1、2013届广东省深圳市高三第一次调研考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 化简 sin 2013o的结果是 A sin 33o B cos33o C -sin 33o D -cos33o 答案： C 试题分析： sin 2013o= 。 考点：诱导公式。 点评：直接考查诱导公式，我们要熟记公式。属于基础题型。 函数 y=f（ x）， x D，若存在常数 C，对任意的 xl D，仔在唯一的 x2 D，使得 ，则称函数 f（ x）在 D 上的几何平均数为 C已知 f（ x）=x3， x 1， 2，则函数 f（ x） =x3在 1， 2上的几何平均数为 A B 2 C 4 D 2 答案： D 试
2、题分析：根据定义；若存在常数 C，对任意的 xl D，仔在唯一的 x2 D，使得 ，则称函数 f（ x）在 D上的几何平均数为 C 令 ， 可得 ，所以函数 f（ x） =x3在 1， 2上的几何平均数为 。 考点：函数的综合应用。 点评：这种题型可称为创新题型或叫做新定义题型做此类题的关键是要读懂题意充分利用新定义来答题充分考查了学生的理解能力。 函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos x（ -2x4）的图像所有交点的横坐标之和等于 A 8 B 6 C 4 D 2 答案： B 试题分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos
3、 x（ -2x4）的图像，易知函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos x（ -2x4）的图像都关于直线 x=1对称，且在直线 x=1的左右两侧各有 3个交点，3个交点都分别关于直线 x=1对称，所以所有交点的横坐标之和等于 6. 考点：对数函数的图像；三角函数的图像；图像的变换；函数的性质；中点坐标公式。 点评：此题主要考查数形结合的数学思想。做此题的关键是正确、快速的画出函数 y = 1n|x-1|与函数 y=-2 cos x（ -2x4）的图像。属于中档题。 我们把各位数字之和为 6的四位数称为 “六合数 ”（如 2013是 “六合数 ”），则 “六合数 ”中首位为 2
4、的 “六合数 ”共有 A 18个 B 15个 C 12个 D 9个 答案： B 试题分析：四位数之和为 6 的共有 4 种情况：（ 0、 0、 2、 4） ,（ 0、 1、 2、 3），（ 1、 1、 2、 2），（ 0、 2、 2、 2）。数字为 0、 0、 2、 4 且首位为 2 的六合数有：2004,2040,2400，共 3个；同理：数字为 0、 1、 2、 3且首位为 2的六合数有六个；数字为 1、 1、 2、 2且首位为 2的六合数有 3个；数字为 0、 2、 2、 2且首位为 2的六合数有 3个。所以共有 15个。 考点：排列、组合。 点评：本题排列、组合的混合问题，我们采取先分
5、组，在排列的方法。此类题为易错题，我们一定要仔细分析。属于中档题。 等差数列 an中， a1， a2， a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1， a2， a3中的任何两个数不在下表的同一列。 第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 5 第二行 8 6 14 第三行 11 9 13 则 a4的值为 A 18 B 15 C 12 D 20 答案： A 试题分析：易知： 。 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式。 点评：本题主要考查等差数列的通项公式和学生分析问题的能力。分析出的值是做题的关键。 双曲线 的实轴长是虚轴长的 2倍，则 rn= A B C 2 D 4 答案： D 试题分析
6、：把双曲线 化为标准形式 ，所以 ，因为实轴长是虚轴长的 2倍，所以 。 考点：双曲线的标准方程。 点评：熟练判断双曲线方程中的 的值，一般情况下，谁正谁就是 ，谁正焦点就在谁轴上。 图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是 A 32 、 B 16 、 C 12 、 D 8 、 答案： C 试题分析：由三视图知：该几何体是一个半球，球的半径为 2.所以该几何体的体积为 ， 表面积为 。 考点：三视图；球的体积公式；球的表面积公式。 点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，并发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系。 已
7、知 i是虚数单位，则复数 i13（ 1+i） = A l+i B l-i C -l+I D -l-i 答案： C 试题分析： i13（ 1+i） = 。 考点：复数的运算。 点评：直接考查复数的运算，属于基础题型。复数在考试中一般的出一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式：以及 的值。 填空题 如图 3，在 O 中，直径 AB与弦 CD垂直，垂足为 E， EF BC，垂足为 F，若 AB=6， CF CB=5，则 AE= 。 答案： 试题分析：因为 。 考点：垂径定理；相似三角形的判断与性质。 点评：解答此题
8、时，通过作辅助线 AC，利用圆周角定理来构造直角三角形、相似三角形来求。 在直角坐标系 xOy中，以原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的参数方程为 （ t为参数），曲线 C2的极坐标方程为 sin- cos =3，则 Cl与 C2交点在直角坐标系中的坐标为 。 答案： 试题分析：由 得， ，由 sin - cos =3得： ，联立，所以 Cl与 C2交点在直角坐标系中的坐标为。 考点：参数方程与直角坐标方程的互化；极坐标方程和直角坐标方程的互化。 点评：做此题很多同学易得到两个解，而忽略舍去一个，这是很多同学易错的地方。属于基础题型。 设集合 A=（ x， y） |（
9、 x一 4） 2+y2=1， B=（ x， y） |（ x-t） 2+（ y-at+ 2）2=l，如果命题 “ R， ”是真命题，则实数 a的取值范围是 。 答案： 试题分析：两圆心间的距离为 ，要使命题 “ R， ”是真命题， 需满足 ， 所以 。 考点：特称命题真假的判断；圆与圆额位置关系。 点评：准确理解题意是解题的关键，题意的实质是两圆有交点。属于基础题型。 若执行图中的框图，输入 N=13，则输出的 数等于 。（注： “S=0”，即为“S0” 或为 “S 0”） 答案： 试题分析：易知该程序框图的功能是计算 。 考点：程序框图。 点评：程序框图在考试中一般情况下是以一道小题的形式出现
10、，常考的循环结构的程序框图。属于较容易题目。一般的时候，如果循环次数较少，我们可以一一写出，若循环次数较多，我们需要寻找规律。 已知 = （ x， y） |x+ y6， x0， y0， A=（ x， y） |x4， y0， x-y20，若向区域 上随机投一点 P，则点 P落入区域 A的概率是 答案： 试题分析：集合 = （ x， y） |x+ y6， x0， y0表示区域的面积，集合 A=（ x， y） |x4， y0， x-y20表示区域的面积为，所以其概率为 . 考点：几何概型；简单的线性规划问题；定积分。 点评：在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何 “度量 ”可以是长度、面积、体积
11、、角度等。其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任何都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。 容量为 60的样本的频率分布直方图共有 n（ n1） 个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余 n-1个小矩形面积和的 ，则这个小矩形对应的频数是_ 答案： 试题分析：设这组数据的频率为 x，则 ，所以这个小矩形对应的频数是 。 考点：频率分布直方图；频率公式。 点评：在频率分布直方图中，小长方形的面积就是这组数据的频率。属于基础题型。 若 则 a3= 。 答案： 试题分析： 。所以 a3=80. 考点：二项式
12、定理。 点评：注意二项式定理中项的系数和二项式系数的区别。属于基础题型。 解答题 已知函数 f（ x） =2 sin （ 0x5），点 A、 B 分别是函数 y=f（ x）图像上的最高点和最低点 （ 1）求点 A、 B的坐标以及 的值； （ 2）没点 A、 B分别在角 、 的终边上，求 tan（ ）的值 答案：（ 1） 、 ， （ 2） 。 试题分析：（ 1） ， ， 1分 2分 当 ，即 时， ， 取得最大值 ； 当 ，即 时， ， 取得最小值 因此，点 、 的坐标分别是 、 4分 6分 （ 2） 点 、 分别在角 、 的终边上， ， ， 8分 ， 10分 12分 考点：三角函数 的图象与性
13、质；三角函数的定义；平面向量的数量积；和差公式。 点评：本题主要考查了三角函数 的图象与性质，三角函数的定义以及平面向量的数量积等基础知识，考查了学生简单的数学运算能力我们做三角函数的大题的要求是得满分，因此，三角函数的有关问题虽说简单，但我们在平常也要练习到位。 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生 A1 A2 A3 A4 A5 数学（ x分 89 91 93 95 97 物理（ y分） 87 89 89 92 93 （ 1）请在图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程； （ 2）要从 4名数学成绩在 90分以上的同学中选 2人参加一项活动，以 X表示
14、选中的同学的物理成绩高于 90分的人数，求随机变量 X的分布列及数学期望 E（ X）的值 答案：（ 1） ； （ 2） 的分布列为： = + + = 试题分析：（ 1）散点图如右图所示 1分 = = ， = = ， ， ， ， 5分 故这些数据的回归方程是： 6分 （ 2）随机变量 的可能取值为 ， ， 7分 ； ； 10分 故 的分布列为： 11分 = + + = 12分 考点：散点图；回归分析；离散型随机变量的分布列和数学期望。 点评：本题主要考查读图表以及运用概率统计知识解决简单实际问题的能力和数据处理能力。分布列的求解应注意以下几点：（ 1）弄清随机变量每个取值对应的随机事件；（ 2）
15、计算必须准确无误；（ 3）注意用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。 如图， O 的直径 AB=4，点 C、 D为 O 上两点，且 CA B=45o， DAB=60o， F为 的中点沿直径 AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图） （ 1）求证： OF/平面 ACD； （ 2）求二面角 C- AD-B的余弦值； （ 3）在 上是否存在点 G，使得 FG 平面 ACD 若存在，试指出点 G的位置，并求直线 AG与平面 ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）只需证 ；（ 2） ；（ 3） 。 试题分析：（法一）：证明：（ 1）如右图，连接 ， ， ， 又 为 的中点，
16、 ， 平面 ， 平面 ， 平面 3分 解：（ 2）过 作 于 ，连 ，平面 平面 平面 又 平面 ， ， 平面 ， ， 则 是二面角 的平面角 5分 ， ， 由 平面 ， 平面 ，得 为直角三角形， ， = = 8分 （ 3）设在 上存在点 ，使得 /平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， ， 因此，在 上存在点 ，使得 /平面 ，且点 为 的中点 10分 连 ，设 与平面 所成角为 相关试题 2013届广东省深圳市高三第一次调研考试理科数学试卷（带） 已知数列 an满足： a1=1， a2=（ a0）， an+2=p （其中 P为非零常数，n N *） （ 1）判断数列 是不是等比数列？ （ 2
17、）求 an； （ 3）当 a=1时，令 bn= ， Sn为数列 bn的前 n项和，求 Sn。 答案： (1) 数列 是等比数列（ 2） 。（ 3）。 试题分析 ：（ 1）由 ，得 1分 令 ，则 ， ， ， （非零常数）， 数列 是等比数列 3分 （ 2） 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 4分 当 时， ， 6分 满足上式， 7分 （ 3） ， 当 时， 8分 ， 当 ，即 时， 得： ， 即 11分 而当 时， ， 12分 当 时， 13分 综上所述， 14分 考点：等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和公式；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法；累乘法；错位相减法；
18、点评：（ 1）本题主要考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想（ 2）利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下，分为等于 1和不等于 1两种情况分别求和。 已知两点 F1（ -1， 0）及 F2（ 1， 0），点 P在以 F1、 F2为焦点的椭圆 C上，且 |PF1|、 |F1F2|、 |PF2|构成等差数列 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）如图，动直线 l： y=kx+m与椭圆 C有且仅有一个公共点 ，点 M， N 是直线 l上的两点，且
19、F1M l， F2N l求四边形 F1MNF2面积 S的最大值 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）依题意，设椭圆 的方程为 构成等差数列， ， 又 ， 椭圆 的方程为 4分 (2) 将直线 的方程 代入椭圆 的方程 中，得 5分 由直线 与椭圆 仅有一个公共点知， ， 化简得： 7分 设 ， ， 9分 （法一）当 时，设直线 的倾斜角为 ， 则 ， ， ， 11分 ， 当 时， ， ， 当 时，四边形 是矩形， 13分 所以四边形 面积 的最大值为 14分 （法二） ， 四边形 的面积 ， 11分 13分 当且仅当 时， ，故 所以四边形 的面积 的最大值为 14分 考点：椭圆
20、的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的定义；直线与椭圆的综合应用；基本不等式。 点评：（ 1）本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想（ 2）做此题的关键是表示出四边形的面 已知 f（ x） =x- （ a0）， g（ x） =2lnx+bx且直线 y=2x-2与曲线 y=g（ x）相切 （ 1）若对 1， + ）内的一切实数 x，小等式 f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a的取值范围； （ 2）当 a=l时，求最大的正整数 k，使得对 e， 3（ e=2 71828
21、是自然对数的底数）内的任意 k个实数 x1， x2， xk都有成立； （ 3）求证： 答案：（ 1） ；（ 2） 的最大值为 （ 3）当 时，根据（ 1）的推导有， 时， ，即令 ，得 ，化简得， 。 试题分析：（ 1）设点 为直线 与曲线 的切点，则有 （ *） ， （ *） 由（ *）、（ *）两式，解得 ， 2分 由 整理，得 ， ， 要使不等式 恒成立，必须 恒成立 设 ， ， ， 当 时， ，则 是增函数， ， 是增函数， ， 5分 因此，实数 的取值范围是 6分 （ 2）当 时， ， ， 在 上是增函数， 在 上的最大值为 要对 内的任意 个实数 都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当 时不等式左边取得最大值， 时不等式右边取得最小值 ，解得 因此， 的最大值为 10分 （ 3）证明（法一）：当 时，根据（ 1）的推导有， 时， 即 11分 令 ，得 ， 化简得 ， 13分 14分 （法二）数学归纳法：当 时，左边 = ，右边 = ， 根据（ 1）的推导有， 时， ，即 令 ，得 ，即 因此， 时不等式成立 11分 （另解： ， ， ，即 ） 假设当 时不等式成立，即 相关试题 2013届广东省深圳市高三第一次调研考试理科数学试卷（带）
