1、2013-2014学年湖北省荆州中学高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 甲校有 3600名学生，乙校有 5400名学生，丙校有 1800名学生，为统计三校学生某方面的情况计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90人的样本，应在这三校分别抽取学生 ( ) A 30人， 30人， 30人 B 30人， 45人， 15人 C 20人， 30人， 40人 D 30人， 50人， 10人 答案： B 试题分析：因为三所学校共 名学生，从中抽取一个样本容量为 的样本，则抽取的比例为： ，所以甲校抽取学生为名，乙校抽取学生为 名，丙校抽取学生为名，故选 B 考点：本题主要考查分层抽样的
2、定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比 ,确定抽取样本的比例是分层抽样的关键 已知函数 集合，则 的面积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知，因为 所以集合，集合 中的元素为以点 为圆心，以为半径的圆以及圆内的点；集合，集合 中的元素为夹在直线 和直线之间左右两部分平面区域中的点，所以 表示的区域是在圆内且夹在两条直线之间的左右两部分，因为直线 和直线 互相垂直，所以它的面积是半径为 的圆的面积一半， ，故选 B 考点：本题考查了集合的基本运算，圆和直线关系的综合应用，以及线性规划的应用，解题的关键步骤是判断出集合 和 的图形，解题时要认真
3、审题，作出可行域，注意数形结合思想的灵活运用 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由上程序框图，当运行程序后， ，满足条件，执行循环；则 ，满足条件，执行循环；则，满足条件 ，执行循环；则 ，满足条件，执行循环；则 ，满足条件，执行循环；则，不满足条件，退出循环，则输出 ，故选 D 考点：本题主要考查了程序框图中的循环结构，求解本题的关键是弄清循环次数，解题需要细心 下列命题中： 命题 “ ，使得 ”,则 是真命题 . “若 ，则 ， 互为相反数 ”的逆命题为假命题 . 命题 “ ”,则 :“ ”. 命题 “若 则 ”的逆否命题是 “若
4、 ，则 ”. 其中正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题分析：对于命题 ,当 时， ，所以 是真命题，则为假命题， 错误；对于命题 ， “若 ，则 ， 互为相反数 ”的逆命题为 “若 ， 互为相反数，则 ”，其为真命题， 错误；对于命题 ，命题 “ ”,则 :“ ”，所以 错误；对于命题 ，命题 “若 则 ”的逆否命题是 “若 ，则 ”，所以 错误则以上命题都错误，故选 A 考点：本题考查的知识点是命题间的关系，及其真假性的关系，正确把握命题真假性的关系以及判断命题的真假性是解题的关键 钱大姐常说 “便宜没好货 ”，她这句话的意思是： “不便宜 ”是 “好货
5、 ”的（ ） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非 充分也非必要条件 答案： B 试题分析：由 “便宜没好货 ”这句话等价于其逆否命题，即 “好货不便宜 ”，按这句话的意思， “好货 ”可推出 “不便宜 ”，所以 “不便宜 ”是 “好货 ”的必要条件 考点：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断 某商品销售量 (件 )与销售价格 (元 /件 )负相关 ,则其回归方程可能是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为商品销售量 (件 )与销售价格 (元 /件 )负相关 ,所以回归直线的斜率 ，排除 ,对于 选项，若价格定为 ，其销售量为 ，显然不符合，所以回归方程可能为
6、，故选 考点：本题考查的知识点是回归分析的基本概念，重点考查了回归方程中回归系数与正负相关的关系，属于基础题 湖北省第十四届运动会即将于 2014年 8月在荆州市举行，某参赛队准备在甲、乙两名篮球运动员中选一人参加比赛。已知在某一段时间内的训练中，甲、乙的得分成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是 ，则下列结论正确的是 ( ) 甲 乙 0 8 6 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 3 6 9 7 6 6 1 1 3 3 8 9 4 4 0 5 1 A ，选甲参加更合适 B ，选乙参加更合适 C ，选甲参加更合适 D ，选乙参加更合适 答案： A 试题分析：由茎叶图，直接可
7、算出甲、乙小组的平均成绩分别是 ，而由茎叶图直观的可看到，甲的成绩更加集中，乙的成绩比较分散，所以甲的发挥更稳定 (可计算其方差，利用方差的大小来比较稳定性 )，所以甲参加更合适，故选 A 考点：本题考查的知识点是茎叶图以及平均数和方差这两个数字特征，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度，用样本的数字特征可估计总体的数字特征 在下列各数中，最大的数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由进位制之间的转化关系，可将四个数转化为十进制数分别为：， ， ，所以最大的数是 考点：本题考查的知识点是算法的概念，由 n进制转化为十进制的方法，我
8、们只要依次累加各位数字上的数 该数位的权重，即可得到结果 如果两条直线 l1-: 与 l2: 平行，那么 等于 ( ) A B 2 C 2或 D答案： A 试题分析：由两直线的方程可知，直线 的斜率一定存在，要使两直线平行，只需 ，解得 ，故选 A 考点：本题考查了几何中两条直线平行关系的判定，要掌握两条平行直线斜率的关系，特别要注意排除重合的关系 某人在打靶中 ,连续射击 2次 ,事件 “至少有一次中靶 ”的互斥事件是 ( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C两次都不中靶 D只有一次中靶 答案： C 试题分析：若两个事件的交事件是不可能事件，则称这两个事件为互斥事件，显然事件 “至少有一次
9、中靶 ”与事件 “两次都不中靶 ”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件，故选 C 考点：本题的考点是互斥事件的定义，理解两个互斥事件的关系是解题的关键 填空题 如果函数 y 的图像与曲线 恰好有两个不同的公共点 ,则实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析：根据题意画出函数 与曲线 的图象，如图所示， 当 与圆 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 作 ，因为 ， ，所以根据勾股定理得： ，则，此时 ；当圆 半径大于 ，即 时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数 的取值范围是 考点：本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键 已
10、知 且 是 的充分而不必要条件 ,则的取值范围为 . 答案： 试题分析：命题 可化为 ； 可化为 ，要使得 是 的充分而不必要条件 ,只需 ，则 的取值范围是 考点：本题主要考查了充分、必要条件的关系，解题的关键是掌握两个命题间的关系 在区间 内随机取两个数 a、 b，则使得函数 有零点的概率为 答案： 试题分析：由题 意可知，以 为横轴， 为纵轴，建立直角坐标系，则表示边长为 的正方形区域，要使函数 有零点，只需 ，即 ，而不等式 表示直线右下方位于正方形中的平面区域，根据几何概型的概率公式，函数有零点的概率为 考点：本题主要考查了函数零点的定义，简单的线性规划问题，以及几何概型的概率计算方
11、法、数形结合的数学思想方法 若直线 被两条平行直线 与 所截得的线段长为，则直线 的倾斜角等于 答案： 或 试题分析：由题意可知，两平行直线 和 之间的距离等于 ，设直线 与两平行直线的夹角为 设，则有 ，所以 ，由于两平行直线的斜率为 ，故它们的倾斜角为 ，则根据平面几何知识可知，直线的倾斜角可以是 ，故 m的倾斜角可以是 或 考点：本题考查的知识点是两平行之间的距离公式，两条直线的夹角，直线的倾斜角的定义 某服装制造商现有 的棉布料 , 的羊毛料 ,和 的丝绸料 .做一条裤子需要 的棉布料 , 的羊毛料 , 的丝绸料 .一条裙子需要 的棉布料 , 的羊毛料 , 的丝绸料 .一条裤子的纯收益
12、是 50元 ,一条裙子的纯收益是 40元 ,则该服装制造商的最大收益为 元 . 答案： 试题分析：设总共生产裤子为 条，裙子为 条，该服装制造商的最大收益为元，则根据题意可知， 满足的约束条件为 ， 满足的约束条件表示的平面区域如下图阴影部分所示 : 目标函数为 可化为 ，作出直线 ，将其平移，由上图可知，当把直线平移到经过点 时，可使 取得最大值可解得 点的坐标为 ，此时 取得最大值，最大值为 ,即当生产 4条裤子， 2条裙子时，可使收益最大 ,最大收益为 280元 考点：本题主要考查了简单的线性规划问题的应用，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题 解答题 求
13、经过直线 的交点 M,且满足下列条件的直 线方程： (1)与直线 2x+3y+5=0平行 ; (2)与直线 2x+3y+5=0垂直 . 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：根据题意先求出直线 和 的交点 的坐标，根据两直线平行，则斜率相等，即可求出所求直线的方程；若两直线垂直，则斜率之积等于 ，即可求出所求直线的方程 试题 : 由题意知：联立方程组 ，可得到两条直线的交点 的坐标为 ， 因为所求直线与直线 平行，可以设所求直线的方程为， 因为过 ，所以 ，即所求直线的方程为 （ 2）设与 垂直的直线方程为 ， 因为过点 ，代入得 ,故所求直线方程为 考点：本题考查了直线的方程，以及两条直线的
14、位置关系 . 设命题 ；命题 ：不等式 对任意 恒成立若 为真，且 或 为真，求 的取值范围 答案： 试题分析：若 为真，且 或 为真，则可知命题 和 都为假命题，从而求出参数 的取值范围 试题：由命题 可知， ，则 ， 对于命题 ，因为 ， 恒成立， 所以 或 ,即 . 由题意知 与 都为假命题， 的取值范围为 . 考点：本题考查了一元二次方程的根的情况 ,以及对于复合命题真假性关系的判断，属于基础题 某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的 20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位： cm） （ 1）根据频率分布直方图 ,求出这 20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值 ; （
15、 2）在身高为 140160 的学生中任选 2个 ,求至少有一人的身高在 150160 之间的概率 . 答案：（ 1） ； ；（ 2） 试题分析：（ 1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等 ,由此可以估计中位数的值，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，由此可以估计平均数的值；（ 2）这 名学生中 ,身高在 之间的有 个，身高在 150160 之间的 有 人，从中任选 人，共有 种不同的选法，而身高在 之间的只有一种选法，从而至少有一人身高在 150160 之间的有 种，从而求出其概率 试题： :(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等 ,由此可
16、以估计中位数的值 , 所以中位数的估计值为 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 . 则平均数的估计值为 (2)这 名学生中 ,身高在 之间的有 个 ,分别为 A,B,身高在 150160 之间的有 人 ,分别为 C,D,E,F,G,H, 则从这 人中任选 个的所有基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,BC,BD,BE,BF,BG,BH,CD,CE,CF,CG,CH, DE,DF,DG,DH,EF,EG,EH,FG,FH,GH共 个 , 两个身高都在 之间的事件有 AB共 个 , 所以至少有一个人在 150160 之间的概率为 考点：本
17、题主要考查了频率分布直方图中对中位数、平均数的估计，以及古典概型概率计算公式 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到 2005年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算， 2001年编号为1,2002年编号为 2， ， 2005年编号为 5，数据如下： 年份（ x） 1 2 3 4 5 人数（ y） 3 5 8 11 13 （ 1）从这 5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有 年多于 10人的概率 . （ 2）根据这 年的数据，利用最小二乘法求出 关于 的回归方程 ，并计算第 年的估计值。 参考 :用最小二乘法求线性回归方程系数公式 答案：（ 1） ；（
18、2） 试题分析：（ 1）从这 5年中任意抽取两年，共有 10种抽取方法，至少有一年多于 10人的事件有 7种，利用古典概型的概率计算公式直接求出其概率；（ 2）由给出的数据，利用最小二乘法求线性回归方程系数公式求出系数，从而得到线性回归方程，再利用回归方程估计第 8年的估计值 试题：（ 1）从这 5年中任意抽取两年 ,所有的事件有 :12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共 10种，至少有 1年多于 10人的事件有 :14, 15,24,25,34,45,45共 7种 ,则至少有 1年多于 10人的概率为 . （ 2）由已知数据得 ， ， 则 ，则回归直线的方程为：则第 年
19、的估计值为 考点：本题考查了古典概型的概率公式，线性回归方程的求解和线性回归分析 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 。设圆 的半径为 ，圆心在 上。 （ 1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程； （ 2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围。 答案：（ 1） 或 ；（ 2） 试题分析：（ 1）由题设点 ，又 也在直线 上，点 满足直线 的方程，从而求出圆的方程，可将切线方程可设为 ，则圆心到切线的距离等于圆的半径，即可求出切线的方程；（ 2）设点 ， ， ， ， 即，又点 在圆 上， ， 点为 与 的交点， 若存在这样的点 ，则 与 有交点， 即圆心之
20、间的距离 满足： ，从而求出 的取值范围 试题： (1)由题设点 ，又 也在直线 上， ，由题，过 A点切线方程可设为 ， 即 ，则 ，解得： ， 又当斜率不存在时，也与圆相切， 所求切线为 或 ， 即 或 （ 2）设点 ， ， ， ， ，即 ，又点 在圆 上， 点为 与 的交点， 若存在这样的点 ，则 与 有交点， 即圆心之间的距离 满足： ， 即 ， 解得： 考点：本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式，解题的关键是抓住直线与圆，圆与圆的位置关系 已知圆 ，直线 （ 1）判断直线 与圆 C的位置关系； （ 2）设 与圆 C交与不同两点 A、
21、B，求弦 AB的中点 M的轨迹方程； （ 3）若定点 P（ 1， 1）分弦 AB为 ，求此时直线 的方程 答案：（ 1）由题意可知，圆心 C到直线 的距离，所以直线与圆相交；（ 2） ；（ 3） 或 试题分析：（ 1）相交；（ 2）当 M与 P不重合时，设 ，则， ，从而得到 的轨迹方程，当 M与 P重合 时， 也满足上式，故弦AB中点的轨迹方程是 ；（ 3）若定点 P（ 1， 1）分弦 AB为 ，则 设 ，得到一个关于 的方程，联立直线和圆的方程，得到关于 的一个一元二次方程，根据两根之后得到另一个关于 的方程，两个方程联立解得 ，因为 是一元二次方程的一个根，代入即可求出 的值，从而求出直线的方程 试题： （ 1）圆 的圆心为 ，半径为 。 圆心 C到直线 的距离 直线 与圆 C相交； （ 2）当 M与 P不重合时，连结 CM、 CP，则 ， 设 ，则 ， 化简得： 当 M与 P重合时， 也满足上式。 故弦 AB中点的轨迹方程是 （ 3）设 ，由 得 ， ，化简的 又由 消去 得 （ *） 由 解得 ，带入（ *）式解得 ， 直线 的方程为 或 考点：本题考查了直线与圆的位置关系的判断，动点的轨迹方程的求法，向量的坐标运算，体现了方程的思想方法
