1、2013-2014学年江西省白鹭洲中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设复数 且 ，则复数 的虚部为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，且 ，即 ，解得 . 考点：复数的模 . 函数 ，当 时， 恒成立，则 的最大值与最小值之和为（ ） A 18 B 16 C 14 D 答案： B 试题分析：令 ，因为当 时， 恒成立，即 恒成立，所以 ，即 满足上述条件的点 的可行域如下 : 由图可知，目标函数 在边界 上取到最小值 1，在点 处取到最大值 4，所以 而 ，令 ，则 ， ，当 时， ，此时函数 单调递减，当 时， ，此时函数 单调递增 所以函数 在点 处
2、取到最小值 6，因为 时 ， 时所以函数 在点 处取到最大值 10 所以 的最小值为 6，最大值为 10，则两者之和为 16，故选 B 考点： 1.一次函数的图像与性质； 2.线性规划； 3.函数的单调性与导数 . 对于实数 ，若 ，则 的最大值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 答案： B 试题分析：因为又因为 ，可得 ，故选 B. 考点：绝对值不等式 . 已知分段函数 ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：当 ， ，从而根据定积分的可加性可知，故选 C. 考点：定积分的计算 . 设随机变量 服从 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为随机变
3、量 服从 ，所以，故选 A. 考点：二项分布 . 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 的倾斜角为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为直线 的参数方程为 ，消去 得到 即，所以直线 的斜率为 ，设直线 的倾斜角为，则由 ，可得 ，故选 D. 考点： 1.参数方程； 2.直线的倾斜角 . 曲线 ， 与坐标轴围成的面积（ ） A B C D 0 答案： A 试题分析：根据正弦函数的图像及定积分的几何意义，可知所求面积，故选 A. 考点：定积分在几何中的应用 . 2014年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从 “0000”到 “9999”共 10000
4、 个号码 .公司规定：凡卡号的后四位带数字 “5”或 “8”的一律作为 “金马卡 ”，享受一定优惠政策，则这组号码中 “金马卡 ”的个数为（ ） A 2000 B 4096 C 5904 D 8320 答案： C 试题分析：先考虑卡号的后四位不带数字 “5”与 “8”的号码共有个，所以卡号前七位数字固定，后四位带数字 “中 5”或 “8”的卡号共有 个，故选 C. 考点：分步计数原理 . 过曲线 上的点 的切线平行于直线 ，则切点 的坐标为（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 答案： B 试题分析：因为 ，要使曲线 在 处的切线平行于直线 ，设切点 ，则有 即 ，由或 ，当 时， ，此时点不
5、在直线 上，满足要求；当 时， ，此时点 也不是直线 上，也满足要求；综上可知，选 B. 考点：导数的几何意义 . 下面使用类比推理正确的是（ ） A “若 ，则 ”类推出 “若 ，则 ” B “若 ”类推出 “ ” C “若 ”类推出 “ （ ） ” D “ ” 类推出 “ ” 答案： C 试题分析： A错，因为类比的结论 可以不等于 ； B错，类比的结论不满足分配律； C，由于 的任意性，所以此类比的结论是正确的； D错，乘法类比成加法是不成立的 . 考点：类比推理 . 填空题 若不等式 恒成立，则 的取值范围为 答案： 试题分析：因为 （当且仅当 即时等号成立），不等式 恒成立即 ，所以
6、 的取值范围为 . 考点：绝对值不等式 . 在极坐标系中，曲线 ，曲线 ，若曲线 与 交于两点，则线段 的长度为 答案： 试题分析：法一：根据题意可知，在极坐标系中，坐标原点就是两曲线的一个交点，所以两曲线交点所形成的线段的长度 ；法二：曲线即 的普通方程为： 即 ，曲线 的普通方程为： ，联立方程 ，求解可得 或 ，所以 . 考点： 1.极坐标； 2.直线与圆的位置关系 . 有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5的 5个红球和 5个黑球，从中取出 4个，则取出的编号互不相同的概率 . 答案： 试题分析：从有有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5的 5个红球和 5个黑球，从中取出 4个，共
7、有 种取法，而取出的编号互不相同的有 种，所以取出的编号互不相同的概率为 . 考点：古典概率 . 已知 则 答案： 试题分析：设 ，则 ，所以，所以. 考点：导数的计算 . 利用数学归纳法证明 “ ， ( )”时，在验证 成立时，左边应该是 答案： 试题分析：用数学归纳法证明 “ ， ( )”时，在验证 成立时，将 代入，左边以 1即 开始，以 结束，所以左边应该是 . 考点：数学归纳法 . 复数 为纯虚数，则实数 答案： 试题分析：因为复数 为纯虚数，所以复数 的实部为零，虚部不为零即. 考点：复数的基本概念 . 解答题 6个人坐在一排 10个座位上，则（用数字表示） . (1)空位不相邻的
8、坐法有多少种？ (2)个空位只有个相邻的坐法有多少种？ (3)个空位至多有个相邻的坐法有多少种？ 答案：（ 1） 25200；（ 2） 30240；（ 3） 115920. 试题分析：（ 1）根据空位不相邻， 6人先坐在 6个座位上并排好顺序，后将 4个空位采用插空法插入即可达到要求；（ 2） 6 人先坐在 6 个座位上并排好顺序，先将 3 个空位捆绑当作一个空位，再将生产的 “两个 ”空位采用插空法插入即可；（ 3）法一：采用间接法，将所有可能的坐法 ，减去四个空位相邻的坐法，再减去只有 3 个空位相邻的坐法 即可；法二：直接法，分成三类，第一类是空位都不相邻的坐法，第二类是 4个空位中只有
9、两个空位相邻的，另两个不相邻，第三类是 4个空位中，两个空位相邻，另两个空位也相邻，然后将这三种情况的坐法相加即可 . （ 1）第一步： 6人先坐在 6个座位上并排好顺序有 种，第二步：将 4个空位插入有： ，所以空位不相邻的坐法共有：种； （ 2）第一步： 6人先坐在 6个座位上并排好顺序有 ，第二步：先将 3个空位捆绑当作一个空位，再将生产的 “两个 ”空位采用插空法插入有：种，所以 4个空位只有 3个相邻的坐法有： 种； （ 3）法一：采用间接法，所有可能的坐法有 种，四个空位相邻的坐法有 ，只有 3个空位相邻的坐法有 种，所以个空位至多有个相邻的坐法有 法二：直接法，分成三类： 第一类
10、是空位都不相邻的坐法有 ； 第二类是 4个空位中只有两个空位相邻的，另两个不相邻的坐法有：种； 第三类是 4个空位中，两个空位相邻，另两个空位也相邻的坐法有：种； 所以个空位至多有个相邻的 坐法有 种 考点： 1.两个计数原理； 2.排列组合的综合问题 . 已知 是正整数， 的展开式中 的系数为 7.求展开式中 的系数的最小值，并求这时 的近似值（精确到 0.01） 答案： 的系数最小值为 9，此时 的近似值为 . 试题分析：先利用二项展开式的通项公式求出 的展开式中的 的系数 ，进而由条件得到 ，然后再得到 的系数，进而转化成 ，根据二次函数的图像与性质可确定或 时 的系数最小，进而根据二项
11、展开式可确定此时的近似值 . 由已知可得 ，则展开式中 的系数为 所以当 或 时 的系数最小为 这时 ， . 考点：二项式定理 . （ 1）已知 ， ，求证： ； （ 2）已知 ， ，求证： ； 并类比上面的结论写出推广后的一般性结论（不需证明） . 答案：（ 1）证明书详见；（ 2）证明详见；（ 3）结论推广为：，则 试题分析：（ 1）由均值不等式 即可证明 ；（ 2）注意到：，故可考虑用柯西不等式得到，进而得出所要证明的不等式；（ 3）观察（ 1）（ 2）所给条件 ， ，可想到任意 个正数的条件为，而（ 1）（ 2）的结论都是对应数的倒数之和大于等于 1，所以结论为： . （ 1）因为 且
12、 所以由基本不等式 可得 ，再根据倒数法则可得 ； （ 2）因为 ， 所以由柯西不等式可得 即 ，所以（ 3）一般性结论为： ，则 考点： 1.基本不等式； 2.柯西不等式； 3.归纳推理 . 某中学有 A、 B、 C、 D、 E 五名同学在高三 “一检 ”中的名次依次为 1， 2， 3，4， 5名， “二检 ”中的前 5名依然是这五名同学 . （ 1）求恰好有两名同学排名不变的概率； （ 2）如果设同学排名不变的同学人数为 ，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） ；（ 2） 分布列为 0 1 2 3 5 的数学期望 . 试题分析：（ 1）第二次排名的基本事件总数为 ，恰有 2名同学排名不变
13、所包含的基本事件数有： 种（先确定哪两个同学的排名不变，排名变化的三名同学只有两种情况），从而根据古典概型的概率计算公式即可求得所求的概率；（ 2）先确定 所有可能的取值 ，再分别求解时的概率，方法与（ 1）同，仍属古典概率问题，最后再根据概率和为 1计算出 ，进而列出分布列，根据期望的计算公式计算出期望即可 . （ 1）第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数为： （种） 第二次排名情况总数为： ，所以恰好有两名同学排名不变的概率为（ 2）第二 次同学排名不变的同学人数 可能的取值为： 5， 3， 2， 1， 0 分布列为 0 1 2 3 5 的数学期望 12分 . 考点： 1.古典概型；
14、 2.分布列； 3.分布期望 . 已知函数 （ 1）当 且 ， 时，试用含 的式子表示 ，并讨论 的单调区间； （ 2）若 有零点， ，且对函数定义域内一切满足 的实数 有 求 的表达式； 当 时，求函数 的图像与函数 的图像的交点坐标 答案：（ 1） 时， 的单调增区间是 ， ， 单调减区间是 ； 时， 的单调增区间 ， ，单调减区间为； （ 2） ； . 试题分析：（ 1）先求出导函数 ，进而由 ，于是 ，针对 分 、 两种情况，分别求出、 的解即可确定函数的单调区间；（ 2） 先由条件得到 的一个不等关系式 ，再由 有零点，且对函数定义域内一切满足 的实数 有 ，作出判断 的零点在 内，
15、设，则可得条件 即 ，结合即可确定 的取值，进而可写出 的式； 设 ，先通过函数的导数确定函数在 的单调性，进而求出 在 的零点，进而即可求出 与 的图像在区间 上的交点坐标 . （ 1） 2分 由 ，故 时，由 得 的单调增区间是 ， 由 得 单调减区间是 同理 时， 的单调增区间 ， ，单调减区间为 5分 （ 2） 由（ 1）及 （ i） 又由 有 知 的零点在 内，设 ， 则 即 所以由条件 此时有 8分 9分 又设 ，先求 与 轴在 的交点 ，由 得 故 ， 在 单调递增 又 相关试题 2013-2014学年江西省白鹭洲中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带） 已知曲线 的极坐标方程是
16、 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是：（ 是参数 ). （ 1）将曲线 和曲线 的方程转化为普通方程； （ 2）若曲线 与曲线 相交于 两点，求证 ； （ 3）设直线 交于两点 ，且（ 且 为常数），过弦 的中点 作平行于 轴的直线交曲线 于点 ，求证： 的面积是定值 答案：（ 1） ； ；（ 2）证明详见；（ 3）证明详见 . 试题分析：（ 1）先将极坐标方程 转化为，后由极坐标与普通方程转化的关系式得出 ；由 消去参数 即可得到 ；（ 2）联立方程 消去 得到 ，设 ，根据根与系数的关系得到 ，进而得到 ，再检验 即可证明 ；（ 3）联立方程 ，消 得，进而得到 ，由 得出，进而确定 的坐标，最后计算可得结论 . （ 1）由极坐标方程 可得 而 ，所以 即 由 消去参数 得到 （ 2）设 ，联立方程并消元得： ， （ 3） ，消 得 ， 由 （ 且 为常数），得 ，又可得 中点 的坐标为 所以点 ， ，面积是定值 考点： 1.极坐标； 2.参数方程； 3.直线与抛物线的位置关系； 4.三角形的面积计算公式 .
