1、2012届广东省广州六中高三下学期第一次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 由偶次根式下被开方数是非负数可知，同时对于对数式 中真数大于零可知 x-10,然后取其交集得到为 10那么可知 ab0;而对于 在 R上递减的，那么可知ab,所以说条件和结论表示的集合之间，前者小，后者大，利用集合的思想可知道，前者是后者成立的充分不必要条件，故选 A. 考点：本试题主要考 查了对数函数与指数函数单调性的运用，和充分条件的判定问题综合应用。 点评：解决该试题的关键是能利用对数函数但单调性确定真数的大小关系，然后结合指数函数的单调
2、性进而判定大小。 定义在 上的偶函数 满足 ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意可知，偶函数则满足 f(-x)=f(x),那么由定义在 上的偶函数满足 令 ，两式联立可知，得到 ，进而说明函数的周期性为 6，那么可知 2012=6 ,所以则利用周期性得到 f(2012)=f(2),而 f(2)=f(2-6)=f(-4),因为是偶函数， f(-4)=f(4),故可知 f(2012)= f(4)=1，选 C. 考点：本试题主要考查了函数的奇偶性和周期性的运用。 点评：解决该试题的关键是能根据已知的抽象函数关系式得到函数的 周期为 6.进而结合奇偶性得到函数 =f
3、（ 2） =f(-4)-f(4)得到结论。 若复数 满足方程 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为根据复数的概念可知， i2=-1，已知条件可知， z2=-2=2i2,故那么则有 z= ,因此可知 z3= = ，故选 D. 考点：本试题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题 . 点评：解决该试题的关键是根据复数的虚数单位 i2=-1，然后根据复数的乘法法则得到 z,进而利用复数中虚数单位的性质得到 z的值。 填空题 （几何证明选讲选做题）如图， B D， AE BC， ACD 90，且AB 6， AC 4， AD 12，则 BE _ 答案： 试题分析：解由题意可知，在 AC
4、D中， AC=4， AD=12， ACD=90， DC=8 cos D= = B= D， AE BC， AB=6， cos B= = ，故答案：为 。 考点：本试题主要考查了三角函数的运用，属于基础题 点评：解决该试题的关键是正确运用余弦函数，先在 ACD中计算 cos D，再在 ABE中，计算 cos B，即可得到结论 （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线 和 相交于点 ，则线段 的长度为 答案： 试题分析：由题意可知 故该试题求解的弦长 AB的值，即可以通过圆的半径 2，圆心为（ 0， -2），得到圆心到直线 x=1的距离 d= ,结合半弦长和半径和弦心距的勾股定理得到线段的长度为
5、，故填写 考点：本试题主要考查了参数方程和极坐 标方程的运用。 点评：解决该试题的关键是能将极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理得到 AB的长度。 对于任意正整数 ，定义 “ ”如下：当 是偶数时， 当 是奇数时， .现在有如下四个命题： 的个位数是 0； 的个位数是 5; ； ； 其中正确的命题有 _（填序号） 答案： 试题分析：解： 2002!=2002200042 有因式 10，故 2002!个位数为 0， 正确； 2003!=2003200131 ，其个位数字与 13579的个位数字相同，故为 5， 正确 中（ 2003!）（ 2002!） =200320024
6、22009200731 ，正确； 2002!=2002200042= （ 21001） （ 21000） （ 22） （ 21）=210011001100021 ，故 正确， 正确的有 4个故填写 考点：本试题主要考查了新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化方法，体现了数学中的转化与化归的思想方法注意与学过知识间 的联系。 点评：解决该试题的关键是利用双阶乘的定义判断各个命题，要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积 某汽车站每天均有 3辆开往某景点的分为上、中、下等级的客车，某天吴先生准备在该汽车站乘车前往该景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可
7、能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为 。 答案： 试题分析：根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概 率公式，计算可得答案：。 据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下，中，上），（下，上，中），共 6种；其中该人可以乘上上等车的情况有（中、上、下），（中、下、上），（下，上，中），共 3种；则其概率为 ；故答案：为 考点：本试题主要考查了等可能事件的概率计算。 若某几何体的三视图（单
8、位： cm）如图所示，则此几何体的体积等于_ 答案： 试题分析：因为根据三视图可知，几何体是一个有一个圆台和半球组成，圆台的上底直径是 4， 下底直径是 8，高是 3，半球的直径是 8，估计圆台的体积和球队体积公式求出组合体的体积由三视图知几何体是一个有一个圆台和半球组成，圆台的上底直径是 4，下底直径是 8，高是 3，半球的直径是 8， 组合体的体积是 V ，故填写 考点：本试题主要考查了由三视图还原几何体并且求出组合体的体积， 点评：解决该试题的关键是看出几何体的形状和大小，特别是组合体的问题容易出错。三视图遵循的九字方针为：长对正，高平齐，宽相等。 程序框图如下： 如果上述程序运行的结果
9、为 S 132，那么判断框中应填入 _ 答案： 试题分析：解：当 k=12， S=1，应该不满足判断框的条件； 经过第一次循环得到 S=112=12， k=12-1=11应该不满足判断框的条件； 经过第二次循环得到 S=1211=132， k=11-1=10，应该输出 S，此时应该满足判断框的条 件，即 k=10满足判断框的条件 所以判断框中的条件是 故填写 k 考点：本试题主要考查了解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找到规律。 点评：解决该试题的关键是经过第一次循环得到的结果，判断是否是输出的结果，不是说明 k的值不满足判断框的条件；经过第二次循环得到的结果，是需要
10、输出的结果，说明 k的值满足判断框中的条件得到判断框中的条件 若实数 x， y满足 的最小值为 3，则实数 b的值为_ 答案： 试题分析：由题意作出可行域可知 那么可知， y=-x+b,与 2x-y=0联立方程组可得到交点坐标为 B( )由图得，当目标函数过 B时， z=2x+y有最小值 ,即 ，故填写 考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的求解的运用。 点评：解决该试题的关键是作出可行域，并能利用直线的平移，结合截距的变化情况来确定 z的最小值在那个 点取得的问题。 解答题 （本题满分 12分） 设 ，且 满足 （ 1）求 的值 （ 2）求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1
11、）根据已知条件，将给出的方程组的每一个方程，利用化为单一函数的思想得到结论。 （ 2）经过第一问的求解，得到两个关系式一个是角 ，一个角 的三角函数式，然后整体构造所求解的角，结合两角和差的公式化简求值。 解：（ 1） ， (3分 ) ， ， (4分 ) （ 2）又 , ， (6分 ) ， ， ， (7分 ) 考点：本试题主要考查了两角和差的三角恒等变换的运用。 点评：解决该试题的关键是能够根据已知条件整体的思想来构造所求解的角，结合两角和差的公式来得到，主义同角公式的平方关系的使用，确定出角的范围，避免出现多解。 （本题满分 13分） 某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50元活动费，可享受
12、 20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12点获一等奖，奖价值为 a元的奖品；点数之和为 11或 10点获二等奖，奖价值为 100元的奖品；点数之和为 9或 8点获三等奖，奖价值为 30元的奖品；点数之和小于 8点的不得奖。求 ： （ 1）同行的两位会员中一人获一等奖、一人获二等奖的概率； （ 2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a的值。 答案：（ 1） P（ A） = ； （ 2）一等奖可设价值为 310 元的奖品。 试题分析：（ ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（ x， y），其中 1x，y6，则获 一等奖只有（ 6， 6）一种可能，获二等奖共有（ 6， 5）
13、、（ 5， 6）、（ 4， 6）、（ 6， 4）、（ 5， 5）共 5种可能，由此能求出同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率 （ ）设俱乐部在游戏环节收益为 元，则 的可能取值为 30-a， -70， 0， 30，分别求 出 P（ =30-a）， P（ =-70）， P（ =0）， P（ =30）的值，由此能求出 的分布列和 E 解：（ 1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（ x， y），其中 ， 则获一等奖只有（ 6， 6）一种可能，其概率为： ； 2 分 获二等奖共有（ 6， 5）、（ 5， 6）、（ 4， 6）、（ 6， 4）、（ 5， 5）共 5种可能，其概率为： ； 5 分
14、 设事件 A表示 “同行的两位会员中一人获一等奖、一人获二等奖 ”，则有： P（ A） = ； 6 分 （ 2）设俱乐部在游戏环节收益为 元，则 的可能取值 为 , ,0,7 分 30-a -70 0 30 p 其分布列为： 则： E= ； 11 分 由 E=0得： a=310，即一等奖可设价值为 310 元的奖品。 13 分 考点：本试题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望 . 点评：解决该试题的关键是解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想 . （本题满分 13分） 如图一，平面四边形 关于直线 对称， 。 把 沿 折
15、起（如图二），使二面角 的余弦值等于 。对于图二， （ ）求 ； （ ）证明： 平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值。 答案：（ ） ；（ ）见；（ ） 试题分析：（ I）取 BD 的中点 E，先证得 AEC 就是二面角 A-BD-C 的平面角，再在 ACE中利用余弦定理即可求得 AC； （ II）欲证线面垂直，转化为证明线线垂直，证明 AC BC， AC CD即可； （ III）欲求直线 AC 与平面 ABD所成角，先结合（ I）中的垂直关系作出直线AC 与平面 ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值 解：（ ）取 的中点 ，连 接 ， 由 ，得： 就是
16、二面角 的平面角， 2 分 在 中， 4 分 （ ）由 ， ， 又 平面 8 分 （ ）方法一：由（ ）知 平面 平面 平面 平面 平面 平面 ， 作 交 于 ，则 平面 ， 就是 与平面 所成的角 13 分 方法二：设点 到平面 的距离为 ， 于是 与平面 所成角 的正弦为 方法三：以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系， 则 设平面 的法向量为 （本题满分 14分） 设直线 与抛物线 交于不同两点 A、 B， F为抛物线的焦点。 （ 1）求 的重心 G的轨迹方程； （ 2）如果 的外接圆的方程。 答案： ； 。 试题分析：（ 1）设出 A、 B、 G的坐标，联立直线与抛物线，
17、利用重心坐标公式，即可求得重心 G的轨迹方程； （ 2）确定 AB 的中垂线方程为 x+y-6=0，令 ABF 外接圆圆心为 C（ a， 6-a），求出弦 AB的长， C到 AB的距离，利用 |CA|=|CF|，即可求得圆心坐标与半径，从而可得 ABF的外接圆的方程。 解 设 ， ， ，重心 ， 0 1且 （因为 A、 B、 F不共线） 故 重心 G的轨迹方程为 6 分（范围不对扣 1分） ，则 ，设 中点为 那么 AB的中垂线方程为 ，令 ABF外接圆圆心为 又 ， C到 AB的距离为 所求的圆的方程为 14 分 考点：本试题主要考查了轨迹方程，考查圆的方程，属于中档题 点评：解决该试题的关
18、键是确定圆的圆心与半径。利用三角形的重心坐标公式及利用待定系数法求解圆的方程，主要体现了方程思想的应用。 （本题满分 14分） 已知函数 f(x) ，若数列 ， 满足 ， ， ， (1)求 的关系，并求数列 的通项公式； (2)记 ， 若 恒成立求 的最小值 答案： (1) bn ( )n-1 .(2) m的最小值为 。 试题分析：（ 1）根据递推关系和已知的所求解的，构造那个结构特点的关系式，进而得到结论。（ 2）利用第一问的结论得到数列 bn- 是首项 b1- ，公比为 的等比数列，进而得到通项公式，并求解和式。 解： (1) ， .2 又 ， ， .3 代入化简得 ， 4 ， 6 数列
19、bn- 是首项 b1- ，公比为 的等比数列， bn- ( )n-1， bn ( )n-1 .8 (2)Sn 10 ， 12 的最大值为 ，又 m， m的最小值为 14 考点：本试题主要考查了数列通项公式和前 n项和的求解的综合运用。 点评：解决该试题的关键是对于分式递推式，采用取倒数的方法得到递推关系式，并能结合分组求和的思想得到数列的 前 n项和问题。 （本题满分 14分） 已知函数 （ 1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围 （ 2）当 时，求 在 上的最大值和最小值 （ 3）求证：对任意大于 1的正整数 ， 恒成立 答案：（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3）见。 试题分析：（
20、1）先求出函数的导函数，把函数 f（ x）在 1， +）上为增函数转化为导函 数大于等于 0恒成立问题，再转化为关于正实数 a的不等式问题即可求出正实数 a的取值范 围；（ 2）先求出函数的导函数以及导数为 0的根，进而求出其在 ， 2上的单调性即可 求 f（ x）在 ， 2上的最大值和最小值（ 3）运用第一问的结论 f(x)0，放缩法得打对 数式的不等式，进而的求和证明。 解：（ 1）由已知得 ，依题意 得 对任意恒成立 即 对任意 恒成立，而 （ 2）当 时， ，令 ，得 ，若 时，若 时， ，故 是函数在区间 上的唯一的极小值，也是最小值，即 ，而 ， 由于 ，则 （ 3）当 时，由（ 1）知 在 上为增函数 当 ，令 ，则 ，所以 即 所以 各式相加得 考点：本试题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间 a，b上的最大 值与最小值是通过比较函数在（ a， b）内所有极值与端点函数 f（ a）， f（ b） 比较而得到 的，以及利用单调性确定参数范围，不等式的恒成立的证明。 点评：解决该试题的关键是第一问中根据单调递增性，说明了在给定区间的导数恒大于等于 零，得到参数的取值范围。第二问，先求解极值和端点值，比较大小得到结论。
