1、2012-2013学年广东省广州六中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ CUA） B，根据集合的运算求解即可解：全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=1， 2， 3， 5，B=2， 4， 6，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ CUA） B， CUA=4，6， 7， 8， （ CUA） B=4， 6故选 B 考点：集合的表示 点评：本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题 已知双曲线 1(a 0， b 0)的右焦点
2、为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A 1,2 B (1,2) C 2， ) D (2， ) 答案： C 试题分析：若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围解：双曲线 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，故答案：为C. 考点：双曲线的性质 点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件 把
3、函数 的图象向左平移 个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到图象的式为 （ ） A B C D答案： B 试题分析：把函数 的图象向左平移 个单位，得,再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到图象的式为 , 故选 B. 考点：三角函数图像变换 点评：本题主要考查函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换规律，属于中档题 向高为 H的水瓶中注水 ,注满为止 ,如果注水量 V与水深 h的函数关系如下图所示 ,那么水瓶的形状是 ( )答案： C 试题分析：本题通过特殊值求解取横坐标为 的点，它的纵坐标对应的值与容器容积的一半进行比较
4、，从而即可排除一些选项，得到正确的选项解：考虑当向高为 H的水瓶中注水为高为 H一半时，注水量 V与水深 h的函数关系如图所示，此时注水量 V与容器容积关系是： V水瓶的容积的一半对照选项知，只有 C符合此要求故选 C 考 点：函数的图象，几何体的体积 点评：本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为 1，那么几何体的体积为 （ ） A B C 1 D 答案： A 试题分析：首先三视图复原的几何体的形状以及特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积， .解：
5、由三视图可知几何体是底面为正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，底面正方形的边长为： 1，棱锥的高为： 1，所以几何体的体积 是：,故选 A 考点：四棱锥的体积 点评：本题考查几何体的三视图的画法，三视图复原几何体的特征，正确求出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力 已知等比数列 的公比为正数，且 = ， =1，则 = （ ） A B C D 2 答案： B 试题分析：根据等比数列 的公比为正数，且 = ，则根据等比中项性质可知 , =1，则 = ，因此可知选 B. 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的等比中项的运用，属于基础题。 一批灯泡 400只，其中 20 W、 40
6、 W、 60 W的数目之比为 4 3 1，现用分层抽样的方法产生一个容量为 40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ） A 20 ,10 , 10 B 15 , 20 , 5 C 20, 5, 15 D 20, 15, 5 答案： D 试题分析：根据题意，由于一批灯泡 400只，其中 20 W、 40 W、 60 W的数目之比为 4 3 1，那么可知各层所抽取的应该分别是，故选 D. 考点：分层抽样 点评：解决的关键是对属于分层抽样的等比例性的运用，属于基础题。 ,则下列不等式成立的是 （ ） A B C D 答 案： D 试题分析：根据题意，由于 是任意实数，且 ，那么可知根据不等式的比较大
7、小，作差法可知 ,只有 a+b0 时不等式成立，故错误。对于 B，由于 a0时，则不等式成立，故错误，对于 C，由于对数值大于零，则真数大于 1，因此错误，对于 D，结合指数函数的性质可知成立故选 D. 考点：不等式的性质 点评：解决的关键是结合指数函数与对数函数的单调性来比较大小，属于基础题。 填空题 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且，则 的面积为 答案： 试题分析：根据抛物线的方程可求得其焦点坐标，和 k的坐标，过 A作 AM准线，根据抛物线的定义可知 |AM|=|AF|根据已知条件可知 设出 A的坐标，利用 求得 m，然后利用三角形面积公式求得答案： . 解：F
8、（ 2， 0） K（ -2， 0）过 A作 AM 准线 ,则 |AM|=|AF|, AFK 的高等于 |AM|,设 A（ m2， 2 m）（ m 0） ,则 AFK 的面积 =42m =4 m,又由 |，过 A作准线的垂线，垂足为 P，三角形 APK 为等腰直角三角形，所以 m= AFK 的面积 =42 m =8,故答案：为： 8 考点：抛物线的简单性质 点评：本题主要考查了抛物线的简 单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握 函数 的单调增区间为 答案： 试题分析：首先求解函数的定义域，保证 即可知，那么由于外层是指数函数，底数大于 1，因此是递增函数，那么所求函数的增区间即为内层二次函数
9、的增区间，那么可知其对称轴 x=2，那么增区间为 . 考点：函数的单调性 点评：解决的关键是利用复合函数单调性来求解单调区间，属于基础题。 向面积为 的三角形 内任投一点 ，则 的面积小于 的概率是 答案： 试题分析：先确定 的面积等于 时点 P的轨迹，然后结合点 P所在的区域，以面积为测度，可求三角形 的面积小于 的概率。根据 的面积等于 ，则说明点 P位于离底边 BC 距离为三角形高线的三分之一处的一条平行线上，那么利用面积比等于高的比可知，点 P位于高线的 2： 3对应的三角形的面积比为 4： 9，则可知道 的面积小于 的概率 。 考点：几何概型 点评：本题考查几何概型，考查三角形面积的
10、计算，确定 Q 所在的区域，求出相应的面积是解题的关键 曲线 在点 处的切线方程是 答案： 试题分析：求出导函数，将 x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程解： y=3x2+1， 令 x=1得切线斜率 4，所以切线方程为 y-3=4（ x-1），即,故答案：为 . 考点：导数的几何意义 点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式 命题 “ ”的否定是 答案： 试题分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可。因为命题“ ”，则根据其否定可知为 。 考点：命题的否定 点评：本题考点是
11、命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写 已知程序框图如右，则输出的 = 答案： 试题分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论 S与 i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果解： S=1，i=3不满足条件 S100，执行循环体 ,S=13=3， i=3+2=5，不满足条件 S100，执行循环体 ,S=35=15， i=5+2=7， 不满足条件 S100，执行循环体 ,S=157=105，i=7+2=9，满足条件 S100，退出循环体
12、 ,此时 i=9.故答案：为： 9 考点：程序框图 点评：本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题 解答题 ABC的三个内角 A、 B、 C所对边长分别为 a、 b、 c，已知 c=3， C=60。 （ 1）若 A=75，求 b的值；（ 2）若 a=2 b, 求 b的值。 答案： (1) (2) 试题分析：解：（ 1）由 ，得 2分 由正弦定理知 ， 3分 6分 （ 2）由余弦定理知 ， 8分 代入上式得 10分 12分 考点：解三角形 点评：解决的关键是通过正弦定理和余弦定理来边角的转换求解，属于基础题。 在某次测验中，有 6位同学的平均成绩为 75
13、分用 xn表示编号为 n(n1,2， ， 6)的同学所得成绩，且前 5位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6位同学的成绩 x6，及这 6位同学成绩的标准差 s； (2)从前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的概率 答案： (1) 7.(2) 0.4 试题分析：解 (1) 这 6位同学的平均成绩为 75分， (70 76 72 70 72 x6) 75， 解得 x6 90， 3分 这 6位同学成绩的方差 s2 (70-75)2 (76-75)2 (72-75)2 (70-75)2 (7
14、2-75)2 (90-75)2 49， 标准差 s 7 6分 (2)从前 5 位同学中，随机地选出 2 位同学的成绩有： (70,76)， (70,72)， (70,70)，(70,72)， (76,72)， (76,70)， (76,72)， (72,70)， (72,72)， (70,72)，共 10种， 9分 恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的有： (70,76)， (76,72)， (76,70)， (76,72)，共4种，所求的概率为 0.4 11分 即恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的概率为 0.4 12分 考点：方差，古典概型 点评：解决的关键是根据方差的定义
15、得到求解，以及古典概型 概率公式来得到概率值，属于基础题。 已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 . （ 1）求 . (2)记 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 答案： (1) (2) 试 题分析：解：（ 1）要使 有意义，则 ， 2分 化简整理得 ，解得 5分 6分 (2)要使 有意义，则 即 又 8分 是 的必要不充分条件， 是 的真子集， 10分 解得 13分 的取值范围为 . 14分 考点：函数定义域和充分条件 点评：解决的关键是利用函数的定义域和集合之间的关系来得到参数的范围，属于基础题。 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ，侧面 底面 . 若 . （ ）求证
16、： 平面 ； （ ）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （ ）求二面角 的余弦值 . 答案： (1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理，先通过线线垂直来得到证明。 (2) 试题分析：解法一： （ ）因为 ，所以 . 又因为侧面 底面 ，且侧面 底面 ，所以 底面 .而 底面 ，所以 . 2分 在底面 中，因为 ， ， 所以 ， 所以 . 又因为 ， 所以 平面 . 4分 （ ）在 上存在中点 ，使得 平面 ， 证明如下：设 的中点是 ， 连结 ， ， ，则 ，且. 由已知 ，所以 . 又 ，所以，且 ， 所以四边形 为平行四边
17、形，所以 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 8分 （ ）设 为 中点，连结 ， 则 .又因为平面 平面 ， 所以 平面 .过 作 于 ， 连结 ，则 ，所以 所以 是二面角 的平面角 . 设 ，则 , .在 中，由相似三角形可得： ，所以 .所以 ， .即二面角 的余弦值为 . 14分 在平面直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和等于 4，设点 的轨迹为 （ ）写出 的方程； （ ）设直线 与 交于 两点 k为何值时 ？此时 的值是多少？ 答案： (1) (2) 试题分析：解：（ ）设 （ x， y），由椭圆定义可知，点 的轨迹 是以为焦点，长半轴为 2的椭圆它的短半轴 ，故曲
18、线 的方程为 4分 （ ）设 ，其坐标满足 消去 y并整理得 ， 显然 0-6分 故 7分 ，即要 而 ， 8分 于是 所以 时， ，故 10分 当 时， ， ， 12分 而 ，所以 14分 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是根据椭圆的定义得到椭圆的方程，以及根据联立方程组结合韦达定理来的饿到弦长公式，属于基础题。 （ 1）求证： 是等比数列，并求出 的通项公式； （ 2） ， ， 答案：（ 1） （ 2）考查了了错位相减法来求和，并来证明不等式。 试题分析：（ 1）由题设 ， 2分 所以数列 是以 2为首项，公比为 2的等比数列， 4分 所以 即 6分 （ 2） ， 7分 8分 解法一： 2 - 得： 14分 解法二：先验证 时 ， 8分 10分 14分 考点：等比数列，数 列求和 点评：解决的关键是根据数列的定义得到其通项公式，并结合错位相减法来得到和式，属于基础题。
