1、2013届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 i 是虚数单位，复数 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 考点：复数代数形式的乘除运算 点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意复数分母实数化，考查计算能力 设 是定义在 R上的周期函数，周期为 ，对 都有，且当 时， ，若在区间 内关于 x的方程 0 恰有 3个不同的实根，则 a的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B C D 答案： D 试题分析： 因为对于任意的 ,都有 ，所以 是偶函数，关于 轴对称，又周期 为 4，所以函数关于 也对称，又当 时， ，若在区间 内关于 x的方程 =0恰有
2、 3个不同的实根，则函数 与 在区间 上有三个不同的交点，如图所示： 又 ，则有 ，且 ，解得 . 考点：函数零点与方程根的关系 点评：将方程的根的问题转化成函数零点问题，是解决本题的关键，体现了转化和数形结合 的数学思想，属中档题 . 平面向量 与 的夹角为 ， ，则 （ ） A B C 7 D 3 答案： A 试题分析：令 ，则 ， ，所以. 所以 . 所以 ，所以 . 考点：向量的模 数量积表示两个向量的夹角 点评：本题的核心是要熟记基本公式，求出向量 的坐标，是前提，属基础题 . 为了得到函数 的图象，只需将函数 的图 象（ ） A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平
3、移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 答案： A 试题分析： = ，所以要得到 的图像，只需将 的图像向左平移 个长度单位 . 考点：函数 的图像变换 点评：本题易错点是应先把 化成 ，再来看在轴上平移 的单位长度 . 二项式 的展开式中的常数项是（ ） A -28 B -7 C 7 D 28 答案： C 试题分析： 二项式 的通项式为 ， 令 ，所以 .所以常数项为 . 考点：二项式定理 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 . 数列 的前 n项和为 ，则数列 的前 50项的和为（ ） A 49 B 50 C 99 D 100 答案：
4、 A 试题分析：因为数列 的前 n项和为 所以 ,当 时， ，故 ， 所以 ，所以 前 50项的和为 49. 考点：数列求和 点评：本题主要考查根据数列的前 项和求数列通项公式，利用了数列的前项的和与第 项的关系 时， ，属中档题 . 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x的值为 -25时，输出 x的值为（ ） A -1 B 1 C 3 D 9 答案： C 试题分析：当输入 时， ，执行循环， ； ，执行 循环， ， 退出循环，输出结果为 ，故选 C. 考点：循环结构 点评：本题考查循环结构的程序框图，弄清楚框图的算法功能是解题的关键，按照程序框图 顺序进行执行求解，属于基础题 . 已
5、知条件 ，条件 ，且 是 的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：对于 易求得 ，对于 ，得， 又 为 ， 为 ，因为 是 的必要不充分条件，所以. 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 点评：本题考查取值范围的求解，涉及不等式的解集问题，属基础题 . 填空题 若不等式 对任意 都成立，则实数 a取值范围是 。 答案： 试题分析：显然 时，有 . 令 ， 当 时，对任意 ， ， 在 上递减， ，此时 ， 的最小值为 0，不适合题意 . 当 时，对任意 ， ，所以 ，函数在 上单调递 减，在 递增，所以 的最小值为 ，解得所以实数 的范围是 .
6、考点：利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正 确求导是关键 . 如图所示，圆 O 是 ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB的延长线于点 D，CD ， AB BC 3，则 AC的长为 。 答案： 试题分析：因为 是过点圆 的切线 为圆的割线，由切割线定理 得 ; 由 解得 , 由弦切割定理 可得 又由 ,所以 , 由 得 . 考点：与圆有关的比例线段 点评：本题考查的知识点是切割线定理，弦切角定理，三角形相似的判定与性质，要求线段 的长，我们一般要先分析已知线段与未知线段的位置关系，再选择恰当的定理或性
7、质进行解 答 . 已知双曲线 的左右焦点为 ， P为双曲线右支上 的任意一点，若 的最小值为 8a，则双曲线的离心率的取值范围是 。 答案： 试题分析：双曲线 的左右焦点为 ， P为双曲线右支上的任 意一点 ,所以 ，即 . 所以 ， 当且仅当 ,即 时取等号，所以 ， 因为 ， ，所以 . 考点：双曲线的简单性质 点评：合理利用双曲线的定义，巧妙运用基本不等式是解决本题的关键 . 已知变量 x， y满足约束条件 ，则 的最大值为 。 答案： 试题分析： 画出可行域如图所示： 由 得 得 目标函数 可看做斜率为 的动直线，其纵截距越大 越大， 由图形可知当动直线过点 时， 最大 . 考点：线性
8、规划问题 点评：本题考查线性规划问题，数形结合的思想是解题的关键，属基础题 . 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： cm2）为 。 答案： 试题分析：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为 6的等腰直角三角形，顶点在底面的 投 影是斜边的中点，由地面是边长为的等腰直角三角形知其底面积是 ， 又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是 3，棱锥高为 4， 所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是 4，底面边长为 ，其余两个侧面的斜高 为 ，故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为另两个侧面三角形的面积都是 ，故此几何体的全面积是 . 考点：由三视图求面积 、体积 点评：三视图投影规则是：
9、 “主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等 ”三 视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视 某校高中生共有 2000人，其中高一年级 560人，高二年级 640人，高三年级 800 人，现采取分层抽样抽取容量为 100 的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。 答案： 试题分析：抽样比例为 ，所以高二年级应抽取的人数为人 . 考点：分层抽样 点评：本题考查分层抽样方法，涉及等可能事件的概率计算，是简单题；熟悉分层抽样方法 的定义即可 解答题 已知向量 ，函数 （ 1）求函数 的最小正周期 T及单调减区间 （ 2）已知 分别是 ABC内角 A， B， C的对边，其
10、中 A为锐角，且 ，求 A， b和 ABC的面积 S 答案：（ 1） 单调减区间为 （ 2） 试题分析：（ 1） 所以，最小正周期为 所以，单调减区间为 （ 2） ， ， 由 得 ，解得 故 考点：平面向量数量积的运算 余弦定理的应用 三角函数周期单调性求法 点评：本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等 知识，考查化归转化的数学思想和运算求解能力 张师傅驾车从公司开往火车站，途径 4个公交站，这四个公交站将公司到火车站 分成 5 个路段，每个路段的驾车时间都是 3 分钟，如果遇到红灯要停留 1 分钟，假设他在各 交通岗是否遇到红 灯是相互独立的，并且概率都是
11、 （ 1）求张师傅此行时间不少于 16分钟的概率 （ 2）记张师傅此行所需时间为 Y分钟，求 Y的分布列和均值 答案：（ 1） （ 2） Y 15 16 17 18 19 P 试题分析：（ 1） （ 2）记张师傅此行遇到红灯的次数为 X，则， ，依题意， ，则 Y的分布列为 Y 15 16 17 18 19 P Y的均值为 考点：离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与均值，确定变量的取值是 关键 . 如图，已知四棱锥 E-ABCD的底面为菱形，且 ABC 60， AB EC 2，AE BE （ 1）求证：平面 EAB
12、平面 ABCD （ 2）求二面角 A-EC-D的余弦值 答案：（ 1）先证 EO 平面 ABCD即可得证 （ 2） 试题分析：（ 1）证明：取 AB的中点 O，连接 EO， CO AEB为等腰直角三角形 EO AB， EO 1 又 AB BC， ABC 60， ABC是等边三角形， ，又 EO 平面 ABCD，又 EO 平面 EAB， 平面 EAB 平面 ABCD （ 2）以 AB的中点 O为坐标原点， OB所在直线为 y轴， OE所在直线为 z轴，如图建系则 ， ， （ 0， 2， 0） 设平面 DCE的法向量为 ，则 ，即 ，解得： 同理求得平面 EAC的一个法向量为 ，所以二面角 A-E
13、C-D的余弦值为 考点：用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直判定 二面角的平面角及求法 点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、 面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题 . 已知数列 满足 ， （ 1）证明：数列 是等比数列，并求出 的通项公式 （ 2）设数列 的前 n项和为 ，且对任意 ，有成 立，求 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 可得 ， 是以 2为首项， 3为公比的等比数列 （ 2） 时， 时， 设 则 综上， 考点：等比数列 求和公式综合运用 点评：本题主要考查了数列的通项公式和数列的求和，
14、考查了学生的计算能力和对数列的综 合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题 设点 P是曲线 C： 上的动点，点 P到点（ 0， 1）的距离和它到 焦点 F的距离之和的最小值为 （ 1）求曲线 C的方程 （ 2）若点 P的横坐标为 1，过 P作斜率为 的直线交 C与另一点 Q，交x轴于点 M， 过点 Q且与 PQ垂直的直线与 C交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线MN与曲线 C 相切？若存在，求出 k的值，若不存在，说明理由。 答案：（ 1） （ 2） k 使命题成立 试题分析：（ 1）依题意知 ，解得 ，所以曲线 C的方程为 （ 2）由题意设直线 PQ的方程为： ， 则点
15、 由 ， ，得 ， 所以直线 QN的方程为 由 ， 得 所以直线 MN的斜率为 过点 N的切线的斜率为 所以 ，解得 故存在实数 k 使命题成立。 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 抛物线的标准方程 点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率 是关键 . 已知函数 的最小值为 0，其中 。 （ 1）求 a的值 （ 2）若对任意的 ，有 成立，求实数 k的最小值 （ 3）证明 答案：（ 1） （ 2） （ 3）利用放缩法来证明 试题分析：（ 1） 的定义域为 ，由 ，得 ， 当 x变化时， 的变化情况如下表： x - 0 极小值 因此， 在 处取得最小值，故由题意 ，所以。 （ ）解：当 时，取 ，有 ，故 不合题意。 当 时，令 ，即 。 ，令 ，得 -1。 （ 1） 当 时， 在 上恒成立，因此 在上单 调 （ 2） 递减，从而对于任意的 ，总有 ，即在 上恒成立。故 符合题意。 （ 2）当 时， ，对于 ， ，故在 内单调递增，因此当取 时， ，即 不成立。 故 不合题意， 综上， k的最小值为 。 （ ）证明：当 n 1时，不等式左边 右边，所以不等式成立。 当 时， 相关试题 2013届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试卷（带）
