1、2012-2013学年宁夏银川一中高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故选 C。 考点：复数的代数运算 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 记实数 中的最大数为 ，最小数为 min .已知 的三边边长为 、 、 （ ） ,定义它的倾斜度为则 “t=1”是 “ 为等边三角形 ”的 ( ) A充分布不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 答案： B 试题分析：因为， 的三边边长为 、 、 （ ） ,所以， = ， = 或 ， 所以， t=1时，可能
2、三角形为等腰三角形，反之， 为等边三角形时， t=1，即 “t=1”是 “ 为等边三角形 ”的必要而不充分的条件，选 B。 考点：新定义问题，充要条件的概念。 点评：简单题，关键是理解新定义概念，明确计算方法。涉及充要条件问题，可以利用 “定义法、等价关系法、集合关系法 ”加以判断。 设函数 （ R）满足 ， ，则函数的图像是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为，函数 （ R）满足 ， ，所以，函数为偶函数，且是周期为 2 的周期函数。对照选项可知，选 B。 考点：抽象函数的图象和性质 点评：简单题，函数与图象配伍问题，由注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。 已知 ，
3、函数 ，若 满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是（ ） A B C D 答案： 试题分析：因为， 满足关于 的方程 ，所以， ，使取得最小值，因此， 是假命题，选 C。 考点：方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题。 点评：小综合题，二次函数，当 a0时， 使函数取得最小值。 已知命题 ：函数 在 R为增函数， ：函数 在 R为减函数， 则在命题 : ， : ， : 和 : 中，真命题是 ( ) A ， B ， C ， D ， 答案： C 试题分析：因为， = ，在 R是增函数，所以， 是真命题； 因为， = ， 在 x0时为正数，在 x0时为负数，即 ：函数 在
4、R为减函数是假命题， 是真命题。 所以， : ， : 是真命题，选 C。 考点：指数函数的性质，利用导数研究函数的单调性，复合命题真值表。 点评：小综合题，涉及命题问题，往往综合性较强，注意运用复合命题真值表加以判断。 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ） A向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 C向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 D向右平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 答案： C 试题分析：因为， ，所以，为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点 “向左平移 3个单位长度
5、，再向下平移 1个单位长度 ”，选 C。 考点：对数函数的图象和性质，函数图像的平移。 点评：简单题，注意先化简函数，得到二者之间的更为直接的关系。函数图像的平移遵循 “左加右减，上加下减 ”。 已知函数 若有 则 的取值范围为( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， 且 所以， ，而 ，所以， ， ，解得， 的取值范围为 ，选 B。 考点：指数函数的性质，一元二次不等式解法。 点评：小综合题，为使等式成立，等式的两端，必须在相同的取值范围内。 函数 的图像是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：函数的定义域为 R，奇函数，图象关于原点对称，在（ 0， +）是增函数，在（
6、 0， 1）上凸且高于直线 y=x，所以，选 B。 考点：幂函数的图象 点评：简单题，函数与图象配伍问题，由注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：选项中，是偶函数的有 ， ， ，但其中只有 在 单调递增，选 B。 考点：常见函数的奇偶性、单调性。 点评：简单题，常见函数的性质要熟悉。借助于函数图像判断函数的单调性，是常用方法。 函数 的定义域为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：为使函数有意义，须 ，解得， -1x1,即函数的定义域为 ，选 C。 考点：函数的定义域，简单不等式组的解
7、法。 点评：简单题，确定函数的定义域，一般要考虑偶次根式根号下式子非负，分式分母不等于 0，对数的真数大于 0，正切函数本身的定义域等。 若全集 ,则集合 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 是全集中去掉了 1， 2， 3， 4 后，剩余元素组成的集合，所以，集合 等于 = ,选 D。 考点：集合的运算 点评：简单题，为进行集合的运算，需要首先确定集合中的元素。注意借助于韦恩图处理。 命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”的否定是 ( ) A所有不能被 2整除的数都是偶数 B所有能被 2整除的数都不是偶数 C存在一个不能被 2整除的数是偶数 D存在一个能被 2整除的数不是偶数
8、 答案： D 试题分析：全称命题的否定是存在性命题。所以，命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”的否定是：存在一个能被 2整除的数不是偶数，选 D。 考点：命题，全称命题、存在性命题。 点评：简单题，涉及命题问题，往往综合性较强。全称命题的否定是存在性命题。 填空题 里氏震级 M的计算公式为： ，其中 A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的 倍。 答案：， 10000。 试题分析： ：由 当为 9级地震时，则有当为 5级
9、地震时，则有 ，故 , ， 所以， .答案：为 5， 10000。 考点：函数 应用问题，对数函数的性质。 点评：中档题，函数的应用问题，要注意遵循 “审清题意，设出变量，列出关系式，解，答 ”。 已知函数 ， 则实数 的取值范围是 _。 答案： 试题分析：由已知，函数在整个定义域上单调递增的，故 等价于 ， 解得 。故实数 的取值范围是 。 考点：分段函数的概念，函数的单调性，一元二次不等式的解法。 点评：小综合题，抽象不等式问题，往往要利用函数的单调性，将抽象不等式转化成具体不等式。本题较为典型。 若 i为虚数单位，图中复平面内点 Z表示复数 Z，则表示复数 的点是_(在字母 E、 F、
10、G、 H中选出正确选项 ) 答案： H 试题分析：观察图形可知 ,则 ，即对应点 H（ 2， -1），故填 H. 考点：复数的代数运算，复数的几何意义。 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 a+bi(a,b为实数 )对应的点为（ a,b）。 设 是定义在 R上的奇函数，当 x0时， = ，则 . 答案： 试题分析：因为， 是定义在 R 上的奇函数， 是定义在 R 上的奇函数， 所以， 考点：函数的奇偶性 点评：简单题，奇函数应满足：定义域关于原点对 称， 。 解答题 在直接坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为（ 为参数） . （ I）已知在
11、极坐标（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，点 的极坐标为（ 4， ），判断点 与直线 的位置关系； （ II）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值 . 答案：（ I）点 P在直线 上。（ II）且最小值为 试题分析：（ I）把极坐标系下的点 化为直角坐标，得 P（ 0， 4）。 因为点 P的直角坐标（ 0， 4）满足直线 的方程 ，所以点 P在直线上， （ II）因为点 Q在曲线 C上，故可设点 Q的坐标为 ，从而点 Q到直线 的距离为 ， 由此得，当 时， d取得最小值，且最小值为 考点：极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程，点到直
12、线的距离。 点评：中档题，利用化归与转化思想，应用，实现极坐标与直角坐标的互化。利用曲线的参数方程，往往可将问题转化成三角函数问题，利用三角函数的图象和性质，使问题得解。 如图，圆 与圆 内切于点 ，其半径分别为 与 ，圆 的弦交圆 于点 （ 不在 上），求证： 为定值。 答案：见 试题分析： 由弦切角定理可得为定值。 考点：圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质。 点评：简单题，平面几何选讲问题，难度一般不大。本题主要考查弦切角定理即三角形相似的知识。 已知函数 ( 为实数 , , )，（ ）若 ，且函数 的值域为 ，求 的表达式； （ ）在（ ）的条件下，当 时， 是单调函数，求实数 的
13、取值范围； （ ）设 ， ， ，且函数 为偶函数，判断是否大于 ？ 答案：（ ） （ ） 的范围是 时，是单调函数 （ ） 试题分析：（ ）因为 ，所以 .因为 的值域为 ，所以 2分 所以 . 解得 ， . 所以 . 所以 4分 （ ）因为 = ， 6分 所以，当 或 时 单调 . 即 的范围是 时， 是单调函数 8分 （ ）因为 为偶函数，所以 . 所以 10分 因为 ， 依条件设 ，则 .又 ，所以 . 所以 . 12分 此时 . 即 13分 考点：待定系数法，二次函数的图象和性质，分段函数的概念，函数的奇偶性、单调性。 点评：中档题，利用待定系数法，确定函数的式，是常见考试题目。研究二
14、次函数的图象和性质，要关注 “开口方向，对称轴位置，与坐标轴交点 ”等。 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米 /小时）是车流密度 （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200辆 /千米时，造成堵塞，此时车速度为 0；当车流密度不超过 20辆 /千米时，车流速度为 60千米 ,/小时，研究表明：当时，车流速度 v是车流密度 的一次函数 . ( )当 时，求函数 的表达式； ( )当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时） 可以达到最大，并求出最大值 .（精确到 1辆 /小时）
15、答案：（ ） （ ）当 时， 在区间 0,200上取得最大值 .即当车流密度为 100辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆 /小时 . 试题分析：（ ）由题意：当 时， ；当 时，设再由已知得 ，解得 故函数 的表达式为（ ）依题意并由（ ）可得 当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 6020=1200；当 时，当且仅当 ，即 时，等号成立 .所以，当 时， 在区间 20,200上取得最大值 . 综上，当 时， 在区间 0,200上取得最大值 .即当车流密度为 100辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆 /小时 . 考点：函数模型 ，均值定理的应用。
16、 点评：中档题，函数的应用问题，要注意遵循 “审清题意，设出变量，列出关系式，解，答 ”。确定函数的最值问题，较为常用的方法有，均值定理、应用导数研究函数的最值。应用均值定理，要注意 “一正，二定，三相等 ”，缺一不可。 已知函数 是奇函数，并且函数 的图像经过点（ 1，3） . （ 1）求实数 的值； （ 2）求函数 的值域。 答案：（ 1） a=2， b=0。 （ 2）函数 的值域为 。 试题分析：（ 1） 函数 是奇函数，则 （ 3分）又函数 的图像经过点（ 1， 3）， a=2 （ 6分） （ 2）由（ 1）知 （ 7分） 当 时， 当且仅当 即 时取等号 （ 10分） 当 时， 当且
17、仅当即 时取等号 （ 13分）综上可知函数 的值域为 （ 12分） 考点：函数的奇偶性，待定系数法，均值定理的应用。 点评：中档题，为研究函数的性质，首先需要确定函数的式，利用了待定系数法。确定函数的值域，方法较多，如，配方法、换元法、单调性质法，均值定理、导数法等。本题应用均值定理，要注意 “一正，二定，三相等 ”，缺一不可。 已知函数 f(x) x2-3x-10的两个零点为 x1， x2(x1x2)，设 A x|xx1，或xx2， B x|2m-1x3m 2，且 AB ，求实数 m的取值范围 答案： - m1，或 m-3. 试题分析： A x|x-2，或 x5 要使 AB ，必有 或 3m
18、 22m-1， 解得 或 m-3，即 - m1，或 m-3. 考点：集合的运算，函数的零点，简单不等式组的解法。 点评：中档题，本题较为典型，将集合问题与不等式结合在一起进行考查，主要依据集合的关系，建立不等式组。 (1)计算： ； (2)解方程： log3(6x-9) 3. 答案： (1) 4.(2)x 2是原方程的解 试题分析： (1)原式 (lg5)0 1 4. (2)由方程 log3(6x-9) 3得 6x-9 33 27， 6x 36 62， x 2. 经检验， x 2是原方程的解 考点：指数、对数运算，简单对数方程。 点评：中档题，简单对数方程，往往转化成同底数的对数相等，有时需要利用换元法进一步转化。解对数方程时，要注意检验。 设不等式 的解集为 .（ I）求集合 ；（ II）若 ， ，试比较 与 的大小 . 答案：（ I） （ II） 试题分析：（ I）由 所以（ II）由（ I）和 ，所以故 考点：绝对值不等式的解法，不等式的性质。 点评：简单题，绝对值不等式的解法，往往从 “去 ”绝对值的符号入手，主要方法有 “平方法 ”“分类讨论法 ”，有时利用绝对值的几何意义，会简化解题过程。比较大小问题，常常利用 “差比法 ” 作差 -变形 -定号。
