1、2013-2014学年河北省衡水中学高一下学期一调考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 I是实数集 R. 都是 I的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为：（ ） A B C D 答案： D 试题分析： = 所以， = = 故答案：应选 D. 考点： 1、集合的表示法； 2、集合的运算； 3、一元二次不等式及分式不等式的解法 . 函数的定义域为 D，若满足： 在 D内是单调函数； 存在 a， b上的值域为 ，那么就称函数 为 “成功函数 ”，若函数是 “成功函数 ”，则 t的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 在其定义域内为增函数，则若函数 为 “成功
2、函数 ”， 且 在 上的值域为 ， 即： ，方程 必有两个不同实数根， 等价于 ， 方程 有两个不同的正数根， ， 故选 D. 考点： 1、新定义； 2、对数与指数式的互化； 3：一元二次方程根的分布 . 如图是一正方体被过棱的中点 M、 N 和顶点 A、 D、 C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：解：由图可知，侧面 在正视图中的投影是一条与 长度相等的线段；面 在正视图中的投影是一条与 长度相等的线段，棱 端点 在正视图中位于上边的中点，棱 是正视图中的对角线，且是看不到的棱，用虚线表示 .故选 B. 考点：三视图 .
3、如果圆 上总存在两个点到原点的距离为 则实数 a的取值范围是 A B C -1， 1 D 答案： A 试题分析：解 :由题意 ,圆 与圆 相交 ,所以 ,有故选 A. 考点：圆的位置关系 . 侧棱长都为 的三棱锥 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：解：由题设，球的直径为 ，所以球的表面积为 故选 D. 考点： 1、球内接正方体的棱长与球的半径的关系； 2、球的表面积公式 . 如果直线 将圆 平分且不通过第四象限，则 的斜率的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：解：将圆方程 化成标准形式得：由此可知圆心
4、坐标为 ，所以经过圆心和原点的直线的斜率为 2；由题意，直线 过圆心且不通过第四象限，则其斜率 的取值范围是： 故选 A. 考点： 1、圆的标准方程； 2、直线的倾斜角与斜率 . 函数 的零点所在区间是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：解： 根据函数的零点存在性定理可以判断，函数 在区间 内存在零点 . 考点： 1、对数的运算性质； 2、函数的零点存在性定理 . 函数 在区间 上恒为正值，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：解 :由题意 ,且 在区间 上恒成立 . 即 恒成立 ,其中 当 时 , ,所以 在区间 单调递增 , 所以 , 即 适合题意 .
5、 当 时 , , 与 矛盾 ,不合题意 . 综上可知 : 故选 B. 考点： 1、对数函数的性质； 2：二次函数的性质 . 直线 和直线 平行，则 （ ） A B C 7或 1 D 答案： B 试题分析：解：由题意， 解得： ，故选 B. 考点：两直线平行的条件 . 已知直线 与圆 相切，且与直线 平行，则直线 的方程是 ( ) A B 或 C D 答案： D 试题分析：解 :将圆方程 化成标准形式得 : ,它表示圆心在点 ,半径为 的圆；根据题意可设所求直线方程为： ，则有： 即： ，解得： 或 ，故应选 D. 考点： 1、圆的标准方程； 2、直线与圆的位置关系； 3、点到直线的距离公式 .
6、 直线 经过 两点，那么直线 的倾斜角的取值范围（ ） A B C D 答案： D 试题分析：解：设直线的倾斜角为 ，则有： ， 又因为： 所以， 或 故选 D 考点：直线的斜率与倾斜角 . 过点 且与直线 垂直的直线方程是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：解：因为直线 的斜率为 ，设所求直线的斜率为 ，则所以所求直线的方程为： ，即： 所以答案：应选 C. 考点： 1、直线方程的求法； 2、两直线垂直的条件 . 填空题 已知圆 C过点（ 1,0），且圆心在 x轴的正半轴上，直线 被圆 C所截得的弦长为为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为_. 答案： 试题分析：解：设圆心坐
7、标为 ，其中 ，则 由题意： ，解得： 所以圆心坐标为 ，所求直线方程为： 即： 故答案：填： 考点： 1、圆的标准方程； 2、直线与圆的位置关系 . 已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 _. 答案： 试题分析：解：因为 其图象如下图中黑色图象所示，函数 的图象是一条过定点 的直线，如图中的红色直线所示；由图可知， 所以答案：应填： 考点： 1、分段函数的图象； 2、直线的斜率 . 设 在 上的最大值为 p，最小值为 q，则p+q= 答案： 试题分析：解：因为 令 ，则 所以， 为 上的奇函数，它的图象关于原点对称，设其最大值为 ，则其最小值为 ； 所以， 的最大值
8、为 ，最小值为 所以， 故答案：应填： 2. 考点：函数奇偶性的应用 . 过点（ 1， 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 . 答案： 或 试题分析：解：当直线过原点时，设直线方程为： ，因为直线过点 ，所以， 即直线方程为 ； 当直线不过原点时，可设直线的截距式方程为： ，又直线过点 ，所以， 所以， ，即直线方程为 . 综上 ,答案：应填 : 或 . 考点： 1、待定系数法； 2、直线的方程 . 解答题 设直线 的方程为 . （ 1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程； （ 2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）按直线是否
9、经过原点两种情况讨论，分别求出 的值，从而确定直线的方程； （ 2）因为直线的斜率一定存在，所以，由直线不过第二象限，可知直线的斜非负，在 轴上的截距非正，从面确定实数的取值范围 . 试题：解（ 1）当直线过原点时，该直线在 轴和 轴上的截距都为零，当然相等， ，方程即为 ；若 ，由截距存在， 即，方程即为 . （ 2）将 的方程化为 ， 所以，要使 不经过第二象限，当且仅当 或 综上可知 的取值范围是 . 考点：直线的一般式方程与截距式的互化 . 如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，侧面 PADA底面 ABCD,. (1)求证：平面 PABA平面 PCD (2)如果 AB=BC=2,PB
10、=PC= 求四棱锥 P-ABCD的体积 . 答案： (1) 见 (2) 试题分析： (1)欲证平面 平面 ,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可，考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系，易证：,从而 平面 ； (2)作 ，垂足为 ，连结 ；可证 是 的中点 , 从而求得四棱锥的高 ,进一步求得四棱锥 的体积 . 试题：（ ）因为四棱锥 的底面是矩形，所以 ， 又侧面 底面 ，所以 又 ， 即 ，而 ，所以 平面 因为 PA平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PCD 4分 （ ）如图，作 PO AD，垂足为 O，则 PO 平面 ABCD 连结 OB， OC，则 PO OB， PO O
11、C 因为 PB PC，所以 Rt POB Rt POC，所以 OB OC 依题意， ABCD是边长为 2的正方形，由此知 O 是 AD的中点 7分 在 Rt OAB中， AB 2， OA 1， OB 在 Rt OAB中， PB ， OB ， PO 1 10分 故四棱锥 P-ABCD的体积 V AB2 PO 考点： 1、平面与平面垂直的判定与性质； 2、棱锥的体积 . 已知点 在圆 上运动， ，点 为线段 MN 的中点 (1)求点 的轨迹方程； (2)求点 到直线 的距离的最大值和最小值 答案： (1) ； (2)最大值为 ，最小值为 . 试题分析： (1) 相关点法：因为点 为线段 MN 的中
12、点，根据中点坐标公式，可分别用 表示 然后代入方程 即可得到 的轨迹方程； (2)由 (1)的结果，到 的轨迹是圆，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，并进一步确定圆上的点到直线的距离的最值 . 试题： (1) 点 P(x， y)是 MN 的 中点， 故 将用 x， y表示的 x0， y0代入到 中得 .此式即为所求轨迹方程 (2)由 (1)知点 P的轨迹是以 Q(2,0)为圆心，以 1为半径的圆 点 Q 到直线 的距离 . 故点 P到直线 的距离的最大值为 16 1 17，最小值为 16-1 15. 考点： 1、相关点法求动点的轨迹方程； 2、点到直线的距离公式； 3、直线与圆的位置
13、关系 . 已知函数 对任意实数 恒有 且当 时，有且 . (1)判断 的奇偶性； (2)求 在区间 上的最大值； (3)解关于 的不等式 . 答案： (1)奇函数； (2) ； (3) 当 时， 当 时， 当 时， 当 时 , 试题分析： (1)赋值法：先令 ，再令(2)根据 以及当 时，有 ，利用函数单调性的定义判断得出 为 上的减函数；并由单调性求其最值 ; (3)由（ 1）和（ 2）的结论，先将不等式 化为；再由函数的单调性转化为 关于 的不等式对 的不同取值，分别讨论不等式的解 . 试题：解（ 1）取 则 取 对任意 恒成立 为奇函数 . （ 2）任取 ， 则 又 为奇函数 在（ -，
14、 +）上是减函数 . 对任意 ，恒有 而 在 -3， 3上的最大值为 6 （ 3） 为奇函数， 整理原式得 进一步可得 而 在（ -， +）上是减函数， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时 , 考点： 1、赋值法解决抽象函数的有关问题； 2、函数单调性的定义； 3、分类讨论的思想 . 已知半径为 5的圆的圆心在 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切 求：（ 1）求圆的方程； （ 2）设直线 与圆相交于 两点，求实数 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，是否存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 ？ 若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试
15、题分析：（ 1）设圆心为 （ ） ,利用直线与圆相切的位置关系，根据点到直线的距离公式列方程解得 的值，从而确定圆的方程； （ 2）直线 与圆交于不同的两点，利用圆心到直线的距离小于圆的半径列不等式从而解出实数 的取值范围； （ 3）根据圆的几何性质，垂直平分弦 的直线必过圆心，从而由两点确定直线 的斜率，进一步由两直线垂直的条件确定实数 的值 . 试题：（ 1）设圆心为 （ ） 由于圆与直线 相切，且半径为 ，所以， ， 即 因为 为整数，故 故所求的圆的方程是 （ 2）直线 即 代入圆的方程，消去 整理，得 由于直线 交圆于 两点， 故 ，即 ，解得 ，或 所以实数 的取值范围是 （ 3）
16、设符合条件的实数 存在，由（ 2）得 ，则直线 的斜率为 ， 的方程为 ，即 由于 垂直平分弦 ，故圆心 必在 上 所以 ，解得 由于 ， 所以存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 . 考点： 1、圆的标准方程； 2、直线与圆的位置关系 . 已知圆 满足： 截 y轴所得弦长为 2； 被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 . 求在满足条件 的所有圆中，使代数式 取得最小值时，圆的方程 答案： ，或 试题分析：由 ，根据直线与圆相交时，半径、半弦与弦心距的关系，得到参数 的关系式，从而可把代数式 化成关于 或 的一元二次函数，求出这个二次函数的最值及取得最值时相对应的 的值，最后确定圆的方程 . 试题：如下图所示，圆心坐标为 P(a， b)，半径为 r，则点 P到 x轴， y轴的距离分别为 |b|， |a|. 圆 P被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3： 1， . 取 AB的中点 D，连接 PD， 则有 ， . 取圆 P截 y轴的弦的中点 C，连接 PC， PE. 圆截 y轴所得弦长为 2， ， ， 即 . 则 . 当 b 1时， 取得最小值 2， 此时 a 1，或 a -1， r2 2. 对应的圆为： ， 或 . 使代数式 取得最小值时，对应的圆为 ，或 . 考点： 1、圆的标准方程； 2、直线与圆的位置关系； 3、一元二次函数的最值 .
