1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至 2页，第卷 3至 4页考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共12 小题，每小题 5分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 参考公式： 如果事件
2、A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PA B PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 一、选择题 (1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=A UB，则集合 () u AB I 中的 元素共有（A） （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 解： 3, 4, 5, 7, 8, 9AB=U ， 4, 7
3、,9 ( ) 3,5,8 U AB CAB= =II故选 A。也可用摩根 律： ( )()() UUU CAB CA CB=IU （2）已知 1i Z =2+i,则复数z=（B ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解： (1 ) (2 ) 1 3 , 1 3zii izi=+=+= 故选B。 (3) 不等式 1 1 X X + 1 的解集为（ D ） （A） x 01 1x xx U (B) 01x x （C） 10 x x (D) 0 xx 解：验 x=-1即可。 (4)设双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相
4、切，则该双曲线的离心 率等于( C ) （A） 3 （B）2 （C） 5 （D） 6 解：设切点 00 (, )Px y ，则切线的斜率为 0 0 |2 xx yx = = .由题意有 0 0 0 2 y x x = 又 2 00 1yx=+ 解得: 22 0 1, 2, 1 ( ) 5 bb xe aa = = + = . (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组
5、中选出一名女生有 112 536 225CCC= 种选法 (2) 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC= 种选法.故共有 345 种选法.选 D （6）设 a、 b 、 c是单位向量，且 a b 0，则 ( ) ( )ac bc 的最小值为 ( D ) （A） 2 （B） 22 （C） 1 (D)12 解: ,abc rrr Q 是单位向量 ( ) ( ) 2 ()ac bc ab abcc =+ rr rr urrurrrr 1| | |1 2cos , 1 2ab c abc= + = rr r rrr 故选D. （7）已知三棱柱 111 ABC ABC 的侧棱与底面边长都相
6、等， 1 A 在底面 ABC 上的射影为 BC的中点，则异面直线 AB与 1 CC 所成的角的余弦值 为（ D ） B C B C A1 1 1 A D （A） 3 4 （B） 5 4 （C） 7 4 (D) 3 4 解：设 BC的中点为 D，连结 1 A D，AD，易知 1 AAB = 即为异面直线 AB与 1 CC 所成的角, 由三角余弦定理，易知 1 1 3 cocs 4 os cos AD AD AAD DAB AA AB = =.故选 D （8）如果函数 ()cos 2yx3 的图像关于点 4 3 ，0 中心对称，那么 | 的最小值为 （A） 6 （B） 4 （C） 3 (D) 2
7、解: Q函数 ()cos 2yx3 的图像关于点 4 3 ，0 中心对称 4 2 32 k +=+ 13 () 6 kkZ = 由此易得 min | 6 = .故选A (9) 已知直线y=x+1 与曲线 yln( )x a=+相切，则的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (, )Px y ，则 00 0 0 ln1, ( )yx ayx=+ = + ,又 0 0 1 |1 xx y xa = = = + Q 000 10,12xa y x a += =.故答案选 B （10）已知二面角 l 为 60 o ，动点 P、Q 分别在面、内，P 到的距离为
8、3 ， Q 到的距离为 23，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 （ C ） (A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作 , ,QA A AC l C PB B 于于 于 PD l D 于 ，连 ,60CQ BD ACQ PBD=则 23, 3AQ BP=， 2AC PD = 又 22 2 12 2 3PQ AQ AP AP=+=+Q 当且仅当 0AP = ，即 A P点与点 重合时取最小值。故答案选 C。 Q A P B C D （11）函数 ()f x 的定义域为 R，若 (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数，则( D ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x
9、 是奇函数 (C) () ( 2)fx fx= + (D) (3)fx+ 是奇 函数 解: Q (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数， ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)fx fx fx fx + = + = ， 函数 ()f x 关于点 (1, 0) ，及点 (1,0) 对称，函数 ()f x 是周期 21 ( 1) 4T = = 的周期 函数. ( 1 4) ( 1 4)fx fx + = + ， (3) (3)fx fx += +，即 (3)fx+ 是奇函数。故 选D 12.已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy+ = 的右焦点为 F ,右准线为 l，点 Al ，线段 AF 交
10、C于点 B， 若 3FA FB= uuuruur ,则 |AF uuuur =( A ) (A). 2 (B). 2 (C). 3 (D). 3 解:过点B 作 BMl 于 M,并设右准线 l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 3FAFB= uuuruur , 故 2 | 3 BM = .又由椭圆的第二定义,得 22 2 | 23 3 BF = |2AF = .故选A 第II卷 二、填空题： 13. () 10 x y 的展开式中， 73 x y 的系数与 37 x y 的系数之和等于 。 解: 37 3 10 10 10 ( ) 2 240CC C+ = = 14. 设等差数列
11、n a 的前 n项和为 n S ，若 9 72S = ,则 249 aaa+ + = 。 解: n aQ 是等差数列,由 9 72S = ,得 59 9,Sa = 5 8a = 249 29 4 56 4 5 ()()324aaa aa a aa a a+= + += + += =. 15. 直三棱柱 111 ABC ABC 的各顶点都在同一球面上，若 1 2AB AC AA=, 120BAC=，则此球的表面积等于 。 解:在 ABC 中 2AB AC= = , 120BAC=,可得 23BC = ,由正弦定理,可得 ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO 中
12、，易得球半径 5R = ， 故此球的表面积为 2 420R = . 16. 若 42 x ，则函数 3 tan 2 tany xx= 的最大值为 。 解:令 tan ,x t= 1 42 x t Q , 44 3 22 2 42 2 2tan 2 2 2 2 tan 2 tan 8 11 11 1 1 1tan 1 () 24 4 xt yxx xt tt t = = 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） （ 注意：在试题卷上作答无效 ） 在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 2
13、2 2ac b=，且 sin cos 3cos sin ,A CAC= 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 22 2ac b=,左 侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A CAC= 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在 已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在 ABC 中 sin cos 3cos sin ,A CAC=Q 则由正弦定理及余弦定理 有: 222 222 3, abc bca ac ab bc + + = 化简并整理得： 22 2 2
14、( )ac b = .又由已知 22 2ac b= 2 4bb = .解得 40(bb= =或舍） . 解法二: 由余弦定理得: 22 2 2cosacb bc A= . 又 22 2ac b = , 0b 。 所以 2cos 2bcA= + 又 sin cos 3cos sinA CAC= ， sin cos cos sin 4cos sinA CAC AC += sin( ) 4cos sinA CAC+= ， 即 sin 4cos sinB AC= 由正弦定理得 sin sin b B C c = ， 故 4cosbcA= 由，解得 4b= 。 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对
15、正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不 再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD为矩形， SD 底面 ABCD ， 2AD= , 2DC SD=，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60 （I）证明：M 在侧棱 SC 的中点 （II）求二面角 SAMB的大小。 解法一： （I） 作 ME CD交 SD于点 E，则 ME AB， ME 平面SAD 连接 AE，则四边形 ABME为直角梯形 作 MFAB ，垂足
16、为 F，则 AFME 为矩形 设 MEx= ，则 SE x= ， 22 2 (2 ) 2AE ED AD x=+=+ 2 (2 ) 2, 2MFAE x FB x=+ = 由 2 tan 60 , (2 ) 2 3(2 )MFFB x x= += 。 得 解得 1x = 即 1ME = ，从而 1 2 MEDC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （） 22 2MB BC MC=+=，又 60 , 2ABM AB = o ,所以 ABM 为等边三角形， 又由（）知 M 为SC 中点 2, 6, 2SM SA AM= =，故 222 ,90SA SM AM SMA=+ = o 取AM中点G， 连结
17、BG， 取SA中点H， 连结GH， 则 ,BGAMGHAM ,由此知 BGH 为二面角 SAMB的平面角 连接 BH ，在 BGH 中， 22 312 2 3, , 22 BG AM GH SM BH AB AH=+= 所以 222 6 cos 23 BG GH BH BGH BG GH + = = 二面角 SAMB的大小为 6 arccos( ) 3 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ( 2,0,0)A ，则 ( 2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)BCS （）设 (0)SM MC =,则 22 22 (0, ,
18、), ( 2, , ) 11 11 MMB = + + 又 (0,2,0), , 60AB MB AB= o 故 |cos60MB AB MB AB= o 即 222 42 (2) ( ) ( ) 111 =+ + 解得 1 = ，即 SM MC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由 (0,1,1), ( 2,0,0)MA ，得 AM 的中点 211 (,) 222 G 又 23 1 ( , , ), (0, 1,1), ( 2 ,1,1) 22 2 GB MS AM= 0, 0GB AM MS AM= = 所以 ,GB AM MS AM 因此 ,GB MS 等于二面角 SAMB的平
19、面角 6 cos , 3| GB MS GB MS GB MS = 所以二面角 SAMB的大小为 6 arccos( ) 3 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进
20、行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析 ：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很 可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 解：记 i A 表示事件：第 i局甲获胜，i=3,4,5 j B 表示事件：第 j 局乙获胜，j=3,4 （）记 B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲 先胜 2 局，从而 34 345 345 B AABAAABA=+ 由于各局比赛结果相互独立，故 34 345 345 ()()
21、()()PB PA A PB A A PA B A=+ = 34 345 345 ()() ()()() ()()()PAPA PB PA PA PAPB PA+ =0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6 =0.648 （II） 的可能取值为 2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以 34 34 (2)( )PPAABB = + = 34 34 ()()PA A PB B+ = 34 34 () () () ()PA PA PB PB+ =0.60.6+0.40.4 =0.52 (3)1(2)PP = =1.0.52=0.48 的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 2(2)3
22、(3)EP P = = + = =20.52+30.48 =2.48 20 （本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效） 在数列 n a 中， 11 11 1, (1 ) 2 nnn n aa a n + + =+ （I）设 n n a b n = ，求数列 n b 的通项公式 （II）求数列 n a 的前 n项和 n S 解： （I）由已知得 11 1ba=，且 1 1 12 nn n aa nn + =+ + 即 1 1 2 nn n bb + =+ 从而 21 1 2 bb= + 32 2 1 2 bb=+ 1 1 1 (2) 2 nn n bb n = + 于是 1 21
23、11 1 . 22 2 n n bb =+ + + = 1 1 2(2) 2 n n 又 1 1b = 故所求的通项公式 1 1 2 2 n n b = （II）由（I）知 11 1 (2 ) 2 22 n nn n an n = =, n S = 1 1 (2 ) 2 n k k k k = 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k = = 而 1 (2 ) ( 1) n k knn = =+ ,又 1 1 2 n k k k = 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 1 2 4 22 n kn k = + = n S = (1)nn+ 1 2 4 2 n n + + 评析 ：09
24、 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求 前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人 在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21（本小题满分 12 分） （ 注意：在试题卷上作答无效） 如图， 已知抛物线 2 :Ey x= 与圆 222 :( 4) ( 0)Mx y rr += 相交 于 A、 B、 C 、 D四个点。 （I）求 r得取值范围； （II）当四边形 ABCD的面积最大时，求对角线 AC 、 BD的交点 P坐标 分析： （I）
25、这一问学生易下手。 将抛物线 2 :Ey x= 与圆 222 :( 4) ( 0)Mx y rr += 的方程联立，消去 2 y ，整理得 22 716 0 xx r+= （） 抛物线 2 :Ey x= 与圆 222 :( 4) ( 0)Mx y rr += 相交于 A、 B、 C 、 D四个点的 充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可. 由此得 22 12 2 12 (7) 4(16 ) 0 70 16 0 r xx xx r = += = 解得 2 15 16 4 r 所以 15 (,4) 2 r 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲
26、线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入 的方法处理本小题是一个较好的切入点。 设 E与 M 的四个交点的坐标分别为： 11 (, )Ax x 、 11 (, )B xx 、 22 (, )Cx x 、 22 (, )Dx x 。 则直线 ACBD、 的方程分别为 21 21 1111 21 21 (), () xx xx y x xxy x xx xx xx + = + = 解得点 P 的坐标为 12 (,0)xx 设 12 txx= ，由 2 16tr=及（I）知 7 0 2 t 由于四边形 ABCD为等腰梯形，因而其面积 21 1 2 21 1 2 1 2 | |( ) | |( )
27、2 S xxxxxxxx= + = + 则 22 12 12 12 12 ( ) 4 ( 2 )Sxx x xx x=+ + 将 12 12 7,x xxxt+= =代入上式，并令 2 ()f tS= ，得 2 7 ( ) (7 2 ) (7 2 )(0 ) 2 ft t t t=+ 求导数 () 2(7 2) (6 7)ft t t= + 令 () 0ft= ，解得 77 , 62 tt=（舍去） 当 7 0 6 t ； 7 6 t = 时， () 0ft= ； 77 62 t 时， () 0ft 故当且仅当 7 6 t = 时， ()f t 有最大值，即四边形 ABCD的面积最大，故所求的
28、点 P 的 坐标为 7 (,0) 6 22. 本小题满分 12 分。 （ 注意：在试题卷上作答无效） 设函数 () 32 33f xx bx cx=+ + 在两个极值点 12 x x、 ，且 12 1 0, 1, 2.xx ， （I）求 bc、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画 出满足这些条件的点 (),bc的区域； (II)证明： () 2 1 10 2 fx 解 （I） () 2 363f xxbxc =+ 依题意知，方程 () 0fx = 有两个根 12 x x、 ， 1 10,x 且， 2 1, 2.x 等价于 ( )10f ， ()00f ， () ()10 20ff ， 由
29、此得 b、c满足的约束条件为 21 0 21 44 cb c cb cb 满足这些条件的点 ( ),bc的区域为图中阴影部分， (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。 此题主要利用消元的手段，消去目标 ( ) 32 22 2 2 33f xxbx cx=+ + 中的 b， （如果消 c会较繁 琐）再利用 2 x 的范围，并借助（I）中的约束条件得 2,0c 进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知 () 2 22 2 3630fx x bx c =+=，故 2 22 11 22 bx x c= 于是 () 32 3 22 2 2 2 2 13 33 22 c f xxbx cx x x=+ + = + 由于 2 1, 2x Q ，而由（）知 0c ，故 2 13 43 () 22 cfx c+ + 又由（）知 2,0c 所以 2 1 10 ( ) 2 fx
