1、2013届重庆市重庆一中高三第三次（ 5月）月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 集合 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为， ， 所以， ， ，故选 D。 考点：本题主要考查函数的定义域、值域，简单不等式解法，集合的运算。 点评：小综合题，这类题目较多地出现在高考题中。首先明确集合中元素的特征，在进行集合运算。 过双曲线 的左焦点 ，作倾斜角为 的直线 FE交该双曲线右支于点 P，若 ，且 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为，倾斜角为 的直线 FE交该双曲线右支于点 P，若，且 所以，点 E是 PF的中点，且 PF OE。 设双
2、曲线右焦点为 ，连 P ，则， OE/P 且等于 P 的一半。 由双曲线的定义及直角三角形 FP 边角关系， 得， ， 所以， = ，故选 B。 考点：本题主要考查双曲线的定义及其几何性质，平面向量的线性运算，向量垂直的条件。 点评：小综合题，从已知出发，分析出 E点的特殊性，从而进一步应用双曲线的定义确定 a,c的关系，求得离心率。 已知正数 满足 则 的最小值为（ ） A B 4 CD 答案： B 试题分析：由均值不等式，所以，故 ，选 B。 考点：本题主要考查基本不等式的应用。 点评：中档题，通过构造以符合应用基本不等式的条件，使问题得解。 右图给出了一个程序框图，其作用是输入 x的值，
3、输出相应的 y值。若要使输入的 x值与输出的 y值相等，则这样的 x值有 ( ) A 1个 B 2 个 C 3 个 D 4个 答案： C 试题分析：观察程序框图可知，其算法功能是，随输入的 x值的不同，计算函数值。 若 则由 ，得， x=0或 1； 若 由 ，得， x=4; 若 ，则由 ，得， ，不合 题意。综上知，这样的 x值有 3个。故选 C。 考点：本题主要考查程序框图功能识别。 点评：简单题，理解程序框图的功能，考虑不同情况下计算 x的结果。 若定义在 R上的函数 的导函数是 ，则函数的单调递减区间是（ ） A B C D答案： C 试题分析：因为， 在（ 0， + ）是减函数，所以，
4、为求的单调递减区间，须 为增函数。 由 0，得， ， 故， ，解得， ，选 C。 考点：本题中要考点应用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，对数函数的性质。 点评：小综合题，本题综合考查应用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，对数函数的性质。注意运用 “在某区间，导数非负，函数为增函数；导数非正，函数为减函数 ”，复合函数的单调性遵循 “内外层函数，同增异减 ”。 在 中，已知 ，那么 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 答案： B 试题分析：因为， ， 即， ， 所以， =0，从而 A=B，三角形为等腰三角形，选 B。 考点：本题主要考查正弦定理、
5、余弦定理的应用。 点评：简单题，判断三角形的形状，有两种思路，即从角入手或从边入手，应依据条件灵活选用方法。 采用系统抽样方法从 1000人中抽取 50人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2， ， 1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8抽到的 50人中，编号落入区间 1， 400的人做问卷 A，编号落入区间401， 750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C则抽到的人中，做问卷 C的人数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 答案： A 试题分析：采用系统抽样方法从 1000人中抽取 50人做问卷 调查，需要分 50组，每组 20人。因为，在第
6、一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8所以，编号落入区间 1， 400的人分 20组有 20人，做问卷 A，编号落入区间 401，740的人分 17组，抽取 17人， 741,750中又抽取 1人，即有 18人做问卷 B，故做问卷 C的人数为 50-20-18=12（人），故选 A。 考点：本题主要考查系统抽样，简单随机抽样。 点评：简单题，系统抽样，首先应分组，组数 =样本总数 样本数，本题中，第一组抽到 8号，所以，以后各组抽到的是 20k+8. 在等差数列 中每一项均不为 0，若 ，则 （ ） A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 答案： C 试题分析：因为，在等差
7、数列 中每一项均不为 0，且， 所以， 2013，故选 C。 考点：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的求和公式。 点评：简单题，在等差数列中， m+n=p+q， 。 的展开式中，常数项等于（ ） A 15 B 10 C D 答案： A 试题分析： 的展开式中， ，令 12-3r=0，得， r=4，常数项等于 =15，故选 A。 考点：本题主要考查二项展开式的通项公式。 点评：简单题，利用二项展开式的通项公式，确定使其为常数项的 r值，然后求常数项。 向量 ，且 ，则锐角 的余弦值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为，向量 ，且 ， 所以， ，故选 D。 考点：本题主要考查向
8、量平行的条件，三角函数同角公式。 点评：小综合题，向量平行的条件是，对应坐标成比例（坐标不为 0） . 填空题 若不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析： 的解集为空集，即 恒成立，由绝对值的几何意义知， 或 ，故答案：为 。 考点：本题主要考查绝对值的几何意义。 点评：简单题，首先将问题转化成不等式恒成立问题，再利用数形结合思想，确定 的最小值。 在极坐标系中，已知两点 A、 B的极坐标分别为 、 ，则（其中 O 为极点）的面积为 答案： 试题分析：结合点 A、 B 的极坐标分别为 、 可知， |OA|=3,|OB|=4，所以， 的面积为=3. 考点：本题主要考查极坐标
9、的概念，三角形面积公式。 点评：简单题，结合图形，确定出三角形的边、角，利用三角形面积公式计算。 是圆 O 的直径， 为圆 O 上一点，过 作圆 O 的切线交 延长线于点 ，若 DC=2， BC=1，则 . 答案： 试题分析：连 OD则， OD垂直于 CD，设圆半径为 r，在直角三角形 ODC中，即 ，所以， 。 考点：本题主要考查圆的性质，勾股定理，直角三角形中的边角关系。 点评：简单题，解题的关键是通过连接圆心与切点，得到直角三角形，利用勾股定理及直角三角形中的边角关系解题。 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1， 2， 3， ， 9的 9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所
10、涂颜色都不相同，且标号为 “3， 5， 7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。 答案： 试题分析：首先看图形中的 1， 5， 9，有 3种可能， 当 1， 5， 9，为其中一种颜色时， 2， 6共有 4种可能，其中 2种 2， 6是涂相同颜色，各有 2种可能共 6种可能 4， 8及 7，与 2， 6及 3，一样有 6种可能并且与 2， 6， 3，颜色无关 当 1， 5， 9换其他的颜色时也是相同的情况 符合条件的所有涂法共有 366=108种， 故答案：为 108. 考点：本题主要考查分步计数原理、分类原理。 点评：中档题，这是一道限制条件比较多的题目，解题时注意分类、分步，做
11、到不重不漏，应用计数原理解答。 某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 _. 答案： 试题分析：观察三视图知该四面体如图所示，底面 BCD是直角三角形，边ABC垂直于底面， E是 BC 的中点， BC=AE=CD=2，所以， ，3，即三角形 ACD是直角三角形，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 = . 考点：本题主要考查三视图，几何体的面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。三视图视图过程中，要注意虚线的 出现，意味着有被遮掩的棱。 在复平面内，复数 对应的点位于虚轴
12、上，则 答案： 试题分析：因为， ，其对应点（ a， -1）位于虚轴上，所以， 0. 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。细心计算即可。 解答题 已知向量 ， ，函数图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 1，且经过点 。 （ 1）求函数 的式 （ 2）当 时，求函数 的单调区间。 答案：（ 1） （ 2）函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 试题分析：（ 1），由题意得周期 故 ，又图象过点所以 ，即 ，而 ，故 ， 则： （ 2）当 时， 当 时，即 时， 是减函数。 当 时，即 时， 是增函数。 则函数 的单调递减区间
13、是 ，单调递增区间是 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。 点评：典型题，属于常见题型，通过计算平面向量的数量积，得到三角函数式，灵活运用三角公式 “化一 ”，进一步研究三角函数的性质。本题（ II）涉及角的较小范围，易于出错。 设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲 胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。 （ 1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；
14、（ 2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为 ，求 的概率分布列和数学期望 。 答案：（ 1） ; （ 2） 的分布列为： 2 3 4 P 试题分析：（ 1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为 （ 2） ， 的分布列为： 2 3 4 P 考点：本题主要考古典概型概率的计算，随机变量的分布列及数学期望。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率分布表，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。 已知函数 ，其中 为自然对数的底数 . （ ）当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （ ）
15、若函数 存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为 ，求 的 值 . 答案：（ ）所求面积为 . （ ） . 试题分析：（ ） ， 当 时， ， ， ，所以曲线 在 处的切线方程为 切线与 轴、 轴的交点坐标分别为 ， ， 所以，所求面积为 . （ ）因为函数 存在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方程 在 内存在两个不等实根， . ，则 设 为函数 的极大值和极小值， 则 ， ， 因为， ，所以， ， 即 ， ， ， 解得， ，此时 有两个极值点，所以 . 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性及极值。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（
16、2）涉及方程实根的讨论及研究，运用了韦达定理，轻声道切线斜率，等于函数在切点的导函数值。 如图，四边形 ABCD中， 为正三角形， ， ， AC与 BD交于 O 点将 沿边 AC 折起，使 D点至 P点，已知 PO与平面ABCD所成的角为 ，且 P点在平面 ABCD内的射影落在 内 （ ）求证： 平面 PBD； （ ）若 时，求二面角 的余弦值。 答案：（ 1）取 BD中点 Q，证得 Q 与 O 重合。则 面PBD （ 2） 试题分析：（ 1）取 BD中点 Q，则 三点共线，即 Q 与 O重合。 则 面 PBD （ 2）因为 AC 面 PBD，而 面 ABCD， 所以面 ABCD 面 PBD，
17、则 P点在面 ABCD上的射影点在交线 BD上（即在射线 OD上），所以 PO与平面ABCD所成的角 。以 O 为坐标原点， OA为 轴， OB为 轴建空间直角坐标系。 ，因为 AC 面 PBD，所以面 PBD的法向量 ，设面 PAB的法向量 ，又，由 ，得 ，又 ，由，得 ， 在 中令 ，可得 ，则 所以二面角 的余弦值 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算，空间向量的应用。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，将立体问题转化
18、成平面问题，是解决立体几何问题的一个基本思路。通过就落实党的坐标系，利用空间向量，免去了繁琐的逻辑推理过程，对计算能力要求较高。 中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且经过点。若分别过椭圆的左右焦点 、 的动直线 、 相交于 P点，与椭圆分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点，直线 OA、 OB、 OC、 OD 的斜率 、 、 满足 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在定点 M、 N，使得 为定值若存在，求出 M、 N 点坐标；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ； （ 2）存在点 M、 N 其坐标分别为 (0 , -1)、 (0, 1)，使得 为定值 试题分析：（ 1）设
19、椭圆方程为 ，则由题意知 ，则 ，则椭圆方程为 ，代入点 的坐标可得 ，所求椭圆方程为 （ 2）当直线 或 斜率不存在时， P点坐标为 (-1, 0)或 (1, 0) 当直线 斜率存在时，设斜率分别为 ， ，设 ， ， 由 得 ， ， ，同理 ， ，即 又 ， 设 ，则 ，即 ， 由当直线 或 斜率不存在时， P点坐标为 (-1, 0)或 (1, 0)也满足， 点椭圆上，则存在点 M、 N 其坐标分别为 (0 , -1)、 (0, 1)，使得 为定值 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系。 点评：中档题，结合椭圆的几何性质，应用 “待定系数法 ”求得了椭圆方程。研究
20、直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过 “整体代换 ”，简化解题过程，实现解题目的。（ II）中对两直线斜率存在情况进行讨论，易于忽视。 已知各项 均为正数的数列 满足：。 （ 1）求 的通项公式 （ 2）当 时，求证： 答案：（ 1） ，猜测： 。用数学归纳法证明。 （ 2）即证： 试题分析：（ 1） ，猜测： 。下用数学归纳法证明： 当 ，猜想成立； 假设当 时猜想成立，即 ， 由条件 ， ， 两式相减得： ，则当 时， ， 时，猜想也成立。 故对一切的 成立。 （ 2） ，即证：对 ，令 （ ），则 ， 显然 ， ，所以 ， 所以 ， 在 上单调递减 由 ，得 ，即 所以 ， 所以 得证。 考点：本题主要考查数列的概念，数学归纳法的应用。 点评：难题，归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。本题利用数学归纳法证明不等式，对数学式子变形能力要求较高。
