1、2014届北京市怀柔九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 Rt ABC中 , C=90,若 sinA ,则 A的度数是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案： A. 试题分析：在 Rt ABC中 , C=90,sinA ,所以 A=30.故选 A. 考点：特殊角的三角函数 . 如图 ,正方形 ABCD中 ,AB 8cm,对角线 AC,BD相交于点 O,点 E,F分别从B,C两点同时出发 ,以 1cm/s的速度沿 BC,CD运动 ,到点 C,D时停止运动设运动时间为 t(s), OEF的面积为 S(cm2),则 S(cm2)与 t(s)的函数关系可用图象表示为 答案：
2、 B. 试题分析：根据题意 BE=CF=t,CE=8t, 四边形 ABCD为正方形 , OB=OC, OBC= OCD=45, 在 OBE和 OCF中 , OBE OCF（ SAS） , S OBE=S OCF, S 四边形 OECF=S OBC= 8 2=16, S=S 四边形 OECFS CEF=16 （ 8t） t= t24t+16= （ t4） 2+8（ 0t8） , s（ cm2）与 t（ s）的函数图象为抛物线一部分 ,顶点为（ 4,8） ,自变量为 0t8 故选 B 考点：动点问题的函数图象 如图 ,A,B是反比例函数 的图象上关于原点对称的任意两点 ,BC x轴 ,AC y轴
3、, ABC的面积记为 S,则 A S=2 B 2 S 4 C S=4 D S 4 答案： C. 试题分析：如图 ,连接 OC,设 AC 与 x轴交于点 D,BC与 y轴交于点 E A、 B两点关于原点对称 ,BC x轴 ,AC y轴 , AC x轴 ,AD=CD,OA=OB, S COD=S AOD= 2=1, S AOC=2, S BOC=S AOC=2, S ABC=S BOC+S AOC=4 故答案：为： C 考点：反比例函数 . 将抛物线 y (x-1)2+3向左平移 1个单位 ,再向下平移 3个单位后所得抛物线的式为 A y (x-2)2 B y x2 C y x2+6 D y (x
4、-2)2+6 答案： B. 试题分析：将 y=（ x1） 2+3向左平移 1个单位所得直线式为： y=x2+3；再向下平移 3个单位为： y=x2 故答案：为 B 考点：二次函数图象 . 下列事件中 ,为必然事件的是 A购买一张彩票 ,一定中奖 B一个袋中只装有 5个黑球 ,从中摸出一个球是黑球 C抛掷一枚硬币 ,正面向上 D打开电视 ,正在播放广告 答案： B. 试题分析：必然事件就是一定发生的事件 ,即发生的概率是 1的事件 A购买一张彩票 ,一定中奖是随机事件； B一个袋中只装有 5个黑球 ,从中摸出一个球是黑球 .是必然事件； C抛掷一枚硬币 ,正面向上是随机事件； D打开电视 ,正在
5、播放广告是随机事件 . 故选 B. 考点：随机事件 如图 ,在 ABC中 ,D、 E分别是 AB、 AC 上的点 ,且 DE BC,若AD=5,DB=3,DE=4,则 BC 等于 A B C D 答案： D. 试题分析：由 AD=5,BD=3,即可求得 AB=8,又由 得： ADE ABC,根据相似三角形的对应边成比例 ,即可得 ,则可求得 .故选 D. 考点：相似三角形的性质 如图 ,A,B,C 三点在 O 上 ,且 A 50,则 BOC的度数为 A 40 B 50 C 80 D 100 答案： D. 试题分析：在同圆或等圆中 ,同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于这条弧所对的圆心角的一半
6、,由此可得 BOC=2 A=100故选 D 考点：圆周角定理 两个相似三角形周长的比是 2:3,则它们的面积比是 A 2:3 B 3:2 C 4:9 D 9:4 答案： C. 试题分析：根据周长比等于相似比 ,面积比等于相似比的平方 ,易得：面积比是4:9.故选 C. 考点：相似比 . 填空题 Rt ABC中 , C 90,若 AB 5,AC 4,则 A的正切值为 _. 答案： . 试题分析： C=90,AB=5,AC=4, BC= , tanA= 故答案：为： 考点：三角函数 . 抛物线 的最小值是 _ 答案： 试题分析：根据二次函数的最值问题抛物线 y=x2+1的最小值是 1 故答案：为：
7、 1 考点：二次函数的最值 已知扇形的半径为 4,圆心角为 120,则此扇形的弧长是 . 答案： cm. 试题分析：扇形的弧长是 L= 故答案：为： cm 考点：弧长的计算 如图 ,圆心 B在 y轴的负半轴上 ,半径为 5的 B与 y轴的正半轴交于点 A（ 0,1） .过点 P（ 0,-7）的直线 l与 B相交于 C、 D两点 ,则弦 CD长的所有可能的整数值有 _个；它们是 . 答案：个； 8,9,10. 试题分析： 点 A的坐标为（ 0,1） ,圆的半径为 5, 点 B的坐标为（ 0,4） , 又 点 P的坐标为（ 0,7） , BP=3, 当 CD垂直圆的直径 AE时 ,CD的值最小 ,
8、 连接 BC,在 Rt BCP中 ,CP= =4； 故 CD=2CP=8, 当 CD经过圆心时 ,CD的值最大 ,此时 CD=直径 AE=10； 所以 ,8CD10, 综上可得：弦 CD长的所有可能的整数值有： 3个 ,分别是： 8,9,10 考点：垂径定理 . 计算题 计算： 答案： . 试题分析：先求出特殊角的三角函数 ,再按照实数的混合运算 ,进行计算 . 试题 :原式 = = = . 考点：特殊角的三角函数 . 解答题 已知抛物线 y=x2-4x+3,求出它的对称轴和顶点坐标 . 答案：抛物线的对称轴为 x=2; 顶点坐标为（ 2,-1） . 试题分析：将一般式化成顶点式 ,即可得到答
9、案： . 试题 :y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1 抛物线的对称轴为 x=2; 顶点坐标为（ 2,-1） . 考点：抛物线 . （ 1）如图 1,在等边 ABC中 ,点 M是边 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ,联结 AM,以 AM为边作等边 AMN,联结 CN求证： ABC= ACN 【类比探究】 （ 2）如图 2,在等边 ABC中 ,点 M是边 BC 延长线上的任意一点（不含端点C） ,其它条件不变 ,（ 1）中结论 ABC= ACN 还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （ 3）如图 3,在等腰 ABC中 ,BA=BC,点 M是边 B
10、C 上的任意一点（不含端点 B、C） ,联结 AM,以 AM为边作等腰 AMN,使顶角 AMN= ABC联结 CN试探究 ABC与 ACN 的数量关系 ,并说明理由 答案：证明见 . 试题分析：（ 1）先证 BAM CAN，再由全等三角形性质得到结论； （ 2）先证 BAM CAN，再由全等三角形性质得到结论； （ 3）先证 ABC AMN,再证 BAM CAN,由相似三角形性质得到结论。 试题：（ 1） ABC、 AMN 是等边三角形 , AB=AC,AM=AN, BAC= MAN=60, BAM= CAN, BAM CAN（ SAS） , ABC= ACN； （ 2）结论 ABC= ACN
11、 仍成立 理由如下： ABC、 AMN 是等边三角形 , AB=AC,AM=AN, BAC= MAN=60, BAM= CAN, BAM CAN（ SAS） , ABC= ACN； （ 3） ABC= ACN 理由如下： BA=BC,MA=MN,顶角 ABC= AMN, 底角 BAC= MAN, ABC AMN, , 又 BAM= BAC MAC, CAN= MAN MAC, BAM= CAN, BAM CAN, ABC= ACN 考点：三角形的全等与相似 . 理解与应用 小明在学习相似三角形时 ,在北京市义务教育课程改革实验教材第 17册书 ,第 37页遇到这样一道题： 如图 1,在 ABC
12、中 ,P是边 AB上的一点 ,联结 CP. 要使 ACP ABC,还需要补充的一个条件是 _,或 _. 请回答： （ 1）小明补充的条件是 _,或 _. （ 2）请你参考上面的图形和结论 ,探究、解答下面的问题： 如图 2,在 ABC中 , A=60,AC2= AB2+AB.BC.求 B的度数 答案：（ 1） APC= ACB, ACP= B,或 ；（ 2） B=80. 试题分析：（ 1）已知一个角相等，根据三角形相似的判定添加条件； （ 2）通过延长 AB到点 D,使 BD=BC,构造相似三角形，再由三角形内角和定理求角。 试题：（ 1） APC= ACB, ACP= B,或 ； （ 2）如
13、图 ,延长 AB到点 D,使 BD=BC, A= A,AC2=AB(AB+BC), ACB ADC ACB= D, BC=BD, BCD= D, 在 ACD中 , ACB+ BCD+ D + A=180, 3 D+60=180, D=40 B=80 考点：三角形相似 . 如图 ,矩形 ABCD的两边长 AB=18cm,AD=4cm,点 P、 Q 分别从 A、 B同时出发 ,P在边 AB上沿 AB方向以每秒 2cm的速度匀速运动 ,Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1cm的速度匀速运动设运动时间为 x秒 , PBQ 的面积为 y（ cm2） . （ 1）求 y关于 x的函数关系式 ,并在右
14、图中画出函数的图像； （ 2）求 PBQ 面积的最大值 . 答案：（ 1） y关于 x的函数关系式为： y=-x2+9x（ 0x4） ;函数的图像见； （ 2） PBQ 的最大面积是 20cm2. 试题分析：（ 1）借助三角形面积公式求出 y关于 x的函数关系式，画出函数的图像； （ 2）先找到函数的顶点，再由函数单调性和自变量的取值范围求出最大面 积。 试题：（ 1） S PBQ= PB BQ, PB=AB-AP=18-2x,BQ=x, y= （ 18-2x） x, 即 y=-x2+9x（ 0x4） ; 函数图像如下图： ； （ 2）由（ 1）得： y=-x2+9x=-(x- ） 2 + ,
15、 顶点坐标为（ , ） 当 0x 时 ,y随 x的增大而增大 , x的取值范围是 0x4, 当 x=4时 ,y最大值 =20,即 PBQ 的最大面积是 20cm2. 考点：动点问题 . 已知： ABC是边长为 4的等边三角形 ,点 O 在边 AB上 , O 过点 B且分别与边 AB,BC 相交于点 D,E,EF AC,垂足为 F. （ 1）求证：直线 EF 是 O 的切线； （ 2）当直线 DF 与 O 相切时 ,求 O 的半径 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） O 的半径是 . 试题分析：（ 1）连接 OE，得到 OEB =60,从而 OE AC.，根据平行线的性质即可得到直线 EF 是
16、O 的切线； （ 2）连接 DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。 试题：（ 1）连接 OE ABC是等边三角形 , ABC= C=60. OB=OE, OEB= C =60, OE AC. EF AC, EFC=90. OEF= EFC=90. OE EF, O 与 BC 边相交于点 E, E点在圆上 . EF 是 O 的切线； (2)连接 DF,DE. DF 是 O 的切线 , ADF= BDF=90 设 O 的半径为 r,则 BD=2r, AB=4, AD=4-2r, BD=2r, B=60, DE= r, BDE=30, BDF=90. EDF=60, DF、 EF 分别是 O
17、 的切线 , DF=EF=DE= r, 在 Rt ADF 中 , A=60, tan DFA= 解得 . O 的半径是 考点：圆相关 . 如图 ,AB是 O 的直径 ,弦 CD AB于点 E,点 P在 O 上 , 1= C, （ 1）求证： CB/PD； （ 2）若 AB=5,sin P= ,求 BC 的长 答案：（ 1）证明见；（ 2） BC=3. 试题分析：（ 1）根据题意有 1= C, C= P，根据平行线判定定理即可； （ 2）连接 AC 构造直角三角形，解直角三角形即可。 试题：（ 1） 1= C, C= P 1= P CB PD； （ 2）连接 AC, AB为 O 的直径 , AC
18、B=90, 又 CD AB, , P= CAB, sin P= , sin CAB= , 即 , AB=5, BC=3 考点： 解三角形 , 圆相关 . 如图：在 ABC中 , C=90,AD平分 CAB交 BC 于点 D,AB=10,AC=6, 求 D到 AB的距离 . 答案： D到 AB的距离是 3. 试题分析：作 DE AB,垂足为 E,再证 ACD AED，最后借助勾股定理求出D到 AB的距离。 试题：作 DE AB,垂足为 E, DE即为 D到 AB的距离 又 C=90,AD平分 CAB, DE=DC 在 ABC中 C=90,AB=10,AC=6, BC=8,设 CD=x, 则 DE
19、=CD=x,BD=8-x, DCE= DEA=90,AD为公共边 , DE=CD ACD AED （ HL） , AE=AC=6, BE=4, 在 Rt BED中 , DE2+EB2=DB2,即 x2+42=(8-x)2, 解得： x=3. D到 AB的距离是 3. 考点： 三角形全等 , 勾股定理 . 如图 ,一次函数 y1 x 1的图象与反比例函数 y2 (k为常数 ,且 k0)的图象都经过点 A(m,2) (1)求点 A的坐标及反比例函数的表达式； (2)结合图象直接比较：当 x 0时 ,y1与 y2的大小 答案： (1)点 A的坐标为 (1,2)；反比例函数的表达式为 y2 ； (2)
20、当 0 x 1时 ,y1 y2；当 x 1时 ,y1 y2；当 x 1时 ,y1 y2. 试题分析： (1)借助一次函数求出 m的值，再将 A点坐标代入反比例函数即可求出其表达式； (2)根据图像即可得到结论。 试题： (1)将点 A(m,2)代入一次函数 y1 x 1 得 2 m 1,解得 m 1 即点 A的坐标为 (1,2) 将 A(1,2)代入反比例函数 y2 .解得 k 2 反比例函数的表达式为 y2 (2)当 0 x 1时 ,y1 y2；当 x 1时 ,y1 y2；当 x 1时 ,y1 y2 考点：一次函数与反比例函数 . 一只不透明的袋子中装有 2个白球和一个红球 ,这些球除颜色外
21、其余都相同 ,搅匀后从中任意摸出一个球 ,记录下颜色后放回袋中并搅匀 ,再从中任意摸出一个球 ,请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果 ,求出两次摸出的球颜色相同的概率 答案：画图见 . 试题分析：画出树状图容易得到答案：。 试题：（ 1）树状图： （ 2）列表法： 2次 1次 红 白 白 红 （红 ,红） （红 ,白） （红 ,白） 白 （白 ,红） （白 ,白） （白 ,白） 白 （白 ,红） （白 ,白） （白 ,白） 所有可能的结果如图所示 , 每个结果发生的可能性都相同 ,其中出现颜色相同的结果有 5个 . 所以 ,两次摸出的球颜色相同的概率为 考点：概率 . 如图 ,在 ABC中
22、 , A=30, B=45,AC= ,求 AB的长 . 答案： AB =3+ . 试题分析：过点 C作 CD AB于 D.通过解三角形计算即可。 试题：过点 C作 CD AB于 D. 在 Rt ACD中 , A=30,AC= CD= , AD=ACcosA= =3 在 Rt BCD中 , B=45,则 BD=CD= , AB=AD+BD=3+ 考点：解三角形 . 如图 ,在 中 , , , 于 .求证： 答案：证明见 . 试题分析：根据三角形的三线合一 ,得到 ，再根据有两个角相等的两个三角形相似即可。 试题 :在 中 , , , , , , 又 = 考点：三角形相似 . 如图 ,在平面直角坐
23、标系中 ,顶点为（ 4,1）的抛物线交 轴于点 ,交 轴于 ,两点（点 在点 的左侧） ,已知 点坐标为（ 6,0） . （ 1）求此抛物线的式； （ 2）联结 AB,过点 作线段 的垂线交抛物线于点 ,如果以点 为圆心的圆与抛物线的对称轴 相切 ,先补全图形 ,再判断直线 与 的位置关系并加以证明； （ 3）已知点 是抛物线上的一个动点 ,且位于 , 两点之间 .问：当点 运动到什么位置时 , 的面积最大？求出 的最大面积 . 答案：（ 1）抛物线的式为 ； （ 2）直线 BD与 相离； （ 3） 的最大面积是 . 试题分析：（ 1）根据顶点坐标列出顶点式，再将 C点坐标代入即可； （ 2）
24、先求出圆的半径，再借助三角形相似，求出 C到直线 的距离，比较他们的大小即可； （ 3）过点 作平行于 轴的直线交 于点 .设出 点坐标，求出 PQ的值，再表示出 的面积，借助函数关系式求出最值 . 试题：（ 1） 抛物线的顶点为（ 4,1） , 设抛物线式为 . 抛物线经过点 （ 6,0） , . . . 所以抛物线的式为 ； (2)补全图形、判断直线 BD与 相离 令 =0,则 , . 点坐标（ 2,0） . 又 抛物线交 轴于点 , A点坐标为（ 0,-3） , . 设 与对称轴 l相切于点 F,则 的半径 CF=2, 作 BD于点 E,则 BEC= AOB=90. , . 又 , . , . , . 直线 BD与 相离； (3)如图 ,过点 作平行于 轴的直线交 于点 . A（ 0,-3） , （ 6,0） . 直线 式为 . 设 点坐标为（ , ） , 则 点的坐标为（ , ） . PQ= -( )= . , 当 时 , 的面积最大为 当 时 , = 点坐标为（ 3, ） . 综上： 点的位置是（ 3, ） , 的最大面积是 . 考点：抛物线 ,圆 ,动点问题 .
