1、2013届山东临沂高三 5月高考模拟理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ i是虚数单位）的实部是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：化简 ，所以其实部是 . 考点： 1.复数的四则运算； 2.复数的概念 . 已知定义在 R上的函数 对任意的 都满足 ，当时， ，若函数 至少 6个零点，则 取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得 ，因此 ，函数周期为 2.因函数 至少 6个零点，可转化成 与两函数图象交点至少有 6 个，需对底数 进行分类讨论 .当 时：得 ，即 .当 时：得 ，即 .所以 取值范围是 . 考点： 1.函数与方程； 2.函数周期性； 3
2、.方程根与函数零点 . 若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是（ ） A 4 B C 2 D 答案： D 试题分析：函数 的导数为 ，所以在 处的切线斜率为，又 ，即切点为 ，所以切线方程为 ，即 .圆心到直线 的距离，即 ，设 ，则，所以 的最大值是 . 考点： 1.导数的几何意义； 2.直线与圆的关系； 3.基本不等式求最值 . 若集合 则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： ， ，由知需满足 ，解得 ，所以 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 . 考点： 1.一元二次不等式； 2.绝对值不等
3、式； 3.充要条件 . 双曲线 与抛物线 相交于 A,B两点，公共弦 AB恰好过它们的公共焦点 F，则双曲线 C的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：抛物线的焦点为 ，且 ，所以 .根据对称性可知公共弦 轴，且 AB的方程为 ，当 时， ，所以 .所以抛物线的左焦点 ，即 ，由双曲线的定义知 ，即 ，即 . 考点： 1.抛物线的定义； 2，双曲线的定义； 3.离心率 . 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ） A函数 的图象关于点（ ）对称 B函数 的图象关于直线 对称 C函数 的图象向右平移 个单位后，图象关于原点对称 D函数 在区间 内单调递增 答案： C 试题分析： ，所
4、以 ，当 时，因此选项 A、 B均错误； 的图象向右平移 个单位后得到 ，所以 是奇函数，其图象关于原点对称，故选项 C正确；由 得的递增区间为 ，因此选项 D不正确 . 考点：综合考查函数的周期性、对称性、单调性、奇偶性等性质 . 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为 2，高为 5的圆柱的一半 .长方体的长为 5，宽为 4,高为 4，所以长方体的表面积为（去掉一个上底面） ,半圆柱的两个底面积为 ，半圆柱的侧面积为 ，所以整个几何体的表面积为. 考点： 1.三
5、视图； 2.几何体的表面积 . 函数 的大致图象为（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： D 试题分析：因函数为非奇非偶函数，排除选项 A、 C；原函数求导得， 由 得 ，即 或 .当时， ，说明原函数递增，当 时， ，原函数递减，所以 是函数的极大值点 .因此选 D. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.利用导数判函数单调性； 3.函数极值 . 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 答案： C 试题分析：第一步： ，第二步： ， 第三步： ，第四步： ，此时，走 “否 ”输出： . 考点： 1.赋值语句； 2.循环结构 . 平面向量
6、与 的夹角为 60， 则 （ ） A B C 4 D 12 答案： B 试题分析： , ,所以 ， 因此 . 考点： 1.向量的模长； 2.向量的数量积 . 某商品的销售量 （件）与销售价格 （元 /件）存在线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为则下列结论正确的是（ ） A 与 具有正的线性相关关系 B若 表示变量 与 之间的线性相关系数，则 C当销售价格为 10元时，销售量为 100件 D当销售价格为 10元时，销售量为 100件左右 答案： D 试题分析： 与 具有负的线性相关关系，所以 A项错误；当销售价格为 10元时，销售量在 100件左右，因此 C错误 D正确
7、 .B项中 -10是回归直线方程的斜率 . 考点： 1.最小二乘法； 2.线性相关性 . 集合 若 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，得 ，因此 ，即，所以 . 考点： 1.集合的运算； 2.元素与集合的关系； 3.对数运算 . 填空题 在区间 上任取两数 m和 n，则关于 x的方程 有两不相等实根的概率为 . 答案： 试题分析：题意知 ，由方程 有两不相等实根知 ，即 ,作出图形（如下图）：， 因此所求概率为 . 考点： 1.几何概型； 2.线性规划 . 已知奇函数 则 的值为 . 答案： 试题分析：因为函数 为奇函数，所以 ，即 ， 所以 . 考点： 1.
8、分段函数； 2.函数的奇偶性 . 某地政府调查了工薪阶层 1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的 1000人中抽出 100人作电话询访，则 （百元）月工资收入段应抽出 人 . 答案： 试题分析： （百元）月工资收入段的频率为，在 （百元）月工资收入段应抽出 人 . 考点： 1.频率分布直方图； 2.抽样方法 . 若 ，则 . 答案： 试题分析：由 得 ，所以. 考点： 1.三角诱导公式； 2.二倍角公式； 3.“1”的代换 . 解答题 在 ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，. （ ）求 和 ； （
9、）若 ，求 的面积 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）用正弦定理及两角和与差的公式将展开，再合并，寻找角 之间的关系；（ ）先由正弦定理求出边长 ，再利用 求解 . 试题：（ ）由 用正弦定理得 （ 1分） （ 2分） 即 （ 3分） （ 4分） . （ 5分） 又 ， ， 解得 （ 6分） （ ）由（ ） ，由正弦定理， 得 （ 8分） ABC的面积 （ 9分） （ 12分） 考点： 1.正弦定理； 2.三角形面积公式； 3.两角和与差公式 . 某校 50名学生参加智力答题活动，每人回答 3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5
10、10 20 15 根据上表信息解答以下问题： （ ）从 50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为 4或 5的概率； （ ）从 50名学生中任选两人，用 X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列及数学期望 EX. 答案：（ ） （ ） X 0 1 2 3 P 试题分析：（ ）先利用排列组合知识求出答对题目个数之和为 4 或 5 的人数，再利用古典概型知识求解；（ ）先写出 X的可能取值，再求相应的概率，写成分布列，最后利用公式求期望值 . 试题：（ ）记 “两人答对题目个数之和为 4或 5”为事件 A，则 （ 3分） ， （ 5分） 即两人答对题目个数之和为 4或
11、5的概率为 （ 6分） （ ）依题意可知 X的可能取值分别为 0， 1， 2， 3. 则 （ 7分） （ 8分） （ 9分） （ 10分） 从而 X的分布列为： X 0 1 2 3 （ 11分） P X的数学期望 （ 12分） 考点： 1.离散型随机变量的分布列及期望； 2.古典概型； 3.排列组合 . 已知数列 满足 （ 为常数）， 成等差数列 . （ ）求 p的值及数列 的通项公式； （ ）设数列 满足 ，证明： . 答案：（ ） , ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）利用 成等差数列 .可求 p的值，再用累加法求数列的通项公式；（ ）通过作差判断数列的单调性或利用数学归纳法进行证明 .
12、试题：（ ）由 得 成等差数列， 即 得 （ 2分） 依题意知， 当 时， 相加得 （ 4分） 又 适合上式， （ 5分） 故 （ 6分） （ ）证明： （ 8分） 若 则 即当 时，有 （ 10分） 又因为 （ 11分） 故 （ 12分） （ ）法二：要证 只要证 （ 7分） 下面用数学归纳法证明： 当 时，左边 =12，右边 =9，不等式成立； 当 时，左边 =36，右边 =36，不等式成立 . （ 8分） 假设当 时， 成立 . （ 9分） 则当 时，左边 =43k+1=343k39k2， 要证 39k29（ k+1） 2， 只要正 3k2（ k+1） 2， 即证 2k2-2k-10.
13、（ 10分） 而当 k 即 且 时，上述不等式成立 . （ 11分） 由 可知，对任意 ，所证不等式成立 . （ 12分） 考点： 1.等差中项； 2.累加法求和； 3.数列单调性； 4.数学归纳法 . 如图，已知矩形 中， 为 的中点，沿 将三角形 折起，使 . （ ）求证：平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）取 中点 H，先证明 垂直于平面 ,进而证明平面；（ ）建立直角坐标系，构造向量 ,平面 的法向量 ，利用公式求解 . 试题：（ ） 在矩形 中， 为 的中点， 为等腰直角三角形， ,即 . （ 1分） 取 中点 H，连结
14、，则 ， 在 中， , 在 中， 又 ， （ 2分） 又 （ 3分） 面 ， （ 4分） 而 平面 ， （ 5分） 平面 平面 . （ 6分） （ ）解：分别以直线 为 x轴和 y轴， O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， . （ 7分） 设平面 的一个法向量为 由 得 即 令 则 ， 取 （ 9分） 设 为直线 与平面 所成的角， 则 （ 11分） 即直线 与平面 所成角的正弦值为 （ 12分） 考点： 1.面面垂直的判定； 2.线面角的求解 ;3利用空间直角坐标系求线面角 . 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率，且椭圆 C上一点 到点 Q 的距离最大值为
15、4，过点 的直线交椭圆 于点 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）设 P为椭圆上一点，且满足 （ O为坐标原点），当时，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） 或 试题分析：（ ）利用 转化为二次函数求最值，求得相应值；（ ）先由点 P在椭圆上建立实数 与直线 的斜率 之间的关系，再由 求得 的范围，进而求得实数 的取值范围 . 试题：（ ） （ 1分） 则椭圆方程为 即 设 则 （ 2分） 当 时， 有最大值为 （ 3分） 解得 ，椭圆方程是 （ 4分） （ ）设 方程为 由 整理得 . （ 5分） 由 ，得 . （ 6分） 则 , （ 7分） 由点 P在椭圆上，得 化简得 （ 8分） 又由 即 将 ， 代入得 （ 9分） 化简，得 则 , （ 10分） 由 ，得 联立 ，解得 或 （ 12分） 考点： 1.椭圆的方程； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.弦长公式 . 已知函数 . （ ）求函数 的极大值 . （ ）求证：存在 ，使 ； （ ）对于函数 与 定义域内的任意实数 x，若存在常数 k,b,使得和 都成立，则称直线 为函数 与 的分界线 .试探究函数 与 是否存在 “分界线 ”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） ；（ ）详见；（ ） .
