1、2011届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学文卷 选择题 设全集 ， ， ，则 = （ ） A 2 B 1， 2， 3 C 1， 3 D 0， 1， 2， 3，4 答案： B 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度 随时间 变化的图象可能是（ ） 答案： B 若函数 （ ， ， ）在 一个周期 内的图象如图所示， 分别是这段图象的最高点和最低点，且 （ 为坐标原点），则 （ ） A B C D 答案： B 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为 （ ） A B C D 答案： D 根据表格中的数据，可以判定函数 的一
2、个零点所在的区间为 ，则 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 答案： C 一个学校高三年级共有学生 200人，其中男生有 120人，女生有 80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 25的样本，应抽取女生的人数为（ ） A 20 B 15 C 12 D 10 答案： D 已知 曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 （ ） A 3 B 2 C 1 D答案： A 命题 “ ，都有 ”的否定是（ ） A ，使得 B ，使得 C ，都有 D ，都有 答案： C
3、已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则数列 的公差是（ ） A B C D 答案： B 在复平面内，复数 对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 填空题 （几何证明选讲选做题）已知 PA是圆 O(O 为圆心 )的切线， 切点为 A， PO交圆 O 于 B， C两点， ， PAB=300， 则圆 O 的面积为 答案：连结 OA，由 PAB=30知 OCA= OAC=30由余弦定理得 AC= OA，所以 OA=1，所以圆 O 的面积 。 （坐标系与参数方程选做题）若直线 与曲线 （参数R）有唯一的公共点，则实数 W$w#w.k-s+5=u.c.o*m答
4、案：曲线 C： ，由相切知圆心到直线的距离 d=r=1所以在 中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c， 已知 A= ， a= ， b=1，则 c等于 答案：由正弦定理知 已知实数 满足不等式组 ，则 的 最大值为 答案：由可行域知在（ 1， 0）处 取到最大值 1。 运行如图所示 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知 ，函数 。 ( ) 求 的最小正周期； （ ）求函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合 答案：解： ( ) = ， 2 分 即 4 分 6 分 （ ） 取得最大值为 3 分 此时 ，即 时， 因此， 取得最大值的自变量 x的集合是 .6 分 (注：第 (
5、)问 6分，第（ ）问 6分 ) （本小题满分 12分） 某班 t名学生在 2011年某次数学测试中，成绩全部介于 80分与 130分之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组 80， 90）；第二组 90，100） 第五组 120， 130，下表是按上述分组方法得到的频率分布表： 分组 频数 频率 80,90） x 0.04 90,100） 9 y 100,110） z 0.38 110,120） 17 0.34 120,130 3 0.06 ( ) 求 t及分布表中 x， y， z的值； （ ）设 m,n是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩，求事件 “|mn|10” 的概率
6、 答案：解： ( ) 2 分 3 分 5 分 （ II）第一组 中有 2个学生，数学测试成绩设为 第五组 120， 130中有 3个学生，数学测试成绩设为 A、 B、 C1 分 则 可能结果为 , 共 10种 4 分 使 |mn|1 0成立有 4种 6 分 即事件 的概率为 7 分 .(本小题满分 14分 ) 直棱柱 中，底面 ABCD是直角梯形， BAD ADC90， ( ) 求证： AC 平面 BB1 C1C； （ ）若 P为 A1B1的中点，求证： DP 平面 BCB1，且 DP 平面 ACB1 #s5_u.c o 答案：证明：（ ）直棱柱 中， BB1 平面 ABCD，BB1 AC 2
7、 分 又 BAD ADC 90， ， ， CAB 45， ， BC AC 5 分 又 ， 平面 BB1C1C， AC 平面BB1C1C 7 分 （ ）证明：由 P为 A1B1的中点，有PB1AB，且 PB1 AB 2 分 又 DCAB， DC AB, DC PB1,且 DC PB1,4 分 DC B1P为平行四边形，从而 CB1 DP 又 CB1 面 ACB1， DP 面 ACB1， DP面 ACB16 分 同理， DP面 BCB1 7 分 (注：第 ( )问 7分，第（ ）问 7分 ) （本小题满分 14分） 给定椭圆 ： ，称圆心在坐标原点 ，半径为的圆是椭圆 的 “伴随圆 ” 已知椭圆
8、的两个焦点分别是，椭圆 上一动点 满足 ( )求椭圆 及其 “伴随圆 ”的方程； （ ） 过点 P 作直线 ,使得直线 与椭圆 只有一个交点，且截椭圆 的 “伴随圆 ”所得的弦长为 求出 的值 答案：解： ( )由题意得： 得 ，半焦距 2分 则 椭圆 的方程为 4分 “伴随圆 ”的方程为 6分 （ ）设过点 ，且与椭圆有一个交点的直线 为 ， 则 整理得 2分 所以 ，解 4分 又因为直线 截椭圆 的 “伴随圆 ”所得的弦长为 ， 则有 化简得 6分 联立 解得 ， ，所以 8分 (注：第 ( )问 6分，第（ ）问 8分 ) （本小题满分 14分） 已知 是函数 的极值点 ( ) 当 时，
9、求函数 的单调区间； （ ）当 R时，函数 有两个零点，求实数 m的取值范围 答案：解 ( ) , 1 分 由已知得， 解得 a=1 3分 当 时， ，当 时， 又 ， 6分 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 7 分（ ）由（ 1）知，当 时， 单调递减，当 ， 单调递增， . 2 分 要使函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个不同的交点 . 当 时， m=0或 ； 4 分 当 b=0时， ； 5 分 当 . 7 分 （本小题满分 14分 ） 设数列 为等比数列，数列 满足 ，已知 ， ，其中 ( ) 求数列 的首项和公比； （ ）当 m=1时 ,求 ； （ ）设 为数列 的前 项和，若对于任意的正整数 ，都有，求实数 的取值范围 答案：解 ( )由已知 ，所以 ； 1 分 ，所以 ，解得 ； 所以数列 的公比 ； 3 分 （ ）当 时， ， 1 分 ， ， ， ， - 得 ， 3 分 所以 ， 5 分 ( ) ， 1 分 因为 ，所以由 得 ， 2 分 注意到，当 n为奇数时， ；当 为偶数时， 所以 最大值为 ，最小值为 4 分 对于任意的正整数 n都有 ， 所以 ，解得 ， 6 分 (注：第 ( )问 3分，第（ ）问 5分，第（ ）问 6分 )
