1、2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷 第 I 卷（选择题 共 60 分） 1. 若集合 A=x|1x3， B=x|x 2，则 AB 等于 A x | 2 x3 B x | x1 C x | 2x 3 D x | x 2 2. 计算 1 2sin 2 22.5的结果等于 A.1/2 B. /2 C /3 D /2 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积 等于 A. B.2 C.2 D.6 4. i 是虚数单位， （ （ 1+i） /(1-i)） 4 等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5. 若 x， y R，且 ，则 z=x+2y 的最小值等于 A.2 B.3
2、 C.5 D.9 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 7. 函数 f（ x） = 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量 a=（ x， 3） （ x R） ，则 “x=4”是 “| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数 分别是 A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C 91 和 91.5 D.92 和 92 10.将函数 f（ x） =sin（ x+）的图像向左
3、平移 /2 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能 等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x 2 /4 +y 2 /3 =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上点的任意一点， 则 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合 S=x | mxl满足：当 x S 时，有 x 2 S . 给出如下三个命题： 若 m=1，则 S=1；若 m= 1/2 ，则 1/4 l 1； l=1/2，则 /2m0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分
4、，共 16 分 . 把答案填在答题卡的相应位置 . 13.若双曲线 x 2 / 4 y 2 / b 2 =1 (b 0) 的渐近线方程为 y=1/2 x ，则 b 等于 . 14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组 . 绘制频率分步直方图 .若第一组至第六组数据的频 率之比为 2： 3： 4： 6： 4： 1，且前三组数据的频率之和等于 27，则 n 等于 . 15. 对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包涵 ，则称 为平面上的 凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界） ： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号） . 16.观察下列等式： cos2
5、=2 cos 2 1； cos 4=8 cos 4 8 cos 2 +1； cos 6=32 cos 6 48 cos 4 18 cos 2 1； cos 8= 128 cos 8 256cos 6 160 cos 4 32 cos 2 1； cos 10=mcos 10 1280 cos 8 1120cos 6 ncos 4 p cos 2 1； 可以推测， m n+p= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 数列 a n 中， a 1 =1/3，前 n 项和 S n 满足 S n+1 S n =（ 1
6、/ 3） n + 1 (n )N * . （ I）求数列 a n 的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n （ II）若 S 1 ， t（ S 1 + S 2 ） ， 3（ S 2 + S 3 ）成等差数列，求实数 t 的值 . 18.（本小题满分 12 分） 设平面向量 a m =（ m， 1） ， b n =（ 2， n） ，其中 m， n 1,2,3,4. （ I）请列出有序数组（ m， n）的所有可能结果； （ II）记 “使得 a m （ a m b n ）成立的（ m， n） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率 . 19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C 的方程 C：
7、 y 2 =2 p x（ p 0）过点 A（ 1， -2） . （ I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （ II）是否存在平行于 OA（ O 为坐标原点）的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且 直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 20.（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， E， H 分别是棱 A 1 B 1 ， D 1 C 1 上的点（点 E 与 B 1 不 重合） ，且 EH A 1 D 1 . 过 EH 的平面与棱 BB 1 ， CC 1 相交，交点分别为 F， G。
8、 （ I） 证明： AD平面 EFGH； （ II） 设 AB=2AA 1 =2 a .在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 内随机选取一点。记该点取自几何 体 A 1 ABFE-D 1 DCGH 内的概率为 p， 当点 E， F 分别在棱 A 1 B 1 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值 . 21. （本小题满分 12 分） 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于 港口的 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 /小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /小时
9、的航行速度匀速行驶，经过 t 小时 与轮船相遇 . （ I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （ II） 为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的 最小值； （ III） 是否存在 v，使得小艇以 v 海里 /小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行 方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 22 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 1 () 3 f xxaxb= + +的图像在点 P(0,f(0)处的切线方程为 32yx= . （）求实数 a， b 的值； （）设 22 4(2) 2 2
10、, 1yx px= =null () () 1 m gx fx x =+ 是 2, )+ 上的增函数 . （）求实数 m 的最大值； （）当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线能与曲线 ()ygx= 围成 两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在， 说明理由 . 参考答案 选择题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 5 分，满分 60 分 . 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 填空题：本大题考查基础知识和基本运算 . 每小题 4 分，满分 16 分 . 13.1 1
11、4.60 15. 16.962 三、 解答题：本大题共 6 小题；共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想、化归与转化思想 .满分 12 分 . 解： ( )由 S n+1 S n =（ 1 3 ） n + 1 得 1 1 1 () 3 n n a + + = (n N *)； 又 1 1 3 a = ，故 1 () 3 n n a = (n N *) 从而 11 1 ( ) 11 33 1 ( ) 1 23 1 3 n n n s = (n N *). ( )由 ( )可得 1
12、1 3 S = ， 2 4 9 S = ， 3 13 27 S = 从而由 S 1， t（ S 1+ S 2） ， 3（ S 2+ S 3）成等差数列可得： 1413 14 3( ) 2( ) 3927 39 t+ + = + ，解得 t=2. 18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归 与转化思想、必然与或然思想 .满分 12 分 . 解： ( )有序数组（ m,n）的吧所有可能结果为： （ 1,1） ， （ 1,2） ， （ 1,3） ， （ 1,4） ， （ 2,1） ， （ 2,2） ， （ 2,3） ， （ 2,4） ， （ 3,1） ， （
13、3,2） ， （ 3,3） ， （ 3,4） ， （ 4,1） ， （ 4,2） ， （ 4,3） ， （ 4,4） ，共 16 个 . ( )由 () mmn aab 得 2 21mm no+= ，即 2 (1)nm= . 由于 ,mn 1,2,3,4 ，故事件 A 包含的基本条件为（ 2,1）和（ 3,4） ，共 2 个 .又基 本事件的总数为 16，故所求的概率 21 () 16 8 PA= = . 19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函 数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想 .满分 12 分 . 解： （）将（ 1,-2）
14、代入 2 2ypx= ，所以 2p = . 故所求的抛物线 C 的方程为 2 4yx= ，其准线方程为 1x= . （）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y= 2x + t ， 由 ，得 y2 2 y 2 t=0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 =4+8 t，解得 t 1/2 . 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d= ，可得 = ，解得 t=1. 因为 1- , ） ， 1 ， ） ，所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y-1 =0. 20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等 基础知识，考察空间想象能力、推理论证
15、能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数 结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 12 分 解法一： （ I） 证明：在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD A 1 D 1 又 EH A 1 D 1 ， AD EH. AD平面 EFGH EH 平面 EFGH AD/平面 EFGH. （ II） 设 BC=b，则长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的体积 V=ABADAA 1 =2a 2 b， 几何体 EB 1 F-HC 1 G 的体积 V 1 =（ 1/2EB 1 B 1 F） B 1 C 1 =b/2EB 1 B 1 F EB 1 2 + B
16、 1 F 2 =a 2 EB 1 2 + B 1 F 2 （ EB 1 2 + B 1 F 2 ） /2 = a 2 / 2,当且仅当 EB 1 =B 1 F= /2 a 时等号 成立 从而 V 1 a 2 b /4 . 故 p=1-V 1 /V 7/8 解法二： （ I） 同解法一 （ II） 设 BC=b，则长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的体积 V=ABADAA 1 =2a 2 b ， 几何体 EB 1 F-HC 1 G 的体积 V 1 =（ 1/2 EB 1 B 1 F） B 1 C 1 =b/2 EB 1 B 1 F 设 B 1 EF=（ 0 90） ，则 EB 1
17、 = a cos， B 1 F =a sin 故 EB 1 B 1 F = a 2 sin cos = ，当且仅当 sin 2 =1 即 =45时等号 成立 . 从而 p=1- V 1 /V =7/8，当且仅当 sin 2 =1 即 =45时等号成立 . 所以， p 的最小值等于 7/8 21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、 运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想 .满分 12 分 . 解法一： （ I）设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S= = = 故 t=1/3 时， S min = ， v= =30 即
18、，小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 （）设小艇与轮船在 B 处相遇 由题意可知，（vt） 2 =20 2 +（30 t） 2 -22030tcos（90-30）， 化简得：v 2 = +900 =400 +675 由于 0 t 1/2，即 1/t 2, 所以当 1 t =2 时， v取得最小值 10 13 ， 即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里 /小时。 （）由（）知 2 2 400 600 900v tt =+，设 1 u t = (0)u ， 于是 22 400 600 900 0uu v +=。 （ *） 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于
19、方程（ *）应有两个不等正根， 即： 22 2 600 1600(900 ) 0, 900 0. v v 解得 15 3 30v 时，设 2 m yt t =+ ， 1, )t+ 因为 2 1 0 m y t =+ ，所以函数 2 m yt t =+ 在 1, )+ 上单调递增， 因此 min 3y m=。 min 0, 3 0ymQ ，即 3m 。 又 0m ，故 03m。 综上， m 的最大值为 3。 （）由（）得 32 13 () 3 2 31 gx x x x x =+ ，其图像关于点 1 (1, ) 3 Q 成中心对称。 证明如下： Q 32 13 () 3 2 31 gx x x
20、x x =+ 32 (2 ) (2 ) (2 ) 3(2 ) 2 1 gx x x x x = + + 32 18 3 331 xx x x = + + + 因此， 2 () (2 ) 3 gx g x+=。 上式表明，若点 (, )Axy为函数 ()gx在图像上的任意一点，则点 2 (2 , ) 3 B xy 也一定在函 数 ()gx的图像上。而线段 AB 中点恒为点 1 (1, ) 3 Q ，由此即知函数 ()gx的图像关于点 Q成 中心对称。 这也就表明，存在点 1 (1, ) 3 Q ，使得过点 Q的直线若能与函数 ()gx的图像围成两个封闭 图形，则这两个封闭图形的面积总相等。 解法
21、二： （）同解法一。 （） （）由 32 1 () 3 2 31 m gx x x x x =+ 得 2 2 ( ) 2 3 (1) m gx x x x =+ 。 ()gxQ 是 2, )+ 上的增函数， ( )gx 0 在 2, )+ 上恒成立， 即 2 2 23 0 (1) m xx x + 在 2, )+ 上恒成立。 设 2 (1)x t=。 2, ), 1, )xt+Q ， 即不等式 20 m t t + 在 1, )+ 上恒成立。 所以 2 2mt t + 在 1, )+ 上恒成立。 令 2 2y tt=+， 1, )t+，可得 min 3y = ，故 3m ，即 m 的最大值为 3. （）由（）得 32 13 () 3 2 31 gx x x x x =+ ， 将函数 ()gx的图像向左平移 1 个长度单位，再向下平移 1 3 个长度单位，所得图像相应的函 数解析式为 3 13 () 2 3 xxx x =+， (,0)(0,)x +U 。 由于 () ()x x = ，所以 ()x 为奇函数，故 ()x 的图像关于坐标原点成中心对称。 由此即得，函数 ()gx的图像关于点 1 (1, ) 3 Q 成中心对称。 这也表明，存在点 1 (1, ) 3 Q ，是得过点 Q的直线若能与函数 ()gx的图像围成两个封闭图 形，则这两个封闭图形的面积总相等。
