1、2013届甘肃省甘谷四中度高二下学期第二次检测考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 等于 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为， ， 所以， = ，选 A。 考点：集合的运算，简单不等式解法。 点评：小综合题，集合的运算，关键是明确集合中的元素是什么。 已知直线 的图象恰好有 3个不同的公共点，则实数 m的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：画出函数 的图象（如图） 由图可知，当直线 y=mx（ m R）与函数 的图象相切，即时，直线 y=mx与函数图象有两个交点，结合图象得：的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是 ，故答案：为
2、,选 C。 考点：分段函数的概念，一次函数、二次函数、指数函数的图象。 点评：中档题，思路比较清晰，只有是通过画出函数的图象，观察交点情况，确定参数的范围。本题可改造成研究一个交点、两个交点等。 从甲乙两个城市分别随机抽取 16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示 (如图所示 )设甲乙两组数据的平均数分别为 甲 ， 乙 ，中位数分别为 m甲 ， m乙 ，则 ( ) A 甲 乙 ， m甲 m乙 B 甲 乙 ， m甲 m乙 C 甲 乙 ， m甲 m乙 D 甲 乙 ， m甲 m乙 答案： B 试题分析：甲的平均数， 乙的平均数 ，所以 甲 乙 ， 甲的中位数为 20，乙的中位数为
3、29，所以 m甲 m乙 故选 B 考点：茎叶图，平均数、中位数的概念。 点评：简单题，难度不大，关键是理解茎叶图的意义，掌握平均数的计算方法。 等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设等轴双曲线 C的方程为 x2-y2=（ 1） 抛物线 y2=16x， 2p=16， p=8， =4，抛物线的准线方程为 x=-4 设等轴双曲线与抛物线的准线 x=-4的两个交点 A（ -4， y）， B（ -4， -y）（ y0）， 则 |AB|=|y-（ -y） |=2y=4 ， y=2 将 x=-4， y=2 代入
4、（ 1），得 =4， 等轴双曲线 C的方程为 x2-y2=4，即双曲线 C的实轴长为 4选 C。 考点：抛物线，双曲线的几何性质 点评：中档题，本题综合考查双曲线、抛物线的几何性质，解题过程中，充分利用曲线的对称性，简化了解答过程。 设某大学的女生体重 y(单位： kg)与身高 x(单位： cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据 (xi， yi)(i 1,2， ， n)，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 ( ) A y与 x具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心 ( ， ) C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg
5、 D若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 答案： D 试题分析：因为， x的系数为正数，所以， A y与 x具有正的线性相关关 系，正确； 由回归直线的性质， B回归直线过样本点的中心 ( ， )， C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg，正确；只有 D若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg，不正确，故选 D。 考点：变量的相关性，回归直线的性质，回归直线方程的应用。 点评：简单题，综合考查变量的相关性，回归直线的性质，回归直线方程的应用，难度不大，突出对基础知识的考查。 如图，网格纸上小正方形的
6、边长为 ，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：该几何体为三棱锥，底面等腰三角形底边长为 6，高为 3；一条侧棱垂直于底面，几何体的高 3，所以，几何体的体积为 =9，故选 B。 考点：三视图，几何体的体积。 点评：简单题，三视图问题已成为高考必考知识内容，一般难度不大。关键是明确三视图画法规则，掌握常见几何体的几何特征。三视图中的虚线是被遮住的棱。 已知向量 ，则 等于 ( ) A B 3 C D 答案： A 试题分析：因为，向量 ，所以， ，故选 A。 考点：平面向量平行的条件，和差的三角函数公式。 点评：小综合题，两向量平行，对应
7、坐标成比例（坐标不为 0） . 已知 为等差数列 的前 项的和， ， ，则 的值为 ( ) A 6 B C D 答案： D 试题分析：因为， 为等差数列 的前 项的和， ， ， 所以， ， ，解得， ，故选 D。 考点：等差数列的通项公式、求和公式。 点评：简单题，往往利用已知条件，建立方程组，以进一步确定数列的通项公式。 有 3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 33=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同
8、一个兴趣小组有 3种结果，根据古典概型概率公式得到 P= ，故选 A 考点：古典概型概率的计算。 点评：简单题，利用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，是常见方法之一。有时可以利用 “坐标法 ”。 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32人中，编号落入区 间 1,450的人做问卷 A，编号落入区间 451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B的人数为 ( ) A 7 B 9 C 10 D 15 答案： C 试题分析： 96032
9、=30，故由题意可得抽到的号码构成以 9为首项、以 30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为 an=9+（ n-1） 30=30n-21 由 45130n-21750 解得 15.7n25.7 再由 n为正整数可得 16n25，且 n z，故做问卷 B的人数为 10， 故选 C 考点：系统抽样，等差数列 的通项公式，简单不等式解法。 点评：小综合题，本题综合考查系统抽样，等差数列的通项公式，简单不等式解法，有一定难度，是一道不错的题目。 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：是偶函数的有 B. C. D. ，结合二次函数、指数函数的图
10、象可知，在 单调递增的函数是 ，故选 B。 考点：常见函数的奇偶性、单调性。 点评：简单题，掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质。 复数 的共轭复数是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为， ，所以，复数 的共轭复数是 ，选 C。 考点：复数的概念及代数运算。 点评：简单题，复数 a+bi（ a， b为实数）的共轭复数为 a-bi. 填空题 设 ，若 ，则 a . 答案： 试题分析：因为， ，所以， ，由 得， a=3. 考点：分段函数的概念，定积分计算，对数函数的性质。 点评：中档题，解答思路比较明确，注意先化简函数，在建立 a的方程。 若直线的极坐标方程为 ,曲线 : 上的
11、点到直线的距离为 ,则 的最大值为 _. 答案： +1 试题分析： ， 的直角坐标方程分别为，所以，圆上的点到直线的距离最大值为半径、与圆心到直线距离之和，即 1+ 。 考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线方程。 点评：中档题，首先完成圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，从而 “化生为熟 ”。确定圆上的点到直线的距离最大值，注意结合图形分析，得出结论。 已知随机变量 服从正态分布 ， 答案： .16 试题分析： 随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， =2，得对称轴是 x=2 P（ 4） =0.84， P（ 4） =P（ 0） =0.16。 考点：正态分布。 点评：简单题，注意利
12、用正态曲 线的对称性及概率分布的性质。 已知二项式 的展开式中所有项的系数之和等于 64，那么这个展开式中含 x2项的系数是 _. 答案： 试题分析：因为，二项式 的展开式中所有项的系数之和等于 64， 所以，令 x=1得， ，解得， n=6； 二项展开式的通项为 ，令 r=2，得这个展开式中含 x2项的系数是. 考点：二项式定理的应用，二项展开式的通项公式。 点评：简单题，首先利用展开式中所有项的系数之和确定 n的值，再利用二项展开式的通项公式求指定项。 解答题 已知 分别为 三个内角 的对边，( )求 ； ( )若 ， 的面积为 ；求 。 答案：（ 1） 60；（ 2） 试题分析：（ 1）
13、由正弦定理得： （ 2） 解得： 考点：正弦定理、余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的面积。 点评：中档题，涉及三角形中的问题，往往需要边角转化，并运用和差倍半的三角函数进行化简。在边角转化的过程中，灵活选用正弦定理或余弦定理，需要认真审题，预测变形结果，以达到事半功倍的目的。 2012年元旦、春节前夕，各个物流公司都出现了爆仓现象，直接原因就是网上疯狂的购物某商家针对人们在网上购物的态度在某城市进行了一次调 查，共调查了 124人，其中女性 70人，男性 54人女性中有 43人对网上购物持赞成态度，另外 27人持反对态度；男性中有 21人赞成网上购物，另外 33人持反对态度 ( )
14、 估计该地区对网上购物持赞成态度的比例； ( ) 有多大的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关； 附：表 1 K2 答案： (1)该地区对网上购物持赞成态度的估计值为 . (2)有 95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关 试题分析： (1)接受调查的 124人中，有 64人对网上购物持赞成态度，所以该地区对网上购物持赞成态度的估计值为 . (2)22列联表： 表 2 K2 6.201，因为 6.2013.841， 所以有 95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关 考点：独立性检验的应用。 点评：简单题，独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出
15、这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过 k2的观测值与临界值的比较解决的，方法简明，关键是准确计算。 如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， DAB=60,AB=2AD,PD 底面 ABCD. ( ) 证明： PA BD； ( ) 若 PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值。 答案：（ ）由余弦定理得 ，证得 BD2+AD2= AB2，故 BDAD;可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （ ） 试题分析：（ ）因为 , 由余弦定理得 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD;又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD
16、 平面 PAD. 故 PA BD （ ）如图，以 D为坐标原点， AD的长为单位长，射线 DA为 轴的正半轴建立 空间直角坐标系 D- ，则 , , , 。 设平面 PAB的法向量为 n=（ x,y,z），则 , 即 因此可取 n= 设平面 PBC的法向量为 m，则 可取 m=（ 0， -1， ） 故二面角 A-PB-C的余弦值为 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐
17、的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。 某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从 3种服装商品、 2种家电商品、 4种日用商品中，选出 3种商品进行促销活动 . （ ）试求选出的 3种商品中至少有一种日用商品的概率； （ ）商场对选出的 A商 品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高 90元，同时允许顾客有 3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金 .假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？ 答案：（ ） P=1
18、- . （ ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有 1.5x90,所以 x60，故商场应将中奖奖金数额最高定为 60元，才能使促销方案对自己有利 . 试题分析：（ ）从 3种服装商品、 2种家电商品、 4种日用商 品中，选出 3种商品，一共可以有 种不同的选法 . 选出的 3种商品中，没有日用商品的选法有 种，所以选出的 3种商品中至少有一种日用商品的概率为 P=1- =1-. （ ）假设商场将中奖奖金数额定为 x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ,其所有可能的取值为， 0， x,2x,3x. =0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，
19、所以 P（ =0） =( )3= , 同理可得 P(=x)= ( )( )2= , P(=2x)= ( )2( )= ,P(=3x)=( )3= . 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是 E=0 +x +2x +3x =1.5x. 要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有 1.5x90,所以 x60，故商场应将中奖奖金数额最高定为 60元，才能使促销方案对自己有利 . 考点：古典概型概率的计算，互斥（对立）事件的概率计算，数学期望的应用。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查古典概型概率的计算，互斥（对立）事件的概率计算，数学期望的应用，及利用
20、数学知识解决实际问题的能力。求出顾客在三次抽奖中所获得的 奖金总额的期望值，与商场的提价数额比较，即可求得结论。 已知函数 . （ ）求 的最小值； （ ）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围 . 答案： (1)当 时， 取得最小值 . (2) 的取值范围是 . 试题分析： (1) 的定义域为 ， 1分 的导数 . 2分 令 ，解得 ；令 ，解得 . 从而 在 单调递减，在 单调递增 . 4分 所以，当 时， 取得最小值 . 6分 (2)依题意，得 在 上恒成立， 即不等式 对于 恒成立 . 令 ， 则 . 8分 当 时，因为 ， 故 是 上的增函数， 所以 的最小值是 ， 10分 所以 的取
21、值范围是 . 12分 考点：应用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题。 点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于 0. 在直角坐标系 xoy中，直线 的参数方程为 （ t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C的方程为 。 （ ）求圆 C的直角坐标方程； （ ）设圆 C与直线 交于点 A、 B，若点 P的坐标为 ，求 |PA|+|PB|。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）（ 2）将 l的参数方程代入圆 c的直角坐标方程，得 ，由于 ，可设 是上述方程的两个实根。 所以 ，又直线 l过点 P（ 3 ），可得： 考点：曲线的极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，直线参数方程的应用。 点评：中档题，首先完成圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，从而 “化生为熟 ”。确定圆的弦长问题，利用直线的参数方程，应用韦达定理，可以简化解题过程。
