1、2014 届上海市浦东新区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图所示，点 是圆 上的三点，线段 与线段 交于圆内一点 ,若，则（ ） A ； B ； C ； D ； 答案： B 试题分析：如果记得结论， “ 三点共线， 是直线 外一点， 三点共线 ”则本题可很快得出结论，设是 与 的交点，且 ，则 ，而，显然 ，又 ， ，故如果记不得这个结论，则直接从等式入手， ，而 ，因此 ，所以 考点：向量数量积的性质 已知函数 则（ ） A 2010 B 2011 C 2012 D 2013 答案： D 试题分析：这种类型求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现
2、 ，因此把式子中 与 合并后每个和都为 1，共有 2013个 1，而 ，故结论为 D 考点：分组求和 方程 的解的个数为（ ） A 1 B 3 C 4 D 5 答案： B 试题分析：本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数 和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图）， ，但当 时， ，而 ，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解 考点：方程的解与函数图象的交点 设 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件 “均为正数 ”，否则不等式不一定成立，如本题中当 都是负数时，都不成
3、立，当然只能选 D，事实上由于函数 是增函数，故 是正确的 考点：不等式的性质 填空题 _. 答案： 试题分析：这是 “ ”型极限，方法是分子分母同时除以分子分母的最高次幂，. 考点： “ ”型极限 已知函数 ，对任意 都有 ，且是增函数，则 答案： 试题分析：本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从 的初始值开始，如 ，首先 ，否则不合题意，其次若 ，则 与 是增函数矛盾，当然 更不可能 (理由同上 )，因此 ， 考点：函数的定义与性质 用 表示集合 S中的元素的个数，设 为集合，称 为有序三元组如果集合 满足 ，且 ，则称有序三元组 为最小相交由集合 的子集构成
4、的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 答案： 试题分析： 三个集合不可能有一元集，否则不能满足 ，又因为 中只有 4个元素，则 中不可能有两个集合都有 3个元素，否则不能满足 ，但 中可以三个集合都含有 2个元素，也可能是一个集合有 3个元素，其它两个集合含有 2个元素，情形如下： 如三个集合都含有 2个元素这种情形 ， ， ，这种类型有 种可能，另外第 4个元素 可任意加入上述 4种可能中的每一个集合，又形成不同的情形，这样就又有 种，于是就共有了种情形，在每一种情形 中，它们的顺序可以打乱，每种可形成 个，因此共有 个有序三元组 考点：集合的交集 函数 ，若 2恒成立的充分条件
5、是 ，则实数的取值范围是 答案： 4 试题分析：本题实质上是：当 时 恒成立，求 的取值范围 ，当 时， 的最小值是 4， 的最大值是 1，故 考点：充分条件与参数的取值范围 某学校要从 5名男生和 2名女生中选出 2人作为社区志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量 的数学期望 =_（结果用最简分数表示） . 答案： 试题分析：本题里随机变量 机变只能取 0， 1， 2三个数，分别计算出它们的概率 (就不必列表了 )， ， ，因此 考点：数学期望 已知圆锥的底面半径为 3，体积是 ，则圆锥侧面积等于 _. 答案： 试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么
6、可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质 (圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形 )可得母线， ， ， ， 考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质 在锐角 中 , ，三角形的面积等于 ，则 的长为_. 答案： 试题分析：已知三角形的两条边长，要求第三边，一般可用余弦定理，则必须求得已知两边的夹角，那么三角形的面积我们选用公式 ，可得 ，从而得 ，再由余弦定理可得结论 考点：三角形的面积公式与余弦定理 不等式 的解是 _. 答案： （或 ） 试题分析：可转化为整式不等式， ，也可分类讨论即分子与分母异号 考点：解分式不等式 已知数列 中， ， ，则 =_. 答案： 试题分析：这是一个等差数列，已知条
7、件中有其公差 ，首项为，通项公式为 考点：等差数列的通项公式 已知 是方程 的两根，则 =_. 答案： 试题分析：本题考查两角和的正切公式， ，而与 可由韦达定理得 考点：韦达定理与两角和的正切公式 甲校有 3600名学生，乙校有 5400名学生，丙校有 1800名学生 .为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是 _. 答案： 试题分析：分层抽样时样本容量与总体容量成正比 考点：分层抽样 已知函数 的反函数为 ，则 _. 答案： 试题分析：根据反函数的定义，求 ，实质上就是解方程 ，因此我们首先要求出函数 ，题中 ，那么下面我们
8、解方程，即 ， ，所以 考点：反函数的定义 已知复数 是 实数，则 =_. 答案： 试题分析：显然应该求出 ， ，它是实数，则 ，可得结论 考点：复数的分类与复数的模 二项式 的展开式中，含 的项的系数是 _. 答案： -126 试题分析：利用二项展开式通项公式可得， ，令 ，可得 ，代入可得所求系数为 考点：二项展开式通项公式 解答题 如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的大小 . 答案： (1)证明见； (2) 试题分析： (1)要证线线垂直，一般通过证明线面垂直来实现，那么我们就要寻找图形中已有哪些与待证线垂直的直线，本题中首先由已知有 ，又有
9、平面 ，则 ，故可证明 与过 的平面 垂直，从而得线线垂直； (2)要求二面角的大小，一般须根据定义作出二面角的平面角，在三角形中解出，而平面角就是要与二面角的棱垂直的直线 (射线 )，题中棱是 ，在两个面 (半平面 )内与 垂直的直线是哪个呢？注意到已知 ，因此有 ，从而 与 都是以 为底边的等腰三角形，故垂直关系就是取底边 中点 ，根据等腰三角形的性质有 ， ，就是我们要找的平面角 试题：（ 1）连接 BD， 平面 平面 AC SD 4分 又四边形 ABCD是正方形， AC BD AC 平面 SBD AC SB. 6分 （ 2）设 的中点为 ，连接 、 ， SD=AD,CS=CA, DE
10、SA, CE SA. 是二面角 的平面角 . 9分 计算得： DE ， CE ， CD 2，则 CD DE. , 所以所求二面角的大小为 . 12分 考点： (1)线线垂直； (2)二面角 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 .实践证明，声音强度 （分贝）由公式 ( 为非零常数 )给出，其中为声音能量 . （ 1）当声音强度 满足 时，求对应的声音能量满足的等量关系式； （ 2）当人们低声说话，声音能量为 时，声音强度为 30分贝；当人们正常说话，声音能量为 时，声音强度为 40分贝 .当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在 100分贝 120分贝的空间内，一分钟就会暂时
11、性失聪 .问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪 . 答案： (1) ； (2) 试题分析：这是应用题，高考常考题型，解决这类问题关键是读懂题意，即根据题目提供的信息，找到需要的等量关系，列出相应的函数式 (方程， 不等式等等 )，然后借助函数的知识 (或方程，不等式知识 (解决问题本题中 (1)就是根据已知 ，把 用 代入进去，化简就可得所求结论；(2)在公式 中有两个参数 ，这是我们首先要求出的，还好题中有两个已知，我们只要列出相应的方程组，就能解出 ，而最终要求的范围就是解不等式 试题：（ 1） 2分 4分 6分 （ 2）由题意得 8分 10分 13分 答：当声音能量 时，人会暂时性失聪
12、 . 14分 考点：应用题 如图，设 是单位圆上一点，一个动点从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 12秒旋转一周 . 秒时，动点到达点 ， 秒时动点到达点 .设 ，其纵坐标满足 . （ 1）求点 的坐标，并求 ； （ 2）若 ，求 的取值范围 . 答案： (1) 点 B的坐标是 ， ； (2) 试题分析： (1)这是一个三角函数问题，要求 点坐标，我们只要求出 ，首先求出从 到 旋转的角度是多少即可，在中 是初始值，就是 ，旋转速度是，故有 ；（ 2）在（ 1）的解题过程中知 秒时点的坐标为 ，因此我们可把 表示为 的函数，转化为求三角函数的取值范围问题 试题： (1)当 时， ， 所以
13、 所以，点 B的坐标是（ 0， 1） 2分 又 秒时， 4分 . 6分 （ 2）由 ， ，得 ， 又 ， ， 8分 10分 ， ， 12分 所以， 的取值范围是 14分 考点：（ 1）单位圆的点的坐标；（ 2）现是的数量积与三角函数的取值范围 已知实数 ，函数 . （ 1）当 时，求 的最小值 ; （ 2）当 时 ,判断 的单调性 ,并说明理由； （ 3）求实数 的范围，使得对于区间 上的任意三个实数 ，都存在以 为边长的三角形 . 答案：（ 1） 2；（ 2）递增；（ 3） 试题分析： (1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数 是偶函数，因此其最小
14、值我们只要在 时求得即可；（ 2） 时， 可化简为 ，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在 上函数是单调递增的，当然在 上是递减的；（ 3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设 ，则函数 变为，问题变为求实数 的范围，使得在区间 上，恒有对于函数 ，我们知道，它在 上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间 上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是 ， ， ，在 时还要讨论最大值在区间 的哪个端 点取得，也即共分成四类 试题：易知 的定义域为 ，且 为偶函数 . （ 1） 时 , 2分 时 最小值为 2. 4分 （ 2） 时 , 时， 递增； 时， 递减； 6分 为偶函数 .所以只对
15、 时，说明 递增 . 设 ，所以 ，得 所以 时， 递增； 10分 （ 3） ， ， 从而原问题等价于求实数 的范围，使得在区间 上， 恒有 . 11分 当 时， 在 上单调递增， 由 得 ， 从而 ； 12分 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 由 得 ，从而 ； 13分 当 相关试题 2014届上海市浦东新区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（带） 设项数均为 （ ）的数列 、 、 前 项的和分别为 、 .已知集合 = . （ 1）已知 ，求数列 的通项公式； （ 2）若 ，试研究 和 时是否存在符合条件的数列对（ ， ），并说明理由； （ 3）若 ，对于固定的 ，求证：符
16、合条件的数列对（ ， ）有偶数对 . 答案：（ 1） ；（ 2） 时，数列 、 可以为（不唯一） 6,12,16,14； 2,8,10,4， 时，数列对（ ， ）不存在 .（ 3）证明见 试题分析：（ 1）这实质是已知数列的前 项和 ，要求通项公式 的问题，利用关系 来解决；（ 2） 时，可求出 ，再利用 = ，可找到数列对（ ， ）（注意结果不唯一），当 时，由于 ，即 ，可以想象，若存在，则应该很大（体现在 ），研究发现 （具体证明可利用二项展开式，注意到 ，展开式中至少有 7 项，故 ，下面证明这个式子大于 ，应该很好证明了），这不符合题意，故不存在；（ 3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（ ，），构造新数列对 ， （ ），则数列对（ ， ）也满足题意，（要说明的是 及= 且数列 与 ， 与不相同（用反证法，若相同，则 ，又 ，则有均为奇数，矛盾） 试题：（ 1） 时， 时， ， 不适合该式 故， 4分 （ 2） ， 时， 6分 当 时， ， ， ， = 数列 、 可以为（不唯一）： 6,12,16,14； 2,8,10,4 16,10,8,14； 12,6,2,4 8分 当 时， 此时 不存在 .故数列对（ ， ）不存在 . &
