1、2009 年全国高考理科数学试题及答案（全国卷） 一、选择题： 1. 10i 2-i = A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i 解 ：原式 10i(2+i) 24 (2-i)(2+i) i=+.故选 A. 2. 设集合 1 |3, | 0 4 x Axx Bx x = ，则 ABI = A. B. ()3, 4 C.( )2,1 D. ()4.+ 解 ： 1 |0|(1)(4)0|14 4 x Bx xx x x x x = B. acb C. bac D. bca 解 ： 322 log 2 log 2 log 3 bcQ 2233 log 3 log 2 lo
2、g 3 log ababc= .故选 A. 8. 若将函数 ()tan 0 4 yx =+ 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数 tan 6 yx =+ 的图像重合，则 的最小值为 A 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 解 ： 6 tan tan ( ta) 6446 nyx yx x = + = = + + 向右平移 个单位 1 6 4 () 66 2 kkkZ +=+ ， 又 min 1 0 2 =Q .故选 D 9. 已知直线 ( )( )20ykx k=+ 与抛物线 2 :8Cy x= 相交 于 AB、 两点， F 为 C 的焦点，若 |2|FA FB= ，则 k
3、= A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 22 3 解 ：设抛物线 2 :8Cy x= 的准线为 :2lx= 直线 ()()20ykx k=+ 恒过定点 P( )2,0 .如图过 AB、 分 别作 AM l 于 M , BNl 于 N , 由 |2|FA FB= , 则 |2|AMBN= , 点 B 为 AP 的中点 . 连结 OB , 则 1 | 2 OB AF= , |OB BF = 点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为 22 0 22 (1, 2 2 ) 1(2) 3 k = = , 故选 D 10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少
4、有 1 门不相同的选法 共有 A. 6 种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 解 ：用间接法即可 . 22 2 44 4 30CC C=种 . 故选 C 11. 已知双曲线 () 22 22 10,0 xy Cab ab =： 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A B、 两点，若 4AFFB= ,则 C 的离心率为 m A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 解 ：设双曲线 22 22 1 xy C ab =： 的右准线为 l ,过 AB、 分 别 作 AMl 于 M , BNl 于 N , BDAMD 于 ,由 直线 AB 的斜率为 3 ,知直线
5、 AB 的倾斜角为 1 60 60 ,| | | | 2 BAD AD AB = = , 由双曲线的第二定义有 1 | |(|)AMBNAD AFFB e = uuur uuur 11 |(|) 22 ABAFFB= + uuur uuur . 又 15 6 4 3| 25 AF FB FB FB e e = = = uuuruur Q 故选 A 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、 北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得 到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解 ：展、折问题。易判断选 B 第 II
6、卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。 13. () 4 x yyx 的展开式中 33 x y 的系数为 6 。 解 ： () 4 22 4 ()x yyx xy x y= ，只需求 4 ()x y 展开式中的含 xy项的系数： 2 4 6C = 14. 设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，若 53 5aa= 则 9 5 S S = 9 . 解 ： n aQ 为等差数列， 95 53 9 9 5 Sa Sa = 15.设 OA是球 O的半径， M 是 OA的中点，过 M 且与 OA成 45角的平面截球 O的表面
7、 得到圆 C 。若圆 C 的面积等于 7 4 ，则球 O的表面积等于 8 . 解 ：设球半径为 R ，圆 C 的半径为 r ， 22 77 . 44 4 rr = =,得由 因为 22 22 4 R OC R= 。由 2222 217 () 484 RRrR= += +得 2 2R = .故球 O的表 面积等于 8 . 16. 已知 AC BD、 为圆 O : 22 4xy+=的两条相互垂直的弦，垂足为 () 1, 2M ,则四边形 ABCD的面积的最大值为 。 解 ：设圆心 O到 AC BD、 的距离分别为 12 dd、 ,则 22 2 12 3dd OM= =+ . 四边形 ABCD的面积
8、 22 22 12 1 1 |2(4 )8( )5 2 SABCD d d dd= +=)(4- 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 设 ABC 的内角 A、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c， 3 cos( ) cos 2 AC B +=， 2 bac= ，求 B 。 分析 ：由 3 cos( ) cos 2 AC B+ =，易想到先将 ()B AC= + 代入 3 cos( ) cos 2 AC B+ =得 3 cos( ) cos( ) 2 AC AC += 。 然后利用两角和与差的余弦公式 展
9、开得 3 sin sin 4 AC= ； 又由 2 bac= ， 利用正弦定理进行边角互化， 得 2 sin sin sinB AC= ， 进而得 3 sin 2 B = .故 2 33 B = 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验， 事实上， 当 2 3 B = 时，由 1 cos cos( ) 2 BAC= + = ，进而得 3 cos( ) cos( ) 2 1 2 AC AC =+=，矛盾， 应舍去。 也可利用若 2 bac= 则 babc或 从而舍去 2 3 B = 。不过这种方法学生不易想到。 评析 ：本小题考生得分易，但得满分难。 18（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 1
10、11 ABC ABC 中， ,ABACD 、 E 分别 为 1 AA 、 1 BC 的中点， DE 平面 1 BCC （ I）证明： ABAC= （ II）设二面角 ABDC为 60，求 1 BC 与平面 BCD所成的角的大小。 （ I） 分析一 ：连结 BE， 111 ABC ABCQ 为直三棱柱， 1 90 ,BBC= EQ 为 1 BC 的中点， BEEC = 。又 DE 平面 1 BCC ， BDDC = （射影相等的两条斜线段相等）而 DA平面 ABC ， ABAC = （相等的斜线段的射影相等） 。 分析二 ：取 BC 的中点 F ，证四边形 AFED 为平行四边形，进而证 AF
11、DE ， AFBC ，得 ABAC= 也可。 分析三 ：利用空间向量的方法。具体解法略。 （ II） 分析一 ：求 1 BC 与平面 BCD所成的线面角，只需 求点 1 B 到面 BDC 的距离即可。 作 AGBD 于 G ， 连 GC ， 则 GC BD ， AGC 为二面角 A BD C的平面角， 60AGC =.不 O 妨设 23AC = ，则 2, 4AG GC=.在 RTABD 中，由 AD AB BD AG =，易 得 6AD= . 设点 1 B 到面 BDC 的距离为 h ， 1 BC 与平面 BCD 所成的角为 。利用 1 11 33 BBC BCD SDESh = ，可求得
12、h= 23，又可求得 1 43BC= 1 1 sin 30 . 2 h BC = 即 1 BC 与平面 BCD所成的角为 30 . 分析二 ：作出 1 BC 与平面 BCD所成的角再行求解。如图可证得 BC AFED面 ，所以 面 AFED BDC面 。由分析一易知：四边形 AFED 为正方形，连 AEDF、 ，并设 交点为 O ，则 EOBDC面 ， OC 为 EC 在面 BDC 内的射影。 ECO 即为所求 。以下略。 分析三： 利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n r ，则 1 BC 与平面 BCD所成的角 即为 1 BC uuur 与法向量 n r 的夹角的余角。具体解法详见
13、高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 19（本小题满分 12 分） 设数列 n a 的前 n项和为 , n S 已知 1 1,a = 1 42 nn Sa + = + （ I）设 1 2 nn n ba a + =，证明数列 n b 是等比数列 （ II）求数列 n a 的通项公式。 解： （ I） 由 1 1,a = 及 1 42 nn Sa + =+， 有 12 1 42,aa a+ =+ 21 121 325, 23aa baa= += = 由 1 42 nn Sa + =+，
14、则当 2n 时，有 1 42 nn Sa = + 得 111 1 44, 2 2(2) nnnnnnn aaaaaaa + = = 又 1 2 nn n ba a + =Q ， 1 2 nn bb = n b 是首项 1 3b = ，公比为的等比数列 （ II）由（ I）可得 1 1 232 n nn n ba a + =， 1 1 3 224 nn aa + + = 数列 2 n n a 是首项为 1 2 ，公差为 3 4 的等比数列 1331 (1) 22 444 n n a nn=+ = ， 2 (3 1) 2 n n an = 评析：第（ I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1nn
15、bb 与 的关系即可 第（ II）问中由（ I）易得 1 1 232 n nn aa + = ，这个递推式明显是一个构造新数列的模 型： 1 (, n nn apaqpq + =+ 为常数) ，主要的处理手段是两边除以 1n q + 总体来说， 09 年高考理科数学全国 I、 这两套试题都将数列题前置 ,主要考查构造新 数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法） ，一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法 基本技能 ,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 20（本小题满分 12
16、 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人， 现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行 技术考核。 （ I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （ II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （ III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 分析 ： （ I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分 层抽样与性别无关。 （ II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 11 46 2 10
17、 8 15 CC P C = = （ III） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 12 34 21 10 5 6 (0) 75 CC P CC = =， 11 1 21 46 3 42 2121 10 5 10 5 28 (1) 75 CC C CC P CCCC = + = ， 2 1 6 2 21 10 5 10 (3) 75 C C P CC = = ， 31 (2)1(0)(1)(3) 75 PPPP= 分布列及期望略。 评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 (2)P = 时，采用分类的方法， 用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。 21（本小题满分
18、12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 3 ，过右焦点 F 的直线 l与 C 相交 于 A、 B 两点，当 l的斜率为 1 时，坐标原点 O到 l的距离为 2 2 （ I）求 a， b 的值； （ II） C 上是否存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB=+ uuuruur uuur 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由。 解 :(I）设 (,0)Fc ，直线 :0lx yc=，由坐标原点 O到 l的距离为 2 2 则 |0 0 | 2 2 2 c = ，解得 1c = .又 3 ,3,
19、2 3 c eab a = = = . （ II）由 (I）知椭圆的方程为 22 :1 32 xy C + = .设 11 (, )Ax y 、 B 22 (, )x y 由题意知 l的斜率为一定不为 0，故不妨设 :1lx my= + 代入椭圆的方程中整理得 22 (2 3) 4 4 0mymy+ +=，显然 0 。 由韦达定理有： 12 2 4 , 23 m yy m += + 12 2 4 , 23 yy m = + .假设存在点 P，使 OP OA OB=+ uuuruur uuur 成立，则其充要条件为： 点 1212 P(,)x xy y+的坐标为 ，点 P 在椭圆上，即 22 1
20、2 12 ()( ) 1 32 xx yy+ + = 。 整理得 2222 112 21212 2323 4 6 6xyxyx y+ + =。 又 AB、 在椭圆上，即 22 2 2 11 23 6,23 6xy xy+= +=. 故 12 12 2330 xx yy+= 将 2 12 1 2 12 1 2 (1)(1) ( )1x x my my m y y m y y=+ += +及代入解得 2 1 2 m = 12 22 22 yy += 或 , 12 x x+ = 2 2 43 2 23 2 m m += + ,即 32 (, ) 22 P . 当 232 2 ,(, ),: 1 22
21、2 2 mP lxy=+时 ; 当 232 2 ,(, ),: 1 222 2 mPlxy= = +时 . 评析 ：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ，主要讲的是算理 和算法。算法是解决问题采用的计算的方法 ,而算理是采用这种算法的依据和原因 ,一 个是表 ,一个是里 ,一个是现象 ,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例 如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几 部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破 口和切入点。 22.(本小题满分 12 分 ) 设函数 () ( ) 2 1f xxa
22、In x=+ +有两个极值点 12 x x、 ，且 12 x x 解 : （ I） () 2 22 2(1) 11 axxa fx x x xx + =+ = + 令 2 () 2 2gx x x a=+，其对称轴为 1 2 x= 。由题意知 12 x x、 是方程 () 0gx= 的两个 均大于 1 的不相等的实根，其充要条件为 48 0 (1) 0 a ga = = ，得 1 0 2 a 在 1 (1, )x 内为增函数； 当 12 (, )x xx 时， () 0, ( )f xfx 在 2, ()x + 内为增函数； （ II）由（ I） 2 1 (0) 0, 0 2 ga x= ， 则 () ( ) ( )22(21)1 2 2(21)1hx x x ln x x x ln x = + += + + 当 1 (,0) 2 x 时， () 0, ( )hx hx 在 1 ,0) 2 单调递增； 当 (0, )x+时， () 0hx =当时 故 () 22 122 () 4 In fx hx =
