1、2013届黑龙江大庆第三十五中学高三上期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A=1,2,3,4,B=y|y= ,x A,则 A B= A 1,2,3,4 B 1,2 C 1,3 D 2,4 答案： B 试题分析：因为 A=1,2,3,4,B=y|y= ,x A= ,所以 A B=1,2。 考点：集合的运算；集合的表示方法。 点评：研究一个集合，关键是研究这个集合中的元素是什么，和代表元素没关系，比如 。 定义在 R上的可导函数 f(x)，已知 y e f (x)的图象如下图所示，则 y f(x)的增区间是 A (-， 1) B (-， 2) C (0,1) D (1,2) 答
2、案： B 试题分析：若 f(x)0，则 e f (x) e0=1，由图知当 x0的解集。因此根据 y e f (x)的图像判断 f(x)0的解集时解题的关键。属于中档题。 如图， 和 分别是双曲线 （ ， ）的两个焦点， A和B是以 O为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 A B C 2 D 答案： D 试题分析：连接 ，因为 为直径，所以 ，又因为 是等边三角形，所以 ，因为 ，所以 ， ，由双曲线的定义知 ，即 ，所以 e= 。 考点：双曲线的定义；双曲线的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变
3、形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利 用方程的思想，解出 。 “1 a 2”是 “对任意的正数 x， 2”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 1 a 2，由基本不等式得：对任意的正数 x，所以 2。若 2，则 。所以“1 a 2”是 “对任意的正数 x， 2”的充分不必要条件。 考点：基本不等式；充分、必要、充要条件的判断。 点评：熟练灵活应用基本不等式是做本题的前提条件。属于中档题。 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上的点 到焦点的距离等于 5， 则 m A
4、 B C D 答案： D 试题分析：易知抛物线开口向下，设焦点为 F，由抛物线的定义知： PF=|-3|+=5,所以 p=-4,所以抛物线方程为 ，把点 代入抛物线方程得 m=。 考点：抛物线的定义；抛物线的标准方程。 点评：熟记抛物线的焦半径公式： (1)若 P( )为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (2) 若 P( )为抛物线 y2=-2px(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (3) 若 P( )为抛物线 x2=2py(p0)上任意一点 则 |PF|= ； (4)若 P( )为抛物线 x2=-2py(p0)上任意一点 则 PF= 。 已知命题 ，命题 ，则下
5、列命题为真命题的是 A B C D 答案： A 试题分析：因为任意 ， ，所以命题 为假命题。命题 ，为真命题。所以 为真命题；为假命题； 为假命题； 为假命题。 考点：命题真假的判断；复合命题真假的判断；指数函数的图像；三角函数的图像。 点评：熟练掌握指数函数 和 在同一坐标系内图像的特征。属于中档题。 如图，目标函数 z ax-y的可行域为四边形 OACB（含边界），若 是该目标函数 z ax-y的最优解，则 a的取值范围是 A B C D 答案： B 试题分析：由目标函数 z ax-y得： ，因为 是该目标函数 z ax-y的最优解，所以 ，所以 a的取值范围是。 考点：线性规划的有关问
6、题；斜率公式。 点评：在可行域内平行移动直线，从图中判断满足什么条件才使 是该目标函数 z ax-y的最优解，从而得到目标函数斜率的范围。 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示 (单位： m)则该几何体的体积为 (单位： ) A B C D 答案： C 试题分析：由三视图知：原几何体为三个棱长为 1 的正方体和一个正方体的一半构成的组合体，所以该几何体的体积 。 考点：三视图。 点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确还原几何体的形状是解题的关键，同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力 如图，在一个边长为 2的正方形中随机撒入 200粒的豆子，恰有 120粒落在
7、阴影区域里， 则该阴影部分的面积约为 A B C D 答案： B 试题分析：易得： 。 考点：几何概型。 点评：解决概率问题要先判断属于什么概率模型。此题是典型的几何概型的题目。属于基础题型。 右边 程序运行结果为 A 7 B 6 C 5 D 4 答案： C 试题分析：第一次循环： ，不满足 ，再次循环； 第二次循环： ，不满足 ，再次循环； 第三次循环： ，不满足 ，再次循环； 第四次循环： ，不满足 ，再次循环； 第五次循环： ，此时满足 ，结束循环，输出 5. 考点：程序语言。 点评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。
8、 设 m、 n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A若 m n， m ，则 n B若 ， m ，则 m C若 ， m ，则 m D若 m n， m ， n ，则 答案： D 试题分析： A若 m n， m ，则 n 或者 n ； B若 ， m ，则 m与 可能平行，可能相交，也可能在平面内。 C若 ， m ，则 m 或者 m ； D若 m n， m ， n ，则 ，此命题正确。 考点：线面平行的判定定理；空间中线、面的位置关系。 点评：本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题
9、的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍 设 , 是虚数单位，则当 是纯虚数时，实数 为 A B CD 答案： A 试题分析： ，因为 是纯虚数，所以 。 考点：复数的运算。 点评：复数 ，当 b=0时，为实数；当 b0时，为复数；当a=0,b0时为纯虚数。 填空题 已知下列命题： 函数 的单调增区间是 . 要得到函数 的图象，需把函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度 . 已知函数 ，当 时，函数 的最小值为 在 0,1上至少出现了 100次最小值，则 . 其中正确命题的序号是 _ 答案： 试题分析： 由 ，所以函数 的单调增区间是 . 要得到函数 的图象，需把函数 的图象上所有点
10、向左平行移动 个单位长度 .正确。 已知函数 ，令 ，当 时，函数 的对称轴 x= ,所以当 t=-1时，函数 的取最小值，最小值为 若使 在 0,1上至少出现了 100次最小值，则 1，所 . 考点：正弦函数的单调性；图像的变换；二 次函数的最值；三角函数的周期性。 点评：在求函数 的单调区间时一定要注意 的正负，此为易错题，也是常见题型，一定要引起我们的重视。此题的第四个命题最容易出错，误认为在 0,1上至少出现 100个周期，实质上，只需至少出现 即可。 ABC的三边长分别为 ，若 ，则 ABC是 三角形 答案：直角 试题分析：因为 ，所以由正弦定理得,又因为，所以 sinA=1即 A=
11、 .所以 ABC是直角三角形。 考点：正弦定理；余弦定理；和差公式；诱导公式。 点评：熟练掌握三角形内的隐含条件：；。 已知定义在 R上的函数 是奇函数，对 x R都有 f(2+x)=f（ 2-x），当f(1)=-2时， f(2007)的值为 答案： 试题分析：因为对 x R 都有 f(2+x)=f（ 2-x），所以函数 的对称轴为 x=2，所以 因为函数 是奇函数，所以 =-f(-x) 由 得： ，所以函数 的周期为 8. 又因为函数 是奇函数，对 x R都有 f(2+x)=f（ 2-x）， 所以 f(2007)=f(7)= f(-3)=- f(3)=- f(1)=2. 考点：函数的 奇偶性
12、；函数的对称性；函数的周期性。 点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、和对称性的综合应用。若对定义域内的任意 x有 ，则可得 为周期函数且函数的周期 ；若对定义域内的任意 x有 ，则可得 的对称轴为 x=2；若对定义域内的任意 x有 ，则可得 的对称中心为（ 2,0）。 设 a 0，若曲线 与直线 x a， y=0所围成封闭图形的面积为 a，则 a =_. 答案： 9/4 试题分析：易得： 。 考点：定积分。 点评：本题主要考查应用定积分求不规则图形的面积，属于基础题型。 解答题 (本题满分 10分 )选修 44 ：坐标系与参数方程 已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为（ 为参数）
13、 （ ）求直线 的直角坐标方程； （ ）设直线 与曲线 交于 A， B两点，原点为 ，求 的面积 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）直线的直角坐标方程为： ； 3 分 （ ）原点到直线的距离 ， 直线参数方程为： 曲线 的直角坐标方程为： ，联立得： ， 求得 所以 10 分 考点：直线的极坐标方程；椭圆的参数方程；三角形的面积公式。 点评：一般情况下，我们要把参数方程转化为直角坐标方程来做，属于基础题型。 (本题满分 10分 )选修 41 ：几何证明选讲已知 中， ， 垂足为 D， ，垂足为 F， ，垂足为 E 求证：（ ） ； （ ） 答案：（ ） ,即 ；（ ）由射影定理知 又
14、由三角形相似可知 ，且 ，结合射影定理 。 试题分析：（ ） ,即 4 分 （ ）由射影定理知 又由三角形相似可知 ，且 ，结合射影定理 分 考点：射影定理； 点评：选修题，一般难度不大，我们应该做到全得分，得满分！ （本题满分 12分）已知函数 （ 1）当 时，求函数 的单调区间； （ 2）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问： 在什么范围取值时，对于任意的 ，函数 在区间上总存在极值？ 答案：（ 1） 在 递增； 在 递减。（ 2） 。 试题分析： 2 分 （ 1）当 时， 令 时，解得 ，所以 在 递增； 令 时，解得 ，所以 在 递减。 5 分 （ 2）因为，函数 的图像在点
15、处的切线的倾斜角为 ， 所以 ，所以 ， ， 6 分 ， 7 分 为开口向上的二次函数，两根之积为负， 对于任意的 ，函数 在区间 上总存在极值， 所以只需 ， 10 分 解得 12 分 考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。 点评：利用导数研究函数的单调性，尤其是求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域， （本题满分 12分）设椭圆 ： 的左、右焦点分别为，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 （ 1）求椭圆 的离心率； （ 2）若过 、 、 三点的圆恰好与直线 ：相切， 求椭圆 的方程； 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1
16、）设 Q（ x0， 0），由 （ c， 0）， A（ 0， b） 知 ， 由于 即 为 中点 故 ， 故椭圆的离心率 6 分 （ 2）由 知 得 于是 （ ， 0） Q ， AQF的外接圆圆心为 F1（ - ， 0），半径 r= |FQ|= 所以 ，解得 =2， c =1， b= ， 所求椭圆方程为 12 分 考点：椭圆的简单性质；向量的运算；直线与圆的位置关系。 点评：在求椭圆的离心率时，判断出 为 的中点是解题的关键。属于基础题型。在计算时一定要认真、仔细，避免出现计算错误。 （本题满分 12分）如图所示，在棱长为 4的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 E是棱 CC1的中点。 （
17、I）求三棱锥 D1ACE 的体积； （ II）求异面直线 D1E与 AC所成角的余弦值； （ III）求二面角 AD 1EC 的正弦值。 答案：（ I） ；（ II） （ III） 试题分析：（ I） 3 分 （ II）取 DD1的中点 F，连结 FC，则 D1E/FC， FCA即为异面直线 D1E与 AC 所成角或其补角。 5 分 异面直线 D1E与 AC所成角的余弦值为 7 分 （ III）过点 D作 DG D1E于点 G，连接 AG，由 AD 面 D1DCC1， AD D1E 又 DG D1E， D1E 面 ADG D1E AG，则 AGD为二面角 AD 1EC 的平面角 9 分 D1E
18、 DG=DD1 CD， ， 二面角 AD 1EC 的正弦值为 12 分 法二：（ I）同法一 3 分 （ II）以 D为原点，分别以 DA,DC,DD1为 ox,oy,oz轴建立空间直角坐标系。 （ III）显然 是平面 D1DCE的法向量， 设平面 D1AE的一个法向量为 二面角 AD 1EC 的正弦值为 12 分 考点：棱锥的体积公式；异面直线所成的角；二面角。 点评：求异面直线所成的角，解题的关键是：首先正确的建立空间直角坐标系，然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角；而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量。注意计算要仔细、认真。 （本题满分 12分）在
19、数列 中， ， ， （ 1）证明数列 是等比数列； （ 2）设数列 的前 项和 ，求 的最大值。 答案：（ 1）由题设 ， 得 ， 又 ， 所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列；（ 2） 0. 试题分析：（ ）由题设 ， 得 ， 又 ， 所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列 4 分 （ ）由（ ）可知 ，于是数列 的通项公式为 6 分 所以数列 的前 项和 8 分 = 10 分 故当 n=1时， 的最大值为 0. 12 分 考点：等比数列的定义；等比数列的通项公式；数列前 n项和的求法。 点评：在求数列的通项公式时，常用的一种方法是构造新数列，通过构造的新数列是等差数列或等比数列来
20、求。 （本题满分 12分）已知函数（ 1）求函数 的最小正周期和图像的对称轴方程； （ 2）若 时， 的最 小值为 ，求 的值。 答案：（ 1） ， ；（ 2） 。 试题分析： 2 分 （ 1）函数 的最小正周期为 ， 4 分 对称轴方程为 7 分 （ 2）当 时， ， 10 分 所以， 12 分 考点：和差公式；二倍角公式；三角函数的周期；三角函数的性质：对称性。 点评：熟练掌握函数 的性质是做本题的前提条件，属于基础题型，也是常见题型。 (本题满分 10分 )选修 45 ：不等式选讲 若关于 x的不等式 恒成立，求 a的取值范围 答案： 试题分析：令 ， 即可 ，当 时， 取最小值 3 即可， 故 . 10 分 考点：含绝对值的不等式；恒成立问题。 点评：（ 1）解决含绝对值的不等式的主要思想是分类讨论，通过分类讨论去掉绝对值符号。 （ 2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。
