1、2013-2014学年河南省郑州一中高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 中，若 ，则 的外接圆半径是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为正弦定理内容 可以计算出外接圆的半径 . ，由正弦定理知故选 D. 考点 : 同角的三角函数关系、正弦定理 数列 的通项公式为 ， ， 是数列 的前项和，则 的最大值为 ( ) A 280 B 300 C 310 D 320 答案： C 试题分析：由题可知数列 是递减数列 . 从第 5项开始就为负的 .所以对数列而言从第 5项开始都为负数 .所以 的最大值即为数列 的前 4项的和 .所以答案：为 C. 考点：数列求和 已
2、知实数 满足 ,且目标函数 的最大值为 6,最小值为 1, 其中 的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题 .需要对含参直线的斜率以及 b进行讨论 .另外借助选项 ,观察 4个选项都是正数，所以 .这样可以减少讨论情况 .利用现行约束条件作出可行域 . 当 讨论（ ）：若无论 我们都可以作图，若 则表示虚线下方无最大值不合题意 .所以 建立方程组 和分别代入目标函数 可以得出 .（ ）：同理当 时，结合图像仍然会得如上的方程组 .所以 .所以答案：为 D. 考点：线性规划、分类讨论思 . 数列 的前 n项和为 ,则 的前 50项的和
3、为 ( ) A 49 B 50 C 99 D 100 答案： A 试题分析：先利用 求出 ，所以当 时， 所以式子 =-3+24 （ -2） =-51+100=49.所以答案：为 A. 考点：数列求通项、数列求和 设正实数 x， y， z满足 x2-3xy 9y2-z 0，则当 取得最大值时，的最大值为 ( ) A 1 BC -1 D 3 答案： A 试题分析：由题可知 分子分母同时除以 xy，可以得到 x， y， z都是正实数，所以可以利用基本不等式有所以 ，当且仅当 即 ，将 代入 得 所以 配方得， 所以最大值是 1.故答案：是 A. 考点：基本不等式 设 的内角 所对的边分别为 ，若三
4、边的长为连续的三个正整数，且 ， ，则 =( ) A 4:3:2 B 5:6:7 C 5:4:3 D 6:5:4 答案： D 试题分析：我们知道三角形中大角对大边，因为 ABC所以 ，又因为三边是连续的整数所以不妨设 在利用余弦定理将角转化成边将 代入可得 由正弦定理知，所以答案：为 D. 考点：正弦定理、余弦定理 已知正项等比数列 满足： ,若存在两项 使得，则 的最小值为 ( ) A 9 BC D 答案： D 试题分析：利用等比数列的知识求出 m与 n的关系，在利用基本不等式求解出最值 . 即 .又因为所以.故答案：为 D 考点：等比数列、基本不等式 在 ABC中， 所对的边分别为 ，若
5、ccosC=bcosB，则 ABC的形状一定是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等边三角形 答案： C 试题分析：利用余弦定理将角转化成边在利用因式分解对式子进行化简判断三角形的形状 . 所以有 若 c=b,等式成立三角形为等腰三角形，或者 三角形为直角三角形 .所以答案：为 C. 考点：余弦定理 已知等差数列 满足 , ,则前 n项和 取最大值时， n的值为 ( ) A 20 B 21 C 22 D 23 答案： B 试题分析：因为等差数列的前 n项和公式 ，可以看做关于 n的二次函数，因此我们可以利用二次函数求最值解决本题 .由已知代入求和公式得.对称轴为 所以答
6、案：为 B 考点：等差数列前 n项和公式 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， ，为使此三角形只有一个，则 满足的条件是 ( ) A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：利用正弦定理判断解的情况 所以由上图表中计算 ，故答案：为 C 考点：正弦定理应用三角形解的个数 若不等式 与 同时成立，则必有 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为两个不等式同时成立，利用 2个等价关系可以得到 a与 b的关系 . 又因为 所以 .故答案：为 C 考点：不等式的性质 已知数列 则 是它的第（ ）项 . A 19 B 20 C 21 D 22 答案： C 试题分析：观察式子 ,其中根式里
7、面的数字为以 6为公差的等差数列 .而，所以答案：为 C. 考点：等差数列 填空题 已知数列 满足 （ 为常数， ），若，则 答案： 试题分析：根据已知条件找到数列 的特点，再去求解 的值 .所以 是以公比为 q的等比数列 .又因为，所以 应是递减数列 .又因为所以 所以 所以 考点：数列求通项 已知方程 的两根为 ，且 则 的取值范围 答案： 试题分析：本题考查二次函数根的分布问题和线性规划求最优解问题利用根的分布得到线性约束条件进而做出可行域求解 .做出可行域 即为可行域内的点到原点的斜率 .由线性规划知识可以知道 所以考点：二次函数根的分布 线性规划求最优解 设 ，若 ，则 的最大值是
8、_. 答案： 试题分析：利用基本不等式解决，但是注意基本不等式的条件是一正二定三相等 .而 所以我们要将 平方，用重要不等式解决可以避开范围的问题 .由已知条件我们可得 即 .所以最大值为 考点：基本不等式、不等式 在 中，三边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，若，则角 的大小为 答案： 试题分析：利用余弦定理变形得到 . 又因为所以 所以 考点：余弦定理 解答题 某单位有 、 、 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点 ，使得发射点到三个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为， ， 假定 、 、 、 四点在同一平面内 （ ）求 的大小； （ ）求点 到直线 的距 答案：（ 1
9、） （ 2） 试题分析：（ 1） . 在 中，知道三条边长利用余弦定理能够求出 的大小 .（ ） .因为点 O到三个顶点的距离相等，所以 O为 的外接圆的圆心，由正弦定理能够求出外接圆的半径 . 在由勾股定理求出 O到 BC的距离. 试题：解：（ ）在 中，因为 ， ， ， 由余弦定理得 因为 为 的内角，所以 5分 （ ）方法 1：设外接圆的半径为 ， 因为 ，由（ 1）知 ，所以 所以 ，即 过点 作边 的垂线，垂足为 ， 在 中， ， ， 所以 所以点 到直线 的距离为 考点：余弦定理、正弦定理 设 是公比大于 1的等比数列， 为数列 的前 项和已知 ，且 构成等差数列 （ ）求数列 的
10、通项公式； （ ）令 ,求数列 的前 项和 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)求等差等比数列的通项公式只要求出基本量 就可以 .由已知条件可以构建方程组 求出 和 .利用通项公式能够求解通项 .（ 2）因为 所以 一个等差乘以一个等比，利用错位相减法求和 . 试题：（ ）由已知 解得 设数列 的公比为 ，由 ，可得 又 ，可知 ，即， 解得 由题意得 故数列 的通项为 6分 （ ）由于 ,所以 两式相减得： 12分 考点：等比数列求通项、数列求和 在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c 已知 ， . ( )求 的值； ( )若 ，求 ABC的面积 答案：（ 1
11、） （ 2） 试题分析： (1) 的值，所以将式子中 变为,又因为 ，所以 ，将 代入就能求出 的值 .(2)利用第一问 = 求得再利用正弦定理 求出 C边为 ，在由余弦定理 cosA求出 b边为 .因为 可以求出 所以 .利用三角形面积公式可以得出 试题： ( ) cosA 0， sinA ， 又 cosC sinB sin(A C) sinAcosC sinCcosA cosC sinC 整理得： tanC 6分 ( )由 ( )知 sinC 又由正弦定理知： ，故 (1) 由余弦定理得： cosA (2) 解 (1)(2)得： orb (舍去 ) ABC的面积为： S 12分 考点：解三
12、角形 如图所示， 是一个矩形花坛，其中 AB=4米， AD=3米现将矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花园 ，要求： B在 上， D在 上，对角线 过 C点，且矩形 的面积小于 64平方米 （ ）设 长为 米，矩形 的面积为 平方米 ，试用式将 表示成 的函数，并写出该函数的定义域； （ ）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小 并求最小面积 答案：（ 1） 88 （ 2） 307050元 试题分析：（ 1）要想求出矩形的面积需要求出 AM长，由 NDC NAM可以求出 AM的长（ 2）由第一问可以知道 s关于 x的函数 ，令 就可以将 s转化为基本不等式求解 . 试题：（ ）由 NDC NAM，可
13、得 ， ，即 ，故 ， 由 且 ，解得 ， 故所求函数的式为 ，定义域为 6分 （ ）令 ，则由 ，可得 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时，即当 时， 取最小值 48 故当 的长为 时，矩形 的面积最小，最小面积为 平方米 . 12分 考点：基本不等式 已知函数 . ( )当 时， 恒成立，求实数 的取值范围； ( )若对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)本题为含参二次函数求最值，涉及到的问题是轴动而区间不动，所以要分三种情况，对称轴在区间的左侧，在区间的右侧，在区间之间 .分别求出函数的最值从而解出 a的取值范围 .(2)与（ 1）的区别是给定了
14、 a的范围，解不等式，所以我们把 转化成关于 a的不等式，利用给定 a的范围恒成立问题来解决 x的取值范围 . 试题： ( )当 时，设 ，分以下三种情况讨论： (1)当 时，即 时， 在 上单调递增， 因此 ， 无解 . (2)当 时，即 时， 在 上单调递减， ， 因此 ，解得 . (3)当 时，即 时， ， 因此 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 6分 ( ) 由 得 ，令 ， 要使 在区间 恒成立，只需 即 ， 解得 或 .所以实数 的取值范围是 . 12分 考点：二次函数求最值 含参不等式 数列 的前 n项和为 , （ I）证明 :数列 是等比数列； （ ）若 ，数列 的前 n项和为 ，求不超过 的最大整数的值 答案：（ 1） （ 2）定义域为 (3) 在 上单调递增 , 上单调递增 试题分析： (1)因为 看到 我们容易想到利用求解 .但要注意当 的时候 .(2),再利用裂项相消求和解不等式求解 . 试题： ( ) 因为 , 所以 当 时 , ,则 . 当 时 , . 所以 ,即 , 而 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列， 所以 6分 ( )由 ( )知 , . , 所以 故不超过 的最大整数为 . 12分 考点：数列求通项、数列求和
