1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内答在试题卷上无效 4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共 10 小题
2、，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1如果 2 3 2 3 n x x 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（ ） 3 5 6 10 2将 2cos 36 x y =+ 的图象按向量 2 4 = ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ ） 2cos 2 34 x y =+ 2cos 2 34 x y = + 2cos 2 312 x y = 2cos 2 312 x y = + 3设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 |P QxxP xQ= ，且 ，如果 2 |log 1Px x=， |21Qxx=，那么 P Q 等于（ ） |
3、0 1xx |0 1xx |1 2xx |2 3xx ， 的左准线为 l ，左焦点和右焦点分别为 1 F 和 2 F ； 抛物线 2 C 的准线为 l ， 焦点为 21 FC； 与 2 C 的一个交点为 M ， 则 12 1 12 FF MF MFMF 等于 （ ） A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 8 已知两个等差数列 n a 和 n b 的前 n 项和分别为 A n 和 n B ， 且 745 3 n n A n Bn + = + ， 则使得 n n a b 为整数的正整数 n 的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ()
4、mn，a= 与向量 (1 1)=，b 的夹角为 ，则 0 2 ， 的概率是（ ） A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 5 6 10已知直线 1 xy ab +=（ ab， 是非零常数）与圆 22 100 xy+= 有公共点，且公共点的横 坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A 60 条 B 66 条 C 72 条 D 78 条 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上 11已知函数 2yxa=的反函数是 3ybx= + ，则 a = ； b = 12复数 izab ab=+ R， ，且 0b ，若 2 4zbz 是实数，则有序实
5、数对 ()ab， 可以 是 （写出一个有序实数对即可） 13设变量 x y， 满足约束条件 0 23. xy x + ， 则目标函数 2x y+ 的最小值为 14某篮运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 （用数值作答） 15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时 间 t （小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 1 16 ta y = （ a 为常数） ，如图所示据图中提供的信息，回答 下列问题： （ I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克
6、）与时 间 t （小时）之间的函数关系式为 ； （ II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知 ABC 的面积为 3，且满足 06AB AC nullnullnullnull nullnullnullnull i，设 AB nullnullnullnull 和 AC nullnullnullnull 的夹角为 （ I）求 的取值范围； （ II）求函数 2 () 2sin 3
7、cos2 4 f =+ 的最大 值与最小值 17 （本小题满分 12 分） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的 一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表： （ I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图； （ II）估计纤度落在 1.381.50)， 中的概率及纤度小于 1.40的概率是多少？ （ III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 分组 频数 1.30 1.34)， 4 1.34 1.38)， 25 1.381.42)， 30 1.42 1.46)， 29 1.46 1.50)， 10 1.50 1.54)， 2 合计 100 O
8、 0.1 1 y （毫克） t （小时） （例如区间 1.30 1.34)， 的中点值是 1.32）作为代表据此，估计纤度的期望 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 V ABC 中， VC 底面 ABC ， ACBC ， D 是 AB 的中点，且 AC BC a=， VDC = 0 2 ）相交于 A B， 两点 （ I）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小值； （ II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使 得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存 在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图） 20 （本小
9、题满分 13 分） 已知定义在正实数集上的函数 2 1 () 2 2 f xxax=+， 2 () 3 lngx a x b= + ，其中 0a 设两 曲线 ()yfx= ， ()ygx= 有公共点，且在该点处的切线相同 （ I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值； B V A D C A B x y N C O （ II）求证： () ()f xgx （ 0 x ） 21 （本小题满分 14 分） 已知 mn， 为正整数， （ I）用数学归纳法证明：当 1x 时， (1 ) 1 m x mx+ ； （ II）对于 6n ，已知 11 1 32 m n + ，求证 1 1 32 m m m
10、 + ， 求证 1 1 32 mm m n ， ， ； 0.6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本 知识，考查推理和运算能力 解： （）设 ABC 中角 ABC， 的对边分别为 abc， ， 则由 1 sin 3 2 bc = ， 0cos6bc ，可得 0cot 1 ， 42 ， （） 2 () 2sin 3cos2 4 f =+ 1cos 2 3cos2 2 = + (1 sin 2 ) 3 cos 2 =+ sin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1 3 = += + 42 ， ， 2 2
11、363 ， ， 22sin2 13 3 + 即当 5 12 = 时， max () 3f = ；当 4 = 时， min () 2f = 17本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计 方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 解： （） 分组 频数 频率 ) 1.30 1.34， 4 0.04 ) 1.34 1.38， 25 0.25 ) 1.38 1.42， 30 0.30 ) 1.42 1.46， 29 0.29 ) 1.46 1.50， 10 0.10 ) 1.50 1.54， 2 0.02 合计 100 1.00 （）纤度落在 ) 1.38 1.
12、50， 中的概率约为 0.30 0.29 0.10 0.69+ +=，纤度小于 1.40 的概率 约为 1 0.04 0.25 0.30 0.44 2 += （）总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088+= 样本数据 频率 /组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 18本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运 算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 解法 1： （） ACBCa= ， ACB 是等腰三角形，又
13、D 是 AB 的中点， CD AB ，又 VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（）知 CD 平面 VAB 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 在 CHDRt 中， 2 sin 2 CH a = ； 设 CBH =，在 BHCRt 中， sinCH a = ， 2 sin sin 2 = 0 2 ， 0sin 1 ， 2 0sin 2 又 0 2 ， 0 4 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 0 4 ， 解
14、法 2： （）以 CA CB CV， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则 2 (000) ( 00) (0 0) 0 00 tan 22 2 aa CAaBaD V ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是， 2 tan 22 2 aa VD a = nullnullnullnull ， ， 0 22 aa CD = nullnullnullnull ， ， (0)ABaa= nullnullnullnull ， 从而 22 11 (0) 0 00 22 2 2 aa AB CD a a a a = = + + = nullnullnull
15、null nullnullnullnull ， ， ，即 AB CD 同理 22 211 (0) tan 00 22 2 2 2 aa AB VD a a a a a = = + + = nullnullnullnullnullnullnullnull ， ， ， 即 AB VD 又 CD VD D= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD （）设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ，平面 VAB 的一个法向量为 ()x yz= ，n ， 则由 00AB VD= nullnullnullnullnullnullnullnull ，nn A D B C H
16、 V B C V z 得 0 2 tan 0 22 2 ax ay aa xy az += + = ， 可取 (1 1 2 cot )= ， ，n ，又 (0 0)BCa= nullnullnullnull ， ， 于是 2 2 sin sin 2 22cot BC a BC a = = + nullnullnullnull nullnullnullnull n n ， 0 2 ， 0sin 1 ， 2 0sin 2 又 0 2 ， 0 4 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 0 4 ， 解法 3： （）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立
17、如图所示 的空间直角坐标系，则 222 (000) 0 0 0 0 00DA aBaCa ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 22 0tan 22 Va ， ， ，于是 22 0tan 22 DV a a = nullnullnullnull ， ， ， 2 00 2 DC a = nullnullnullnull ， ， ， (0 2 0)ABa= nullnullnullnull ， 从而 (0 2 0)ABDC a= nullnullnullnull nullnullnullnull ， 2 00 0 2 a = ， ， ，即 AB DC 同理 22 (0 2 0) 0 tan
18、0 22 AB DV a a a = = nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ， ，即 AB DV 又 DC DV D= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （）设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ，平面 VAB 的一个法向量为 ()x yz= ，n ， 则由 00AB DV= nullnullnullnull nullnullnullnull ，nn，得 20 22 tan 0 22 ay ax az = + = ， 可取 (tan 0 1)= ， ，n ，又 22 0 22 BCaa = nullnu
19、llnullnull ， ， 于是 2 tan 2 2 sin sin 2 1tan a BC aBC = = + nullnullnullnull nullnullnullnull n n ， 0 2 ， 0sin 1 ， 2 0sin 2 又 0 2 ， 0 4 ， ， （） (0 0 ) 0 ( 0) 22 aa CV t CD AB a a = = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ， ， ， ( 0)(00 )0000AB CV a a t= = + = nullnullnullnullnullnullnul
20、lnull ， ， ， ， 即 ABCV 22 (0) 0 00 22 2 2 aa a a AB CD a a = = + + = nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ， 即 ABCD 又 CV CD C= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （）设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ， 设 ()x yz= ，n 是平面 VAB 的一个非零法向量， 则 ()(0) 0 ()(0) 0 AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz =+= nullnullnullnull nu
21、llnullnullnull ， ， ， ， ， ， n n 取 za= ，得 x yt= = 可取 ()tta= ，n ，又 (0 0)CB a= nullnullnullnull ， ， A D B C V x y A D B C V x y z 于是 22 2 2 2 1 sin 2 2 ta CB t CB atta ta a t = = = + + + nullnullnullnull nullnullnullnull n n ， (0 )t+， sin 关于 t 递增 1 0sin 2 在公共点 00 ()x y， 处的切线相同 () 2f xxa =+ ， 2 3 () a gx
22、 x = ，由题意 00 () ()f xgx= ， 00 () ()f xgx = 即 22 00 0 2 0 0 1 23ln 2 3 2 x ax a x b a xa x += + += ， ， 由 2 0 0 3 2 a xa x += 得： 0 x a= ，或 0 3x a= （舍去） 即有 222 22 15 23ln 3lnbaaaaaaa=+ = 令 22 5 () 3 ln ( 0) 2 ht t t tt= ，则 () 2(1 3ln )ht t t = 于是 当 (1 3 ln ) 0tt，即 1 3 0 te ； 当 (1 3 ln ) 0tt 时， () 0ht ，
23、 则 ()Fx 2 3()(3) 2(0 axaxa xa x xx + =+ = 故 ()Fx在 (0 )a， 为减函数，在 ()a +， 为增函数， 于是函数 ()Fx在 (0 )+， 上的最小值是 000 () () () ()0Fa Fx f x gx= = 故当 0 x 时，有 () () 0fx gx ，即当 0 x 时， () ()f xgx 21本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分 析问题能力和推理能力 解法 1： （）证：用数学归纳法证明： （）当 1m = 时，原不等式成立；当 2m = 时，左边 2 12x x= +，右边 12x=
24、+ ， 因为 2 0 x ，所以左边 右边，原不等式成立； （）假设当 mk= 时，不等式成立，即 (1 ) 1 k x kx+ + ，则当 1mk= + 时， 1x ， 10 x+ ，于是在不等式 (1 ) 1 k x kx+ + 两边同乘以 1 x+ 得 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1) k x x kx x kxkx kx+ +=+ + ， 所以 1 (1 ) 1 ( 1) k x kx + + 即当 1mk= + 时，不等式也成立 综合（） （）知，对一切正整数 m ，不等式都成立 （）证：当 6nmn， 时，由（）得 1 110 33 m m nn
25、 + + ， 于是 1 11 33 nnm m nn = + 11 1 32 m nm n + ， 12mn= null， ， （）解：由（）知，当 6n 时， 2 12 1111 11 1 33 32222 nn n n n n nn += + + nullnull， 21 3 1 33 nn n nn n + + + null 即 34 ( 2)(3) nn n n nn+ ，且 0 x 时， 2m ， (1 ) 1 m x mx+ （）当 2m = 时，左边 2 12x x=+ + ，右边 12x= + ，因为 0 x ，所以 2 0 x ，即左边 右边，不等式成立； （）假设当 (2)
26、mkk= 时，不等式成立，即 (1 ) 1 k x kx+ + ，则当 1mk=+时， 因为 1x ，所以 10 x+ 又因为 02xk ， ，所以 2 0kx 于是在不等式 (1 ) 1 k x kx+两边同乘以 1 x+ 得 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1) k x x kx x kxkx kx+ + +=+ + + ， 所以 1 (1 ) 1 ( 1) k x kx + +即当 1mk= + 时，不等式也成立 综上所述，所证不等式成立 （）证：当 6n ， mn 时， 11 1 32 n n + ， 11 1 32 n mm n + ， 11 11 332 n nmm m nn + （）解：假设存在正整数 0 6n 使等式 00 0 0 00 34 ( 2) ( 3) nn n n nn+ =+null 成立， 即有 00 0 0 00 234 1 33 3 nn n n nn + += + null 又由（）可得 00 0 0 00 234 33 3 nn n n nn + + + null 0 00 0 1 1 11 1 33 3 n nn n = + + + + null 00 0 1 11 11 11 22 22 nn n + += null ，与式矛盾 故当 6n 时，不存在满足该等式的正整数 n 下同解法 1
