1、2012-2013学年湖北武汉部分重点中学高二上学期期末考试理科数学卷（带解析） 选择题 要从编号 1到 60的 枚最新研制的某种导弹中随机选取 枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 枚导弹的编号可能是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为 10的一组数据是由系统抽样得到的解：从 60枚某型导弹中随机抽取 6枚，采用系统抽样间隔应为 60:6=10，只有 B答案：中导弹的编号间隔为 10，故选
2、 B 考点：系统抽样 点评：一般地，要从容量为 N的总体中抽取容量为 n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本 三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为的中心 ，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：先求出点 A1到底面的距离 A1D的长度，即知点 B1到底面的距离B1E的长度，再求出 AE的长度，在直角三角形 AEB1中求 AB1与底面 ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦。由题意不妨令棱长为 2，如图， A1在底面 ABC内的射影为 ABC的中心，故 ,则由勾股定
3、理可知 ， ,如图作 A1S AB 于中点 S，易得 A1S= ，所以 ,故所以 AB1与底面 ABC所成角的正弦值sin B1AE ，故选 A. 考点：线面角的求解 点评：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力 已知等式 ，定义映射 ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： 本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简解：比较等式两边 x3的系数，得 4=4+b1，则 b
4、1=0，故排除 A， D；再比较等式两边的常数项，有 1=1+b1+b2+b3+b4， b1+b2+b3+b4=0故排除 B故应选 C 考点：二项式定理 点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型 如果执行下面的程序框图，那么输出的 ( ) A 2550 B -2550 C 2548 D -2552 答案： C 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 S=-2+0+2+98+100 ，并输出 S值解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 S=-2+0+2+98
5、+100 ， S=-2+0+2+98+100=2548, 故选 C 考点：流程图 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 设随机变量 X ，则 P(X=3)的值是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于 3时 的值因为设随机变量 X ，则 P(X=3)
6、=,故选 B. 考点：二项分布的运用 点评：解决的关键是理解二项分布中事件发生的 K次的概率公式，并能准确运算，属于基础题。 已知随机变量 的分布列如下表，随机变量 的均值 ，则 的值为 ( ) 0 1 2 A 0.3 B C D 答案： D 试题分析： 由分布列知 0.4+x+y=1，由 E（ X） =1，知 0+x+2y=1，由此能求出 x的值。解： E（ X） =1， 由题设知 0.4+x+y=1， 0+x+2y=1，解得 x=0.2， y=0.4故选 D 考点：随机变量的分布列 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要熟练掌握分布列的性质和数学期望的运算 直线 m、 n
7、和平面 、 .下列四个命题中， 若 m ， n ，则 m n； 若 m ， n ， m ， n ，则 ； 若 ， m ，则 m ； 若 ， m ， m ，则 m ， 其中正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：对于 若 m ， n ，则 m n，根据线面平行的性质可知，可能 m,n相交，故错误。 对于 若 m ， n ， m ， n ，则 ，只有 m,n相交时成立，故错误。 对于 若 ， m ，则 m ，不一定，可能斜交，错误。 对于 若 ， m ， m ，则 m 成立。 故选 B 考点：线面的位置关系 点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平
8、行的定理进行验证，属于基础题 一批产品抽 50件测试，其净重介于 13克与 19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于 13克且小于 14克；第二组，净重大于等于 14克且小于 15克； 第六组，净重大于等于 18克且小于 19克如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图设净重小于 17克的产品数占抽取数的百分比为 ，净重大于等于 15克且小于 17克的产品数为 ，则从频率分布直方图中可分析出 和 分别为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： 结合频率分布直方图，知用 1减去第五组和第六组的频率之和就得到净重小于17克的产品数占抽取数的百分比；第三组和第四组的频率
9、之和乘以 50，就得到净重大于等于 15克且小于 17克的产品数解：（ 1）结合频率分布直方图，知x=1-（ 0.06+0.04） =0.9 y=50（ 0.34+0.36） 考点：频率分布直方图 点评：本试题考查了频率分布直方图的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意观察，善于总结。 圆 与直线 相交于 A、 B两点，则线段 AB的垂直平分线的方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，圆 与直线 相交于 A、 B两点，那么可知联立方程组 ，结合韦达定理的中点纵坐标，然后结合 的斜率为 ，可知所求的直线的斜率为 ，排除 B,C，然后将中点坐标代入可知选 A. 考点：直线方程
10、的求解 点评：解决的关键是利用弦中点与圆心的连线与线段 AB的垂直平分线垂直可知得到斜率，再结合中点坐标公式，属于基础题。 下列说法错误的是 ( ) A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系； B线性回归方程对应的直线 x 至少经过其样本数据 (x1， y1)， (x2，y2)， (xn， yn)中的一个点； C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； D在回归分析中， 为 0.98的模型比 为 0.80的模型拟合的效果好 答案： B 试题分析：根据已知可知，对于 A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关
11、系叫做相关关系；根据相关变量的定义知 正确 B线性回归方程对应的直线 x 至少经过其样本数据 (x1， y1)， (x2， y2)， (xn， yn)中的一个点；不一定，可能都在该直线的附近，故错误。 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；根据回归系数可知成立。 D在回归分析中， 为 0.98的模型比 为 0.80的模型拟合的效果好，根据拟合效果可知成立，故选 B. 考点：线性回归 点评：本题考查变量间的相关关系，本题解题的关键是正确理解相关变量的意义和线性回归方程的意义，本题是一个基础题 填空题 正方形的顶点和各边中点共 8个点，以其中 3个点为顶点的等腰三角
12、形共有 _个（用数字作答） 答案： 试题分析：可用分类计数原理去做，按照选点的不同，分为三类，第一类：从正方形的四顶点中选三个点为顶点作三角形，第二类：从正方形的四边中点中选三个点为顶点作三角形，第三类：从正方形的四边中点中选两个点，四顶点中选一个点作三角形，再把每类方法数相加，可得总的方法数解：按题意可分三类第一类： 从正方形的四顶点中选三个点为顶点作三角形，则全为等腰三角形，共有 =4 种共有 =4 种，第三类：从正方形的四边中点中选两个点，四顶点中选一个点作三角形，则每两个中点只能和她们所在边交点，或另两条边交点构成等腰三角形，共有 2 =12种，最后，三类方法数相加得，4+4+12=2
13、0种。故答案：为 20 考点：分类计数原理 点评：本题考查了分类计数原理在排列做和问题中的应用，注意分类依据，要做到不重不漏 已知圆 ，过点 作直线交圆 C于 两点，面积的最大值为 _ 答案： 试题分析：根据题意可设 出过点 M（ 1， 3）的直线 l方程，利用点到直线的距离公式求得圆心（ 4， 0）到 l的距离，用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算转化，从而可得到 ABC面积的表达式，可求得其最大值 . 设过点 M（ 1， 3）的直线方程为 l： y-3=k（ x-1），由 x2-8x+y2-9=0得圆心 C（ 4，0），半径 r=5，设圆心 C（ 4， 0）到直线 l的距离为 d
14、，点 C在 l上的射影为 M，则 d= ,ABC ，然后根据均值不等式得到了三角形面积的 为 考点：直线方程与圆的方程的应用 点评：本题考查直线方程与圆的方程的应用，解决的方法利用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算，难点在于复杂的运算与化归，属于难题 设随机变量 N(1， 1)， ，则 的值是 _ 答案： 试题分析：随机变量 N（ 1， 1），为正态分布，期望为 1，由正态分布图形可知图形关于 x=1对称，故 P（ 0 1） = （ 1-P（ 2）解： N（ 1，1）， E=1，由正态分布图形可知图形关于 x=1对称，故 P（ 0 1） = （ 1-P（ 2） = -P,故答案：为：
15、 考点：正态分布 点评：本题 考查正态分布的概率问题，属基本题型的考查解决正态分布的关键是抓好正态分布的图形特征 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是 _ 答案： 试题分析：根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值解：观察这个图可知：大正方形的边长为 2，总面积为 4，而阴影区域的边长为 ，面积为 故飞镖落在阴影区域的概率 故答案：为： 1- 考点：几何概率的求法 点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意
16、将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长 将 n件不同的产品排成一排，若其中 A， B两件产品排在一起的不同排法有48种，则 n=_ 答案： 试题分析：两件产品排在一起，常用的方法是捆绑法，先将 A， B绑在一起看作一个元素，则问题转化为 n-1个元素的排列数，令其值为 48，解此方程求出n的值 . 解： 本问题的计数可以分为两步完成，先将 A， B两元素捆绑，有A22=2种排法，第二步将 AB两元素看作是一个元素，与其余的元素组成 n-1个元素，其排法为（ n-1） !
17、 由乘法原理知总的排法有 2（ n-1） !，又总的排法有 48种，故有（ n-1） !=24， 432=24， n-1=4，即 n=5，故答案：为 5 考点：排列组合的运用 点评：本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解本题中计数问题，找到合适的计数方法建立方程，熟练掌握排列公式以及分步乘法计数原理是解本题的知识保证，本题是计数原理的应用题，其考查方法 是利用计数原理建立方程求出 n的值，是对排列与计数原理考查的一种变式题，注意总结此类题的解法规律 解答题 (本小题满分 12分 ) 已知二项式 ( N*)展开式中，前三项的二项式系数和是 ，求： ( ) 的值； ( )展开式中的常数项
18、 答案：（ 1） 10 （ 2）展开式中的常数项是 试题分析：解： ( ) 2分 4分 (舍去 ) 5分 ( ) 展开式的第 项是 ， 8分 ， 10分 故展开式中的常数项是 12分 考点：二项式定理 点评：熟练的运用二项式定理的通项公式来分析得到其常数项，同时能根据二项式系数和来得到 n的值，属于基础题。 （本小题 12分） 如图，在 中， 为 边上的高， ，沿 将翻折，使得 得几何体 （ ）求证： ； （ ）求点 D到面 ABC的距离。 答案： (1)根据题意，由于 平面 ，那么结合性质定理，以及余弦定理得到 ，进而得到证明。 (2) 试题分析：解：（ ）因为 ，所以 平面 2分 又因为
19、平面 所以 在 中， ，由余弦定理， 得 因为 ，所以 ，即 5分 由 ， 及 ，可得 平面 .6分 （ ）过 D点作 DE BC,垂足为 E点 由（ ）知 平面 AC 面 ABC 面 ABC 面 BCD 8分 又 面 ABC 面 BCD=BC DE 面 ABC DE即为点 D到面 ABC的距离 10分 在 Rt BCD中， BC DE=BD CD 2DE=1 DE= 点 D到面 ABC的距离为 12分 考点：点面距离以及线面的垂直 点评：解决的关键是根据已知的线面的垂直的判定定理和性质定理得到证明，同时能利用做面的垂线得到距离，属于基础题。 （本小题满分 12分） 甲、乙两运动员进行射击训练
20、，已知他们击中的环数都稳定在 8， 9， 10环，且每次射击击中与否互不影响甲、乙射击命中环数的概率如表： 8环 9环 10环 甲 0.2 0.45 0.35 乙 0.25 0.4 0.35 （ ）若甲、乙两运动员各射击 1次，求甲运动员击中 8环且乙运动员击中 9环的概率； （ ）若甲、乙两运动员各自射击 2次，求这 4次射击中恰有 3次击中 9环以上（含 9环）的概率 答案： (1) 0.08 (2) 甲、乙两运动员各自射击两次，这 4次射击中恰有 3次击中 9环以上的概率为 试题分析：解：（ ）由已知甲射击击中 8环的概率为 0.2，乙射击击中 9环的概率为 0.4，则所求事件的概率为
21、P=0.20.4=0.08 3分 （ ）记 “甲运动员射击一次，击中 9环以上（含 9环） ”为事件 A， “乙运动员射击 1次，击中 9环以上（含 9环） ”为事件 B，则 P(A)=0.35+0.45=0.8， P(B)=0.35+0.4=0.75 5分 “甲、乙两运动员各自射击两次，这 4次射击中恰有 3次击中 9环以上（含 9环） ”包含甲击中 2次、乙击中 1次，与甲击中 1次、乙击中 2次两个事件，这两个事件为互斥事件 甲击 中 2次、乙击中 1次的概率为 ； 8分 甲击中 1次、乙击中 2次的概率为 11分 故所求概率为 12分 答：甲、乙两运动员各自射击两次，这 4次射击中恰有
22、 3次击中 9环以上的概率为 考点：概率的求解和运用 点评：解决的关键是对于概率的加法公式和乘法公式的准确运用，属于基础题。 （本小题满分 12分） 在边长为 2的正方体 中， E是 BC的中点， F是 的中点 （ 1）求证： CF 平面 （ 2）求二面角 的平面角的余弦值 答案： (1)根据线面平行的判定定理，结合 CF OE ，来得到证明。 (2) 试题分析：解：（ ）取 AD的中点 O，连接 OF 点 F为 DD的中点； OF AD且 OF= AD； OF AD且 OF= AD； 2分 点 E为 BC的中点 EC AD且 EC= AD； OF EC且 OF=EC； 四边形 OBCF为平行
23、四边形 .3分 CF OE 又 FC 面 ADE且 OE 面 ADE CF 面 ADE .6分 （ ）取 AD的中点 M，连接 ME 过点 M作 MH AD，垂足为 H点，连接 HE AB ME，又 AB 面 ADDA ME 面 ADDA AD 面 ADDA ME AD 又 ME AD， MEMH = M AD 面 MHE HE 面 MHE AD HE MHE是二面角 E-AD-A的平面角 .9分 在 Rt MHD中， sin ADA = MH = sin 45= 在 Rt MHD中， tan MHE = sin MHE = .12分 考点：空间中点线面的位置关系 点评：解决俄 ud关键是对于
24、线面平行的判定定理的运用，以及二面角的求解，属于基础题。 (本小题满分 13分 ) 袋中有大小相同的三个球，编号分别为 1、 2和 3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加 1(如：取到球的编号为 2，改为 3)后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 表示所有被取球的编号之和 ( )求 的概率分布； ( )求 的数学期望与方差 答案： (1) 1 3 5 (2) 试题分析：解： ( )在 时，表示第一次取到的 1号球， ； 1分 在 时，表示第一次取到 2号球，第二次取到 1号球，或第一次取到 3号球，； 4分 在 时，表示第一次取到 2号球，第二次取
25、到 3号球， 6分 的概率分布为 7分 1 3 5 ( ) ， 10分 13分 考点：概率分布列和期望 点评：解决的关键是对于各个取值的概率的准确求解，属于基础题。 (本小题满分 14分 ) 已知在单位圆 x2+y2=1上任取一点 M，作 MN x轴，垂足为 N， = 2 ( )求动点 Q的轨迹 的方程； ( )设点 ，点 为曲线 上任一点，求点 到点 距离的最大值 ； ( )在 的条件下，设 的面积为 ( 是坐标原点， 是曲线 上横坐标为 的点 )，以 为边长的正方形的面积为 若正数 满足，问 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由 答案： (1) (2) 时 , ；
26、时 , ； 时， , 所以， (3) 试题分析：解： ( )设点 Q的坐标为（ x， y）， M（ x0， y0），则 N（ x0， 0） = 点 M（ x0， y0）在单位圆 x2 + y2 = 1上 所以动点 Q的轨迹 C的方程为 .4分 ( )设 ，则 ，令 ， ，所以， 当 ，即 时 在 上是减函数， ； 当 ，即 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，则 ； 当 ，即 时， 在 上是增函数， 所以， 9分 ( )当 时， ，于是 ， ， 若正数 满足条件，则 ，即 ， ，令 ，设 ，则 ， ，于是 ， 所以，当 ，即 时， ， 即 ， 所以， 存在最小值 14分 考点：轨迹方程的求解以及点到直线距离 点评：解决的关键是利用向量法坐标法得到轨迹方程，同时能利用点到直线的距离得到最值，属于基础题。
