1、2015届江苏省常熟市杨园中学九年级上学期期中模拟数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知一个扇形的弧长为 10cm，圆心角是 150，则它的半径长为（ ） A 12cm B 10cm C 8cm D 6cm 答案： A 试题分析： ， 解得 r=12cm 故选 A 考点：弧长的计算 如图， AB是 O的直径，点 D、 E是半圆的三等分点， AE、 BD的延长线交于点 C，若 CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：连接 OE、 OD，点 D、 E是半圆的三等分点， AOE= EOD= DOB=60 OA=OE=OD=OB OAE、 ODE、 OBD、 CD
2、E都是等边三角形， AB DE， S ODE=S BDE； 图中阴影部分的面积 =S 扇形 OAE-S OAE+S 扇形 ODE= 故选 A 考点：扇形面积的计算 二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示，给出下列结论： b2-4ac 0； 2a+b 0； 4a-2b+c=0； a： b： c=-1： 2： 3 其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析： 二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象和 x轴有两个交点， b2-4ac 0， 正确； 二次函数的对称轴是直线 x=1， 即二次函数的顶点的横坐标为 x=- =1， 2a+b=0， 错
3、误； 把 x=-2代入二次函数的式得： y=4a-2b+c， 从图象可知，当 x=-2时， y 0， 即 4a-2b+c 0， 错误； 二次函数的图象和 x轴的一个交点时（ -1， 0），对称轴是直线 x=1， 另一个交点的坐标是（ 3， 0）， 设 y=ax2+bx+c=a（ x-3）（ x+1） =ax2-2ax-3a， 即 a=a， b=-2a， c=-3a， a： b： c=a：（ -2a）：（ -3a） =-1： 2： 3， 正确； 故选 B 考点：二次函数图象与系数的关系 如图， ABC内接于圆 O， A=50， ABC=60， BD是圆 O的直径，BD交 AC于点 E，连接 DC
4、，则 AEB等于（ ） A 70 B 110 C 90 D 120 答案： B 试题分析： A=50， ABC=60 ACB=70 BD是圆 O的直径 BCD=90 ACD=20 ABD= ACD=20 AEB=180-（ BAE+ ABE） =180-（ 50+20） =110 故选 B 考点： 1圆周角定理； 2三角形内角和定理 在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx+2k和函数 y=-kx2+4x+2（ k是常数，且 k0）的图象可能是（ ） 答案： D 试题分析：解：当 k 0时，函数 y=kx+2k的图象经过一、二、三象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向下，对称轴在 y轴的右侧；
5、 当 k 0时，函数 y=kx+2k的图象经过二、三、四象限；函数 y=-kx2+4x+4的开口向上，对称轴在 y轴的左侧，故 D正确 故选 D 考点： 1二次函数的图象； 2一次函数的图象 已知点 E在半径为 5的 O上运动， AB是 O的一条弦且 AB=8，则使 ABE的面积为 8的点 E共有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：过圆心向弦 AB作垂线，再连接半径 设 ABE的高为 h S ABC= ABh=8 可得： h=2 弦心距 = =3 3-2=1，故过圆心向 AB所在的半圆作弦心距为 1的弦与 O的两个点符合要求； 3+2=5，故将弦心距 AB延长与 O
6、相交，交点也符合要求，故符合要求的点由 3个 故选 C 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 二次函数 y=ax2+bx+c的 y与 x的部分对应值如下表： x 0 1 3 4 y 2 4 2 -2 则下列判断中正确的是（ ） A抛物线开口向上 B抛物线与 y轴交于负半轴 C当 x=-1时 y 0 D方程 ax2+bx+c=0的负根在 0与 -1之间 答案： D 试题分析： A、由图表中数据可得出： x=1 5时， y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误； B、 x=0时， y=2，故抛物线与 y轴交于正半轴，故此选项错误； C、当 x=-1时与 x=4时对应 y值相等，故 y 0，故此选项错
7、误； D、 y=0时， -1 x 0， 方程 ax2+bx+c=0的负根在 0与 -1之间，此选项正确 故选 D 考点： 1图象法求一元二次方程的近似根； 2二次函数的性质 下列命题正确的个数是（ ） 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦； 平分弦的直径平分弦所对的弧； 垂直于弦的直线必过圆心； 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B 试题分析：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以 正确；平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以 错误；垂直平分弦的直线必过圆心，所以 错误；垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以 正确 故选 B 考点：命题与定理 如图，过 O内
8、一点 M的最长弦长为 12cm，最短弦长为 8cm，那么 OM长为（ ） A 6cm B cm C cm D 9cm 答案： B 试题分析：连接 OM交圆 O于点 B，延长 MO交圆于点 A，过点 M作弦CD AB，连接 OC 过圆 O内一点 M的最长的弦长为 12cm，最短的弦长为 8cm， 直径 AB=12cm， CD=8cm CD AB， CM=MD= CD=4cm 在 Rt OMC中， OC= AB=6cm； OM= cm 故选 B 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 从 1、 2、 3、 4中任取两个不同的数，其乘积大于 4的概率是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：画树状图
9、得： 共有 12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于 4的有 6种情况， 从 1、 2、 3、 4中任取两个不同的数，其乘积大于 4的概率是： 故选： C 考点：列表法与树状图法 填空题 如图，平面直角坐标系中，点 A（ 2， 9）， B（ 2， 3）， C（ 3， 2）， D（ 9，2）在 P上， Q是 P上的一个动点 （ 1）点 P坐标为 ； （ 2） Q点在圆上坐标为 时， ABQ是直角三角形 答案：（ 6， 6） ;（ 10， 9）或（ 10， 3） 试题分析：（ 1）根据弦的垂直平分线经过圆心可作 CD和 AB的垂直平分线，它们的交点为 P，然后写出 P点坐标； （ 2）根据
10、圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，则作直径 AQ和 BQ，得到 ABQ和 ABQ都是直角三角形，然后写出 Q点的坐标 试题：（ 1）作 CD和 AB的垂直平分线，它 们的交点为 P点，如图， 则 P点坐标为（ 6， 6）； （ 2）作直径 AQ和 BQ，则 ABQ和 ABQ都是直角三角形， 此时 Q点坐标为（ 10， 9）、（ 10， 3） 考点： 1垂径定理； 2坐标与图形性质； 3勾股定理 如图，在 Rt ABC中， C=90， A=60， AB=2cm，将 ABC绕点 B旋转至 A1BC1的位置，且使 A、 B、 C1三点在同一直线上，则点 A经过的路线的长度是 cm 答案： cm 试
11、题分析：由 C=90， A=60，得到 ABC=90-60=30，则 A1BC1= ABC=30，所以 ABA1=180-30=150，又 AB=2cm，然后根据弧长公式即可计算出弧 AA1的长即点 A经过的路线的长度 试题： C=90， A=60， ABC=90-60=30， A1BC1= ABC=30， ABA1=180-30=150， 而 AB=2cm， 点 A经过的路线的长度 = （ cm） 考点：弧长的计算 在四边形 ABCD 中，（ 1） AB CD，（ 2） AD BC，（ 3） AB=CD，（ 4）AD=BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形 ABCD是平行四边
12、形的概率是 答案： 试题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形 ABCD是平行四边形的情况数，即可求出所求的概率 试题：列表如下： 1 2 3 4 1 - （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） 2 （ 1， 2） - （ 3， 2） （ 4， 2） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） - （ 4， 3） 4 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） - 所有等可能的情况有 12种，其中能判定出四边形 ABCD为平行四边形的情况有 8种，分别为（ 2， 1）；（ 3， 1）；（ 1， 2）；（ 4， 2）；（ 1，3）；（ 4， 3）；（ 2， 4）；（ 3， 4），
13、 则 P= 考点： 1列表法与树状图法； 2平行四边形的判定 如果二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（ 2， 4），且直线 y=x+4依次与 y轴和抛物线相交于 P、 Q、 R三点， PQ： QR=1： 3，则这个二次函数式为 . 答案： y=x2-4x+8或 y=- x2+ x+ 试题分析：根据二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（ 2， 4），利用顶点法设该二次函数式为 y=a（ x-2） 2+4根据直线 y=x+4依次与 y轴和抛物线相交于 P、 Q、 R三 点，则可确定 P点的坐标，并设 Q、 R点的坐标为（ x1， y1）和（ x2， y2）根据两点间的距离
14、公式与 PQ： QR=1： 3求得 |x2|与 |x1|的比值直线y=x+4与抛物线相交于 Q、 R两点列出方程 a（ x-2） 2+4=x+4，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出 x1、 x2、 a的值因此抛物线即可确定 试题： 图象的顶点坐标是（ 2， 4）， 所以二次函数式为 y=a（ x-2） 2+4 ， 直线 y=x+4依次与 y轴和抛物线相交于 P、 Q、 R三点， P点的坐标是（ 0， 4），设 Q、 R点的坐标为（ x1， y1）和（ x2， y2），则y1=x1+4， y2=x2+4， |PQ|= ， |PR|= ， PQ： QR=1： 3且 P在 QR之处， PQ： P
15、R=PQ：（ PQ+QR） =1： 4， |x1|： |x2|=1： 4， |x2|=4|x1| ， 又 x1， x2是抛物线与直线交点的横坐标， a（ x-2） 2+4=x+4，即 ax2-（ 4a+1） x+4a=0， a（ x2- x+4） =0， 由韦达定理， ， 由 得， x1、 x2同号，再由 得 x2=4x1， x1=1， x2=4，从 得 a=1，或 a=- y=x2-4x+8或 y=- x2+ x+ ， 考点：二次函数综合题 已知 ，则 = 答案： 试题分析：根据比例的性质，把 写成 +1的形式，然后代入已知数据进行计算即可得解 试题： = ， = +1= +1= 考点：比例
16、的性质 解答题 如图， ABC内接于 O， AB是 O的直径， C是 的中点，弦CE AB于点 H，连结 AD，分别交 CE、 BC于点 P、 Q，连结 BD （ 1）求证： ACH= CBD； （ 2）求证： P是线段 AQ的中点； （ 3）若 O 的半径为 5， BH=8，求 CE的长 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见；（ 3） 8 试题分析：（ 1）根据垂径定理得出 AB垂直平分 CE，推出 H为 CE中点，弧AC=弧 AE，根据圆周角定理推出即可 （ 2）根据圆周角定理求出 ACH= CAD，推出 AP=CP，求出 PCQ= CQP，推出 PC=PQ，即可得出答案： （ 3）连接
17、OC，根据勾股定理求出 CH，根据垂径定理求出即可 试题：（ 1）证明： AB是 O的直径， CE AB， AB垂直平分 CE， 即 H为 CE中点，弧 AC=弧 AE 又 C是 的中点， 弧 AC=弧 CD 弧 AC=弧 CD=弧 AE ACH= CBD； （ 2）由（ 1）知， ACH= CBD， 又 CAD= CBD ACH= CAD， AP=CP 又 AB是 O的直径， ACB= ADB=90， PCQ=90- ACH， PQC= BQD=90- CBD， PCQ= PQC， PC=PQ， AP=PQ， 即 P是线段 AQ的中点； （ 3）解：连接 OC， BH=8， OB=OC=5，
18、 OH=3 由勾股定理得： CH= =4 由（ 1）知： CH=EH=4， CE=8 考点： 1三角形的外接圆与外心； 2勾股定理；垂径定理； 3圆心角、弧、弦的关系 当 a 0且 x 0时，因为 0，所以 0，从而（当 时取等号）记函数 ，由上述结论可知：当 时，该函数有最小值为 （ 1）已知函数 y1=x（ x 0）与函数 ，则当 x= 1 时， y1+y2取得最小值为 2 （ 2）已知函数 y1=x+1（ x -1）与函数 ，求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的 x的值 答案：（ 1） 1； 2（ 2） 的最小值为 4，相应的 x的值为 1 试题分析：（ 1）可以直接套用题意所给的结
19、论，即可得出结果 （ 2）先得出 的表达式，然后将（ x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可 试题：（ 1） 函数 ），由上述结论可知：当 时，该函数有最小值为 函数 y1=x（ x 0）与函数 ，则当 x= =1，即 x=1时， y1+y2取得最小值为 2 （ 2） 已知函数 y1=x+1（ x -1）与函数 y2=（ x+1） 2+4（ x -1）， （ x -1）， 有最小值为 当 ，即 x=1时取得该最小值 检验： x=1时， x+1=20， 故 x=1是原方程的解 所以， 的最小值为 4，相应的 x的值为 1 考点：二次函数综合题 已知二次函数的图象经过点（ 0， 3），顶点坐
20、标为（ 1， 4）， （ 1）求这个二次函数的式； （ 2）求图象与 x轴交点 A、 B两点的坐标； （ 3）图象与 y轴交点为点 C，求三角形 ABC的面积 答案：（ 1） y=-x2+2x+3（ 2）图象与 x轴交点 A、 B两点的坐标分别为（ -1， 0），（ 3， 0），（ 3） 6 试题分析：（ 1）设出二次函数的顶点式 y=a（ x-1） 2+4，将点（ 0， 3）代入式，求出 a的值即可得到函数式； （ 2）令 y=0，据此即可求出函数与 x轴交点的横坐标，从而得到图象与 x轴交点 A、 B两点的坐标； （ 3）由于知道 C点坐标，根据 A、 B的坐标， 求出 AB的长，利用三角
21、形的面积公式求出三角形的面积 试题：（ 1）设所求的二次函数的式为 y=a（ x-1） 2+4， 把 x=0， y=3代入上式，得： 3=a（ 0-1） 2+4， 解得： a=-1， 所求的二次函数式为 y=-（ x-1） 2+4， 即 y=-x2+2x+3 （ 2）当 y=0时， 0=-x2+2x+3， 解得： x1=-1， x2=3， 图象与 x轴交点 A、 B两点的坐标分别为（ -1， 0），（ 3， 0）， （ 3）由题意得： C点坐标为（ 0， 3）， AB=4， S ABC= 43=6 考点： 1抛物线与 x轴的交点； 2待定系数法求二次函数式 如图， O是 ABC的外接圆， AB
22、是 O的直径， D为 O上一点，OD AC，垂足为 E，连接 BD （ 1）求证： BD平分 ABC； （ 2）当 ODB=30时，求证： BC=OD 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见 试题分析：（ 1）由 OD AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得 BD平分 ABC； （ 2）首先由 OB=OD，易求得 AOD的度数，又由 OD AC于 E，可求得 A的度数，然后由 AB是 O的直径，根据圆周角定理，可得 ACB=90，继而可证得 BC=OD 试题：证明：（ 1） OD AC OD为半径， ， CBD= ABD， BD平分 A
23、BC； （ 2） OB=OD， OBD= 0DB=30， AOD= OBD+ ODB=30+30=60， 又 OD AC于 E， OEA=90， A=180- OEA- AOD=180-90-60=30， 又 AB为 O的直径， ACB=90， 在 Rt ACB中， BC= AB， OD= AB， BC=OD 考点： 1圆周角定理； 2含 30度角的直角三角形； 3垂径定理 为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇 1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （ 1）某镇今年 1-5月新注册小型企业一共有 家请将折线统计图补充完
24、整； （ 2）该镇今年 3月新注册的小型企业中，只有 2家是餐饮企业，现从 3月新注册的小型企业中随机抽取 2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率 答案：（ 1） 16；（ 2） 试题分析：（ 1）根据 3月份有 4家，占 25%，可求出某镇今年 1-5月新注册小型企业一共有的家数，再求出 1月份的家数，进而将折线统计图补充完整； （ 2）设该镇今年 3月新注册的小型企业 为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案： 试题：（
25、1）根据统计图可知， 3月份有 4家，占 25%， 所以某镇今年 1-5月新注册小型企业一共有： 425%=16（家）， 1月份有： 16-2-4-3-2=5（家） 折线 统计图补充如下： （ 2）设该镇今年 3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业画树状图得： 共有 12种等可能的结果，甲、乙 2家企业恰好被抽到的有 2种， 所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率为： 考点： 1折线统计图； 2扇形统计图； 3列表法与树状图法 在直径是 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 CD为 16cm，求油面宽度 AB的长 答案： cm 试题分析：因为
26、圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答 试题：由题意得出： OC AB于点 D， 由垂径定理知，点 D为 AB的中点， AB=2AD， 直径是 52cm， OB=26cm， OD=OC-CD=26-16=10（ cm）， 由勾股定理知， BD= =24（ cm）， AB=48cm 考点： 1垂径定理的应用； 2勾股定理 ABC是一张等腰直角三角形纸板， C=Rt ， AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第 1次剪取，记所得正方形面积为 s1（如图1）；在余下的 Rt ADE和 Rt BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2次剪取，并记这两个正方
27、形 面积和为 s2（如图 2）；继续操作下去 ；则第 10次剪取时， s10= ；第 2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是 答案： ； 试题分析：根据题意，可求得 S AED+S DBF=S 正方形 ECFD=S1=1，同理可得规律： Sn即是第 n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案： 试题： 四边形 ECFD是正方形， DE=EC=CF=DF， AED= DFB=90， ABC是等腰直角三角形， A= C=45， AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF， AC=BC=2， DE=DF=1， S AED+S DBF=S 正方形 ECFD=S1=1； 同理： S2即是
28、第二次剪取后剩余三角形面积和， Sn即是第 n次剪取后剩余三角形面积和， 第一次剪取后剩余三角形面积和为： 2-S1=1=S1， 第二次剪取后剩余三角形面积和为： S1-S2=1- = =S2， 第三次剪取后剩余三角形面积和为： S2-S3= - = =S3， 第 n次剪取后剩余三角形面积和为： Sn-1-Sn=Sn= 则 s10= = ； s2012= = 考点：相似形综合题 如图，直线 y=-x+3与 x轴， y轴分别交于 B， C两点，抛物线 y=-x2+bx+c经过 B， C两点，点 A是抛物线与 x轴的另一个交点 （ 1）求 B、 C两点坐标； （ 2）求此抛物线的函数式； （ 3）
29、在抛物线上是否存在点 P，使 S PAB=S CAB，若存在，求出 P点坐标，若不存在，请说明理由 答案：（ 1） B（ 3， 0） C（ 0， 3）（ 2）此抛物线的式为 y=-x2+2x+3（ 3）存在这样的 P点，其坐标为 P（ 0， 3），（ 2， 3）（ 1+ ， -3）或（ 1- ， -3） 试题分析：（ 1）已知了过 B、 C两点的直线的式，当 x=0时可求出 C点的坐标，当 y=0是可求出 B点 的坐标 （ 2）由于抛物线的式中只有两个待定系数，因此将 B、 C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的式 （ 3）根据（ 2）的抛物线的式可得出 A点的坐标，由此可求出 AB的长，由
30、于S PAB=S CAB，而 AB边为定值由此可求出 P点的纵坐标，然后将 P点的纵坐标代入抛物线的式中即可求出 P点的坐标 试题：（ 1） 直线 y=-x+3经过 B、 C 当 x=0时 y=3 当 y=0时 x=3 B（ 3， 0） C（ 0， 3） （ 2） 抛物线 y=-x2+bx+c经过 B、 C b=2， c=3 此抛物线的式为 y=-x2+2x+3 （ 3）当 y=0时， -x2+2x+3=0； x1=-1， x2=3 A（ -1， 0） 设 P（ x， y） S PAB=S CAB 4|y|= 43 y=3或 y=-3 当 y=3时， 3=-x2+2x+3 x1=0， x2=2 P（ 0， 3）或（ 2， 3） 当 y=-3时， -3=-x2+2x+3 x1=1+ ， x2=1- P（ 1+ ， -3）或（ 1- ， -3） 因此存在这样的 P点，其坐标为 P（ 0， 3），（ 2， 3）（ 1+ ， -3）或（ 1-， -3） 考点：二次函数综合题
