 1 sin 62 A = 5 0, 666 AA 66 A = 3 A = （）由题知 22 12sin cos 3 cos sin BB BB + = ，整理得 sin sin cos 2cos 0BBB B = cos 0B 2 tan tan 2 0BB = tan 2B= 或 tan 1B = 而 tan 1B = 使 22 cos sin 0BB = ，舍去 tan 2B = （ 19）（本大题满分 12 分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分
12、考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率 分别为 0.9,0.8,0.7 ；在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格相互 之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用 概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 1 A ，“乙理论考核合格”为事件 2 A ，“丙理论考核合格” 为事件 3 A ， 记
13、i A 为 i A 的对立事件， 1, 2, 3i = ；记“甲实验考核合格”为事件 1 B ，“乙实 验考核合格”为事件 2 B ，“丙实验考核合格”为事件 3 B ， （）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ，记 C 为 C 的对立事件 解法 1： () 12 3 1 23 123 123 PC PAAA AAA AAA AAA=+ ()( ) ( ) () 12 3 1 23 123 123 P AAA P AAA P AAA P AAA=+ 0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7= + 0.902= 解法 2： () ()
14、1PC PC= 123123123123 1 PAAA AAA AAA AAA= + + + ()( ) ( ) ( ) 123 123 123 123 1 PAAA PAAA PAAA PAAA = + + + 1 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.7= + + + 1 0.098= 0.902= 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 （）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D () ( )( )( ) 11 2 2 33 PD P AB A B A B= ()( ) ( ) 11 2 2 33 PAB PA B PAB
15、= ()()( ) ( ) ( ) ( ) 112 2 33 PA PB PA PB PA PB= 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9= 0.254016= 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 （ 20）（本大题满分 12 分） 如图，在长方体 111 1 ABCD ABC D 中， ,E P 分别是 11 ,BCAD 的中点， ,M N 分别是 1 ,AE CD 的中点， 1 ,2AD AA a AB a= = （）求证： /MN 面 11 ADD A ； （）求二面角 PAED的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识
16、，以及 空间想象能力和推理能力。满分 12 分 解法一： （）证明：取 CD的中点 K ，连结 ,MKNK ,M NK分别为 1 ,AK CD CD的中点 1 / , /MKADNKDD /MK 面 11 ADD A ， /NK 面 11 ADD A 面 /MNK 面 11 ADD A /MN 面 11 ADD A （）设 F 为 AD的中点 P 为 11 AD的中点 1 /PF DD PF 面 ABCD 作 FH AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AEPH 从而 PHF 为二面角 PAED 的平面角。 在 Rt AEF 中， 17 ,2, 22 a AFEFaAE
17、a= ，从而 2 2 2 17 17 2 a a AFEF a FH AE a = 在 Rt PFH 中， 1 17 tan 2 DDPF PFH FH FH = 故：二面角 PAED的大小为 17 arctan 2 方法二：以 D为原点， 1 ,DA DC DD 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标 系，则 ()( )( ) ( ) ( ) 11 ,0,0 , ,2 ,0 , 0,2 ,0 , ,0, , 0,0,Aa Ba a C a A a a D a , ,E PMN分别是 11 1 ,BCADAECD的中点 3 ,2 ,0 , ,0, , , ,0 , 0, , ,
18、 224 2 aa a a EaP aMaNa （） 3 ,0, 42 a MN a = nullnullnullnullnull 取 () 0,1, 0n= null ，显然 n null 面 11 ADD A 0MN n = nullnullnullnullnullnull ， MNn nullnullnullnullnullnull 又 MN 面 11 ADD A /MN 面 11 ADD A 过 P 作 PH AE ，交 AE 于 H ，取 AD的中点 F ，则 ,0,0 2 a F 设 (),0Hxy ，则 , ,0 22 aa HP x y a HF x y = = nullnul
19、lnullnull nullnullnullnull 又 ,2 ,0 2 a AE a = nullnullnullnull 由 0AP AE = nullnullnullnull nullnullnullnull ，及 H 在直线 AE 上，可得: 2 20 42 44 aa xay xy a += += 解得 33 2 , 34 17 x ay a= 82 82 , ,0 17 17 17 17 aa aa HP a HP = = nullnullnullnull nullnullnullnull 0HF AE= nullnullnullnull nullnullnullnull 即 HF
20、 AE nullnullnullnull nullnullnullnull HP nullnullnullnull 与 HF nullnullnullnull 所夹的角等于二面角 PAED 的大小 2 cos , 21 HP HF HP HF HP HF = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 故：二面角 PAED的大小为 221 arccos 21 （ 21）（本大题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( ) ( ) 3 31
21、, 5f x x ax g x f x ax=+ = ，其中 ( ) f x 是的导函数 （）对满足 11a 的一切 a的值，都有 ( ) 0gx ，求实数 x的取值范围； （） 设 2 am= ， 当实数 m 在什么范围内变化时， 函数 ( ) y fx= 的图象与直线 3y = 只 有一个公共点 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、 运输能力和综合应用数学知识的能力。满分 12 分。 解：（）由题意 () 2 335gx x ax a=+ 令 () ( ) 2 335xxax = +， 11a 对 11a ，恒有 () 0gx ，即 ( ) 0a ()
22、 () 10 10 即 2 2 320 380 xx xx + 解得 2 1 3 x 故 2 ,1 3 x 时，对满足 11a 的一切 a的值，都有 ( ) 0gx （） () 22 33f xxm= 当 0m= 时， () 3 1fx x=的图象与直线 3y = 只有一个公共点 当 0m 时，列表： x ( ) , m m ( ) ,mm m () ,m + () f x + 0 0 + ()f x null 极大 null 极小 null () () 2 211fx fx mm= 时函数 ()y fx= 的图象与直线 3y = 只有一个公共点。 当 x m 时，恒有 () ( ) f xf
23、m 由题意得 () 3fm 即 3 2 21213mm m = 解得 ()() 33 2,0 0, 2m 综上， m 的取值范围是 () 33 2, 2 （ 22）（本大题满分 14 分） 已知两定点 ()( ) 12 2,0 , 2,0FF ，满足条件 21 2PF PF = nullnullnullnullnull nullnullnullnull 的点 P 的轨迹是曲 线 E ，直线 1y kx=与曲线 E 交于 ,AB两点 （）求 k 的取值范围； （） 如果 63AB = ， 且曲线 E 上存在点 C ， 使 OA OB mOC+= nullnullnullnull nullnull
24、nullnull nullnullnullnull ， 求 m 的值和 ABC 的面积 S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 14 分。 解：（）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 ( ) ( ) 12 2,0 , 2,0FF 为焦点的双曲线的左 支，且 2, 1ca=，易知 1b= 故曲线 E 的方程为 () 22 10 xy x = += 解得 21k （） 2 12 1ABkxx=+ () 2 12 12 14kxxx=+ + 2 2 22 14 11 k k kk =+ ( )( ) ()
25、22 2 2 12 2 1 kk k + = 依题意得 ()() () 22 2 2 12 263 1 kk k + = 整理后得 42 28 55 25 0kk+= 2 5 7 k = 或 2 5 4 k = 但 21k 5 2 k = 故直线 AB 的方程为 5 10 2 xy+ += 设 ( ) 00 ,Cx y ，由已知 OA OB mOC+= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ，得 ( ) ( ) ( ) 11 2 2 0 0 , ,x yxymxmy+= () 1212 00 , x xyy xy mm + = ， ( )0m 又 12 2 2 45 1 xx k += = ， () 2 12 12 22 228 11 k yykxx kk + = + = = = 点 45 8 ,C mm 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程，得 22 80 64 1 mm = 得 4m= ， 但当 4m= 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 4m= ，点 C 的坐标为 () 5,2 C 到 AB 的距离为 () 2 2 5 521 2 1 3 5 1 2 + + = + ABC 的面积 11 63 3 23 S = =
