1、2013届福建福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 是虚数单位，复数 ， 若 的虚部为 ，则 等于（ ） A 2 B -2 C 1 D -1 答案： A 试题分析：因为， ，其虚部为 4，所以，故选 A. 考点：复数的概念，复数的运算 . 已知平面向量 a ， b= ，定义函数 （ ）求函数 的值域； （ ）若函数 图象上的两点 、 的横坐标分别为 和 ， 为坐标原点，求 的面积 答案：（ ） （ ） . 试题分析：（ ）根据平面向量的坐标运算公式，利用三角公式化简得到，可得函数 的值域为 （ ）通过确定，可考虑通过利用余弦定理确定三角形形状、利用向量的坐标运算，确定三
2、角形形状等，计算三角形面积 . 试题：解：（ ）依题意得 1分 3分 所以函数 的值域为 5分 （ ）方法一 由（ ）知， ， ， 6分 从而 . 7分 ， 9分 根据余弦定理得 . ， 10分 的面积为 . 13分 方法二 同方法一得： . 7分 则 . 8分 . 10分 所以 ， 的面积为 . 13分 方法三 同方法一得： . 7分 直线 的方程为 ，即 . 8分 点 到直线 的距离为 . 10分 又因为 ， 11分 所以 的面积为 . 13分 考点： 1、平面向量的坐标运算， 2、三角函数辅助角公式， 3、三角形面积 . 某校高三 2班有 48名学生进行了一场投篮测试，其中男生 28人，
3、女生 20人为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（ 148 号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样若此次投篮考试的成绩大于或等于 80分视为优秀，小于 80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据： （ ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记 “抽到投篮成绩优秀 ”的人数为 X，求 X的分布列和数学期望； （ ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列 22列联表，判断是否有 95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？ （ ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（ ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由 . 下面的临界值表供参考：
4、 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式： ，其中 ） 答案：（ ） 的分布列为 （ ） 列联表： 优秀 非优秀 合计 男 来源 :学+科 +网Z+X+X+K 6 1 7 女 1 4 5 合计 7 5 12 有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关 （ ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优 试题分析：（ ）由 “抽到投篮成绩优秀 ”的人数为 X，其所有可能取值为 计算可得相应概率
5、，得到 的分布列为 计算得到数学期望 （ ）由乙抽取的样本数据，得到 列联表，应用 “卡方公式 ”计算 “卡方 ”并与临界值表对照，得出结论 . （ ）对照系统抽样、分层抽样的定义确定抽样方法，由（ ）的结论，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，得到结论 . 试题：（ ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有 7人，投篮成绩不优秀的有 5人 X的所有可能取值为 1分 所以 ， ， 4分 故 的分布列为 5分 6分 （ ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得 列联表如下： 优秀 相关试题 2013届福建福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳
6、市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备 09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 对于函数 与 和区间 D，如果存在 ，使 ，则称 是函数 与 在区间 D上的 “友好点 ”现给出两个函数： ， ； ， ； ， ； ， ， 则在区间 上的存在唯一 “友好点 ”的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于 ，所以，存在唯一“友好点 ” ； 对于 ， ，不符合 ； 对于 ， = ， ，函数 在（ 0，+）上是单调减函数，当 时， ，所
7、以，存在 ，使成立，但 “友好点 ”不唯一； 对于 令 得令 ，得 所以， 时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为 ，所以，存在存在唯一 “友好点 ” ；故在区间 上的存在唯一 “友好点 ”的是 ，选 D. 考点：新定义问题，配方法、导数法求函数的值域 . 对于任意给定的实数 ，直线 与双曲线 ，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意，直线 与双曲线 ， 的一条渐近线重合或平行，渐近线方程为 ，即 ，所以，双曲线的离心率为 ，选 D. 考点：双曲线的几何性质 已知点 是 所在平面内的一点，边 AB的中点为 D，若，其中 ，则点 一定在（ ）
8、A AB边所在的直线上 B BC 边所在的直线上 C AC 边所在的直线上 D 的内部 答案： C 试题分析：因为，点 是 所在平面内的一点，边 AB的中点为 D，且， 所以， 共线且有公共点 ，所以 C在 AC 边所在的直线上，选 C. 考点：共线向量，平面向量的线性运算。 设 则 中奇数的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： A 试题分析：由 可知： 均为二项式系数， 依次是 因为， ， 所以 中奇数只有 a0， a8两个，故选 A. 考点：组合数公式 ,二项式系数 已知等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则 的前 8项和为（ ） A 127 B 255 C 511 D 1
9、023 答案： B 试题分析：因为，等比数列 的公比 ，且 成等差数列，所以， ，即 ，故 的前 8项和为 =255，选 B. 考点：等差数列，等比数列 . 已知命题 “直线 与平面 有公共点 ”是真命题，那么下列命题： 直线 上的点都在平面 内； 直线 上有些点不在平面 内； 平面 内任意一条直线都不与直线 平行 其中真命题的个数是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 答案： D 试题分析：因为，命题 “直线 与平面 有公共点 ”是真命题，即包括了两种情况， 一是直线 与平面 有一个公共点 -相交； 二是，直线 与平面 有无数多公共点 -直线在平面内 . 所以， 直线 上的点都在平面 内，
10、是假命题； 直线 上有些点不在平面内，是假命题； 平面 内任意一条直线都不与直线 平行，是假命题 . 故选 D. 考点：直线与平面 已知函数 ，则 “ ”是 “函数 在 上为增函数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 时， ，其在 上是增函数；反之，函数，在 上为增函数，不一定有 ，如， 时，函数 在上为增函数， 在 上为增函数。故选 A. 考点：充要条件的概念，导数的应用， “对号函数 ”的性质 . 根据某市环境保护局公布 2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图根据图中信息可知，这六年的每
11、年空气质量优良天数的中位数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据折线图及平均数计算公式，计算平均数为：（ 320+320+300+340+310） 6=315， 故选 C. 考点：折线统计图，中位数 . 要得到函数 的图象，只须将 的图象上的所有的点（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 答案： C 试题分析：根据函数图象平移规则 “左加右减，上加下减 ”，所以，要得到函数 的图象，只须将 的图象上的所有的点向左平移 个单位长度，选 C. 考点：正切函数图象的变换 填空题 数列 是由集合 ，且 ， 中所有的数从小到大
12、排列成的数列，即 ， ， ， ， a5 30， a6 36， ，若 ，且 ， ，则 的值等于 _ 答案： 试题分析：根据 ，且 ， ， 观察题目的结构： ， ， ， 根据前面数据的规则可知，第 n行的数据依次为： ，总共有 个数。 这 行共有 个数，由 得， ，所以， . 前 62行共 1953个数，所以， 是第 63行中的第 60个数，应为. 即 = ， 的值等于 59+63=122. 考点：归纳推理，等差数列的求和公式 . 在区间 上任取两个数 ， ，能使函数 在区间 内有零点的概率等于 _. 答案： 试题分析：因为，函数 在区间 内有零点，所以， 即 ， ，视（ a,b）为坐标平面内的点
13、。 画出可行域，满足上述条件的 (a， b) 是图中阴影部分，由于 ， 所以所求概率 = ，答案：为 . 考点：简单线性规划的应用，几何概型概率的计算 . 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入 ，输出 ，则在图中 “？ ”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号） ； ； ； 答案： 试题分析：根据程序框图，输入 ，输出 ，即 ，所以， ，据此可知，经几次循环，应通过 “？ ”得到的 ，按 计算，依次得到9,8,7,6,5,4,3,2,1， -1， -3 ，不可能得到 ； 按 计算结果分别为 8,6,4,2,0， -2，可以； 按 计算，依次可得 7,4,1， -2，可以；
14、按 计算，依次可得 6,2， -2,可以 . 故答案：为 、 、 . 考点：程序框图的功能识别 已知函数 ，则 的值等于 答案： 试题分析：根据分段函数定积分计算公式得， =2+1=3， 答案：为 3. 考点：分段函数的概念，定积分计算 . 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 . 答案： 试题分析：根据 “高平齐，长对正，宽相等 ”，该三棱锥底面是一直角三角形，直角边长分别为 2,1，所以，其面积为 ，答案：为 1. 考点：三视图，面积计算。 解答题 如图，已知多面体 的底面 是边长为 的正方形， 底面， ，且 （ ）求多面体 的体积； （ ）求直线 与平面
15、 所成角的正弦值； （ ）记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD内过点 K 作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明 答案：（ ）（ ） （ ）设直线 与平面 所成角为 ，（ ）利用三角形中位线定理，取线段 DC 的中点 ，连接即为所求 试题分析：（ ）（ ）连接 ED，利用 “分割法 ”计算得 （ ）以点 A为原点， AB所在的直线为 轴， AD所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系确定得到 A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及. 利用 确定平面 的一个法向量为 . 设直线 与平面 所成角为 ，（ ）取线段 DC 的中点
16、 ；连接 ，则直线 即为所求 试题：（ ）如图，连接 ED， 底面 且 ， 底面 , , , 面 , 1分 , 2分 , 3分 多面体 的体积 5分 （ ）以点 A为原点， AB所在的直线为 轴， AD所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图由已知可得 A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1), 所以 7分 设平面 ECF的法向量为 ， 则 得： 取 y=1,得平面 的一个法向量为 9分 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 11分 （ ）取线段 CD的中点 ；连接 ，直线 即为所求 12分 图上有正确的作图痕迹 13分 考点： 1、平行关系，
17、2、垂直关系， 3、空间向量的应用， 4、角及体积的计算 . 已知 ，曲线 上任意一点 分别与点 、 连线的斜率的乘积为 （ ）求曲线 的方程； （ ）设直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，若曲线 与直线 没有公共点，求证： 答案：（ ） ， （ ）由 得 ，利用曲线 与直线 没有公共点， ，得到 ，利用 ， ，及均值定理确定 ， 从而证得 试题分析：（ ）设曲线 上任意一点 的坐标为 利用依题意点 分别与点 、 连线的斜率的乘积为 ，转化成代数式，整理可得 （ ）由 得 ，利用曲线 与直线 没有公共点， ，得到 ，利用 ， ，及均值定理确定 ， 从而证得 试题：（ ）设曲线 上任意一点 的
18、坐标为 依题意 ，且 ， 分 整理得 所以，曲线 的方程为： ， 5分 （ ）由 得 ， ， 7分 由已知条件可知 ， ，所以 ， 从而 ， 即 13分 考点： 1、求轨迹方程， 2、直线与椭圆的位置关系， 3、均值定理的应用 . 已知函数 （ ）当 时，求曲线 在原点处的切线方程； （ ）当 时，讨论函数 在区间 上的单调性； （ ）证明不等式 对任意 成立 答案：（ ） （ ）函数 在区间 单调递减，在区间上单调递增 （ ）由（ ）知，当 时， 在区间 上单调递增； 从而可得 ， 得到 对任意 成立 通过取 ， ，得 ， 将上述 n个不等式求和 ,得到 : ， 证得 对任意 成立 试题分析
19、：（ ）首先求 ，切线的斜率 ，求得切线方程 . （ ）当 时，根据 ，只要考查 的分子的符号 通过讨论 ，得 时 在区间 上单调递增； 当 时，令 求得其根 利用 “表解法 ”得出结论：函数 在区间 单调递减，在区间 上单调递增 （ ）由（ ）知，当 时， 在区间 上单调递增； 从而可得 ， 得到 对任意 成立 通过取 ， ，得 ， 将上述 n个不等式求和 ,得到 : ， 证得 对任意 成立 试题： （ ）当 时， ，切线的斜率 ， 所以切线方程为 ，即 3分 （ ）当 时，因为 ，所以只要考查 的符号 由 ，得 ， 当 时， ，从而 ， 在区间 上单调递增； 当 时，由 解得 6分 当 变
20、化时， 与 的变化情况如下表： 函数 在区间 单调递减，在区间 上单调递增 9分 （ ）由（ ）知，当 时， 在区间 上单调递增； 所以 ， 即 对任意 成立 11分 取 ， ， 得 ，即 ， 13分 将上述 n个不等式求和 ,得到 : ， 即不等式 对任意 成立 14分 考点： 1、导数的几何意义， 2、 已知线性变换 ： 对应的矩阵为 ，向量 （ ）求矩阵 的逆矩阵 ； （ ）若向量 在 作用下变为向量 ，求向量 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）首先确定得到 ，从而 ，进一步得到 （ ）由 ，两边同乘 “逆矩阵 ”得 试题：（ ）依题意 ，所以 ， 所以 3分 （ ）由 ，得 7分
21、考点： 1、逆矩阵的概念及其计算， 2、矩阵及其变换 . 在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系 （ ）求圆 的直角坐标方程； （ ）若圆 上的动点 的直角坐标为 ，求 的最大值，并写出取得最大值时点 P的直角坐标 答案：（ ） ，即 （ ） 取得最大值为 ， P的直角坐标为 试题分析：（ ） ，两端同乘以 ，并将极坐标与直角坐标的互化公式代入即得 . （ ）将圆 C的方程化为参数方程将 表示成三角函数式，确定得到的最大值及点 P的直角坐标 . 试题：（ ）由 ，得 ， 所以圆 的直角坐标方程为 ， 即 3分 （ ）由（ ）得圆 C的参数方程
22、为 （ 为参数） . 所以 ， 5分 因此当 ， 时， 取得最大值为 ， 且当 取得最大值时点 P的直角坐标为 7分 考点： 1、直角坐标方程与极坐标方程的互化， 2、参数方程的应用， 3、正弦型函数的性质 . 已知不等式 的解集为 （ ）求 的值； （ ）若 ，求 的取值范围 答案：（ ） . （ ） 的取值范围是 试题分析：（ ）解绝对值不等式 即得 .（ ）由（ ）得到 应用柯西不等式，得到，进一步确定的取值范围 . 试题：（ ）依题意，当 时不等式成立，所以 ，解得 ， 经检验， 符合题意 3分 （ ）由（ ）知 根据柯西不等式， 得 ， 5分 所以 ， 当且仅当 时，取得最大值 ， 时，取得最小值， 因此 的取值范围是 7分 考点： 1、绝对值不等式的解法， 2、柯西不等式的应用 .
