1、2013-2014学年江西省上高二中高一下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 记 = ( ). A B C D 答案： A. 试题分析：由题意可知 ，而 . 考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系（平方关系，商数关系） . x , y满足约束条件 若 z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为（ ） A 或 -1 B 2或 C 2或 1 D 2或 -1 答案： D. 试题分析：如图所示，令 z=0，当直线 y=ax与直线 2x-y+2=0及直线 x+y-2=0平行且平移至这两条直线时 z取到最大值，而且最大值的最优解不唯一，此时 a等于这两条直线的斜率，分别为 2与
2、-1. 考点：线性规划问题 . 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） . A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增 C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增 答案： B. 试题分析： ，平移后即为, 令 ，解得 ，令 ，则函数 的递增区间为 . 考点：三角函数的平移变换，正弦函数的单调区间，复合函数求单调区间 . 设等差数列 的公差为 d，若数列 为递减数列，则（ ） . A B C D 答案： C. 试题分析：因为数列 为递减数列，则有 ，当时，有 ，此时有 ；当 时，有，此时有 . 考点：递减数列的定义，等差数列的定义，不等式的性质 . 在 中，角 所对应的边分
3、别为 ，则 是的（ ） . A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 答案： A. 试题分析： “充分性 ”：由正弦定理 ，所以充分性成立； “必要性 ”：由正弦定理 ,所以必要性也成立 . 考点：正弦定理，充分必要性的判断 . 为等差数列 , 为前 项和 , ,则下列错误的是（ ） . A B C D 和 均为 的最大值 答案： C. 试题分析：由 ,可知 ，此时 公差，又等差数列前 n项和 ，此时关于 n的函数 为开口向下的二次函数上的点组成的，由 可知对称轴为6.5，且 为其最大值，又 n=9比 n=5离对称轴远，所以 ，本题故选C. 考点：等差数列的前 n
4、项和公式，二次函数的图像与性质 . 已知函数 在曲线 与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为（ ） . A B C D 答案： C. 试题分析：因为原来函数即为 ，令 ，则，令 ，又因为若相邻交点距离的最小值为 ，则以正弦函数 为研究对象，取符合要求的两角： ，对应有，此时 ，所以 . 考点：辅助角公式，正弦函数的图像，三角函数的周期公式 . 设 为 的外心，且 ，则 的内角 =（ ） . A B C D 答案： B. 试题分析：如图所求，因为 ,两边平方，得,又在圆 O 中， OA=OB=OC,所以有 ，即 ，又由圆心角与同弧所对的圆周角的关系可知. 考点：圆心角等于
5、同弧所对的圆周角的二倍，向量数量积的性质与运算 . 设 -是等差数列 的前 项和， , 则 的值为（ ） . A B C D 答案： D. 试题分析：因为 ，所以 ，则有. 考点：等差数列的前 n项和公式，等差数列的下标和性质 . 设函数 条件 ： “ ”；条件 ： “ 为奇函数 ”，则 是 的（ ） . A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： B. 试题分析： “充分性 ”：当 ，有 ，得 ，则，此函数满足 可知为奇函数，所以充分性成立； “必要性： ”当 为奇函数时，有，此时 ，当 时，或 不存在，所以必要性不成立 .综上所述， 是 的充分不必要条件
6、 . 考点：充要条件的判定，奇函数的定义，正切函数的性质 . 填空题 已知直线： （ 为给定的正常数， 为参数，）构成的集合为 S,给出下列命题： 当 时， 中直线的斜率为 ； 中的所有直线可覆盖整个坐标平面 当 时，存在某个定点，该定点到 中的所有直线的距离均相等； 当 时， 中的两条平行直线间的距离的最小值为 ； 其中正确的是 （写出所有正确命题的编号） 答案： . 试题分析：对于 ，当 时， ， 中直线的斜率为 - ，故 不正确；对于 ，点（ 0， 0）不满足 方程，所以 S中的所有直线不可覆盖整个平面；对于 ，当 a=b时，方程为 ， 存在定点（ 0， 0），该定点到 S中的所有直线的
7、距离均相等，均为；对于 ，因为 既满足直线的方程，也满足椭圆 的方程，且把直线的方程代入椭圆 的方程可得 ，当 时，为椭圆的切线，当 S中两直线分别与椭圆相切于短轴两端点时，它们间的距离为 2b，即为最小距离，故本题选 . 考点：直线的斜截式方程，点到线的距离公式，椭圆的标准方程与性质 . 若等比数列 的各项均为正数 ,且 ,则. 答案： . 试题分析：根据等比数列的性质有，又. 考点：等比数列的性质，对数运算性质 . 直线 和 将以原点圆心， 1为半径的圆分成长度相等的四段弧，则 _. 答案： . 试题分析：如图所示，取 ，此两条直线符合题意，则. 考点：圆的性质，特值法，直线的斜截式方程
8、. 在 ABC中，设 AD为 BC边上的高，且 AD = BC， b， c分别表示角 B， C所对的边长，则 的取值范围是 _ 答案： . 试题分析：因为 BC边上的高 AD=BC=a，所以 ，则，又 ， 所以 ， 其中有 tanA=2，又由基本不等式有 所以 的取值范围 . 考点：三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域 . 如图，在平行四边形 中，已知 ， ， ，则 的值是 . 答案： . 试题分析：设 与 的夹角为 ， 又 解得 ， 所以 = . 考点：向量加法的三角形法则，向量的数量积的定义及性质，相等的向量 . 解答题 已知函数 的图像关于直线 对称
9、，且图像上相邻两个最高点的距离为 . （ 1）求 和 的值； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1） =2， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题意可得函数 f（ x）的最小正周期为 求得 =2再根据图象关于直线 对称，结合 可得 的值（ 2）由条件求得再根据 的范围求得 的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果 试题：（ 1）因为 f(x)图像上相邻两个最高点的距离为 ，所以 f(x)的最小正周期 ，从而 ，又因 f(x)的图象关于直线 对称，所以，又因为 得 ，所以 . （ 2）由（ 1）得 所以 ，又得 所以 ，因此. 考点：三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数 的图像与性
10、质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系） . 已知 等差数列 满足： =2，且 成等比数列 . （ 1）求数列 的通项公式 . （ 2）记 为数列 的前 n项和，是否存在正整数 n，使得 若存在，求 n的最小值；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） 或 ； （ 2）当 时，不存在满足题意的 n；当 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41. 试题分析：（ 1）本小题利用基本量法，设公差为 ，则 成等比可转化为关于 的方程，解出 即可写其通项公式；（ 2）在上小题已得的等差数列的前提下，求出其前 n 项和，利用 转化为不等解集问题的分析即可，同时要注意 n为正整数 .
11、 试题：（ 1）设数列 的公差为 ，依题意， ， ， 成等比数列，故有 ， 化简得 ，解得 或 .当 时， ；当 时， 从而得数列 的通项公式为 或 . （ 2）当 时， .显然 ，此时不存在正整数 n，使得成立 . 当 时， .令 ，即 ，解得 或 （舍去），此时存在正整数 n，使得 成立， n的最小值为 41. 综上，当 时，不存在满足题意的 n；当 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41. 考点：等差与等比数列的定义，通项公式，等差数列的前 n项和公式，解一元二次不等式，分类讨论与化归思想 . 在直角坐标系 中，已知点 ，点 在 三边围成的区域（含边界）上 （ 1）若 ，求 ； （ 2
12、）设 ，用 表示 ，并求 的最大值 . 答案：（ 1） ，（ 2） 1. 试题分析：（ 1）本小题中因为 思路一即化为坐标运算：从而求得 x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（ 2）本小题因为 所以 则，两式相减得， m-n=y-x,令 y-x=t,以下把问题转化为目标函数为 t的线性规划问题加以解决 . 试题：（ 1）解法一： 又解得 x=2,y=2,即 所以 解法二： 则 ,所以所以 （ 2） ，两式相减得，m-n=y-x,令 y-x=t,由图知，当直线 y=x+t过点 B（ 2， 3）时， t取得最大值 1，故m-n的最大值为 1. 考点：平面向量的线
13、性运算与坐标运算；线性规划问题 . 如图，在 平面上，点 ，点 在单位圆上， （ ） （ 1）若点 ，求 的值； （ 2）若 ，四边形 的面积用 表示，求 的取值范围 . 答案：（ 1） -3，（ 2） . 试题分析：（ 1）本小题从三角函数的定义出发，当 且 ，可得 ， ，而 ，因此有；（ 2）因为 ，且 均可用或 表示，则 可用含 的式子表示，利用辅助角公式可化为一种名称的三 角函数，结合角的范围即可求得此函数的范围 . 试题：（ 1）由于 ， ，所以 ， ， 于是 . （ 2） ，由于 , ，所以， ，则 （ ）， 由于 ，所以 ，所以 . 考点：三角函数的定义，正切的半角公式，两角和的
14、正切公式，辅助角公式，三角函数的定义域与值域问题，转化与化归思想 . 已知直线 的方向向量为 ，且过点 ，将直线 绕着它与 x轴的交点 B按逆时针方向旋转一个锐角 得到直线 ，直线： .(k R). （ 1）求直线 和直线 的方程； （ 2）当直线 ， ， 所围成的三角形的面积为 3时，求直线 的方程。 答案：（ 1）直线 方程为： ， 的方程为 x-y-1=0； （ 2）直线 的方程为： 7x-4y-2=0或 13x-10y+4=0. 试题分析：（ 1）本小题由已知条件利用点斜式方程能求出直线 的方程（其中方向向量可用以求其斜率），设直线 的倾斜角为 ，则 的斜率为，从而可求得 的方程；（
15、2）可知直线 过定点 M（ 2， 3），由 ，得直线 与 的交点为 C(-5,-6),点 A到 的距离为 ，联立 得直线 ， 的交点 B（ ），又因为直线 ， ， 所围成的三角形的面积为 3，所以有，再利用两点间的距离公式求得 k的值，即可求得 的方程 . 试题：（ 1）因为直线 的方向向量为 ，且过点 ，所以直线 方程为： ，整理，得 .将直线 绕着它与 x轴的交点 B按逆时针方向旋转一个锐角 得到直线 ，设直线的倾斜角为 ，且有 B（ 1， 0），则 的斜率为，所以 的方程为： y=x-1,整理得 x-y-1=0. （ 2）因为直线 ： ，即为 (x-2)k+(3-y)=0,所以 过定点
16、M（ 2，3），由 ，得直线 与 的交点为 C(-5,-6),点 A到 的距离为，联立 得直线 ， 的交点 B（ ），又因为直线 ， ， 所围成的三角形的面积为 3，所以有，则 相关试题 2013-2014学年江西省上高二中高一下学期期末考试理科数学试卷（带） 已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 成等比数列 . （ 1）求数列 的通项公式；（ 2）令 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） ，（或） . 试题分析：（ 1）本小题利用等差数列的前 n项公式公式及 成等比数列构造关于 的关系式 ，解出 ，即可写出其通项公式；（ 2）本小题中，对 n的奇偶情况进行讨论，两种情况下均利用裂项相消法求和 . 试题：（ 1）因为由题意得 解得 ，所以 . （ 2） ， 当 n为奇数时，； 当 n为偶数时， 所以： ，（或 ） . 考点：等差数列的通项公式与前 n项和公式，等比中项的关系式，裂项相消求和法，分类讨论与方程的思想 .
