1、2014届上海市黄浦区高考模拟（二模）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 四棱锥 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下 (AB平行于主视图投影平面 ) 则四棱锥 的体积 =( ) A 24 B 18 CD 8 答案： D 试题分析：由三视图可知四棱锥的底面矩形的两边长分别为 4和 2，高为 3，因此 考点：三视图与体积 已知 ，则直线 与圆：的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离 D不能确定 答案： B 试题分析：方程组 只有一解 ，即题设中直线与圆只有一个公共点 ，因此它们相切，选 B. 考点：直线和圆的位置关系 . 已知空间直线 不在平面 内，则
2、 “直线 上有两个点到平面 的距离相等 ”是 “ ”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 答案： B 试题分析：当 时，直线 上所有点到平面 的距离都相等，但当 时，直线 上所有点到平面 的距离也相等，本题只能选 B. 考点：直线与平面平行的判定与性质 . 已知 ，且 ，则下列结论恒成立的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：当 都是负数时， 不成立，当 一正一负时， 不成立，当时， 不成立，因此只有 是正确的 . 考点：基本不等式 . 填空题 函数 的定义域是 答案： 试题分析：由题意 ， 考点：函数的定义域 某个不透明的袋中装有除颜色外
3、其它特征完全相同的 7个乒乓球 (袋中仅有白色和黄色两种颜色的球 )，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是 ，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 答案： 试题分析：由题意，袋中白色球有 2个，黄色球有 5个，随机摸两个的方法数有 ，而摸到的一个是白色球，一个是黄色球的方法数为 ，所求概率为 考点：古典概型 已知实数 满足线性约束条件 则目标函数 的最大值是 答案： 试题分析：作出可行域，如图可行域为 内部 (含边界 )，作直线，向上平移直线 ， 在减少，因此当 过点 时， 取得最大值为 考点：线性规划 已知直线 ，则直线 的夹角的大小是 (结
4、果用反三角函数值表示 ) 答案： 试题分析：由题意， ， ， ，所以 考点：两条直线的夹角 若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为 ，球心到该截面的距离是，则这个球 的表面积是 答案： 试题分析：由题意截面半径为 ，球半径为 ，所以 考点：球的截面的性质，球的表面积 已知 是虚数单位，以下同 )是关于 的实系数一元二次方程的一个根，则实数 ， 答案： 试题分析：由题意 是方程的另一根，因此 ， ， 考点：实系数二次方程的复数根 函数 的最小正周期 答案： 试题分析： ， 考点：函数的周期 已知全集 ，集合 ， 若，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意 ， ， ，由，得 ，即 考点：
5、集合的运算 已知等差数列 的公差为 ， ，前 项和为 ，则的数值是 答案： 试题分析：由题意 ， ， 题 考点：数列的极限 函数 的单调递增区间是 答案： 试题分析：当 时， ，增区间为 ，当时， ，增区间为 填 考点：分段函数的单调区间 函数 的反函数是 ，则反函数的式是 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以反函数为 ， 考点：求反函数 方程 的解 答案： 试题分析：由已知得 ，即 ， ，所以 ， 考点：解对数方程 在 中，角 所对的边的长度分别为 ，且， 则 . 答案： 试题分析：由余弦定理知 ，所以 ， 考点：余弦定理 解答题 已知函数 是定义域为 的偶函数 .当 时
6、，若关于 的方程 有且只有 7个不同实数根，则 的值是 答案： 试题分析：首先研究函数 的性质， 在 和 上是减函数，在和 上是增函数， 时，取极大值 1， 时，取极小值 ，当 时， ，因此方程 有 7个根，则方程必有两个根 ，其中 ， ， 由此可得 ，所以 . 考点：偶函数的性质，曲线的交点与方程的根 . 已知矩形 是圆柱体的轴截面， 分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为 ，且该圆柱体的体积为 ，如图所示 (1)求圆柱体的侧面积 的值； (2)若 是半圆弧 的中点，点 在半径 上，且 ，异面直线与 所成的角为 ，求 的值 答案： (1) ； (2) 试题分析：要求圆柱
7、侧面积，必须求得圆柱的底面半径 和母线长 ，这里可由已知体积求得，首先由题意 ， ， ，由此可得侧面积； (2)要求异面直线所成的角，关键是作出这个角，由于待求夹角的两异面直线中有一条是圆柱的高，因此平行线很好作，例如圆柱的母线一定与高平行，可取过 的母线，得夹角，也可取上底面半径 的中点 ，则 ， 就是我们所要求的角，然后在 中解得 试题： (1)设圆柱的底面圆的半径为 ，依据题意，有， (2)设 是线段 的中点，联结 ，则 因此， 就是异面直线 与 所成的角，即 又 ， ， 考点：（ 1）圆柱的体积与侧面积；（ 2）异面直线所成的角 已知复数 (1)求 的最小值； (2)设 ，记 表示复数
8、 z的虚部 ).将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再把所得的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像 .试求函数 的式 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由于 ，因此，把根号里面的式子化为一个三角函数，就可最小值， ，思见其最小值为 ；（ 2） ，故，根据图象平移的知识可很快得出 的表达式 . 试题： (1) ， . 当 ，即 时， . (2) ， . . 将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )后，得到的图像所对应的函数是 . 把函数 的图像向右平移 个单位长度，得到的图像对应的函数是 . 考点：复数的运算，三角函
9、数的最值，图象变换 . 某通讯公司需要在三角形地带 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域 内，乙中转站建在区域 内分界线 固定，且 = 百米，边界线 始终过点 ，边界线 满足 设 ( )百米， 百米 . (1)试将 表示成 的函数，并求出函数 的式； (2)当 取何值时？整个中转站的占地面积 最小，并求出其面积的最小值 答案：（ 1） ；（ 2）：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小面积是 平方米 . 试题分析：（ 1）要求函数关系式，实际上是建立起 之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积， ，从这个等式中，解出 ，即得要求的函数式；（ 2）有了
10、（ 1）中的关系式，就可表示为一个字母 的式子 ，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形 ，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值 . 试题： (1)结合图形可知， 于是， ， 解得 (2)由 (1)知， ， 因此， (当且仅当 ，即 时，等号成立 ) 答：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小面积是平方米 .12分 考点：求函数式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式 . 已知数列 满足 ( ) (1)求 的值； (2)求 (用含 的式子表示 )； (3)记 ，数列 的前 项和为 ，求 (用含 的式子表示 ) ) 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）
11、 试题分析：（ 1）求数列的某些项，根据题中条件，我们可依次求得；（ 2）从（ 1）中特殊值可能看不到数列 的项有什么规律，但题中要求 ，那我们看看能否找到此数列的项之间有什么递推关系呢？把已知条件 ，代入 即得，由这个递推关系可采取累加的方法求得 ；（ 3）首先要求出数列 的通项公式 ，由 (2)易得 ，从通项公式形式可算出，求其前 项和可用分组求和法，把它变成一个等比数列的和与一个等差数列的和 试题： (1) ( )， (2)由题知，有 (3)由 (2)可知， ， 考点：（ 1）数列的项；（ 2）数列的通项公式；（ 3）分组求和 已知点 在双曲线 上，且双曲线的一条渐近线的方程是 (1)求
12、双曲线 的方程； (2)若过点 且斜率为 的直线 与双曲线 有两个不同交点，求实数 的取值范围； (3)设 (2)中直线 与双曲线 交于 两个不同点，若以线段 为直径的圆经过坐标原点，求实数 的值 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）. 试题分析： (1)要求双曲线的标准方程，必须找到关于 的两个等式，题中一条渐近线方程为 ，说明 ，这是一个等式，点 在双曲线上，那么此点坐标适合双曲线方程，代入进去又可得到一个等式，这样可解得 ； (2)直线与双曲线有两个不同的交点，直接把直线方程与双曲线方程联立方程组，此方程组有两解，方法是消去一个元 ，得到关于 的二次方程，此方程是二 次方程有两个不等的实根，则 ； (3)题设条件说明 ，如果设 ，则有 ， 可用 表示出来，而在 (2)中可用 表示出来，代入刚才的等式，得到 的方程，可解得 试题： (1)由题知，有 解得 因此，所求双曲线 的方程是 (2) 直线 过点 且斜率为 ， 直线 ： 联立方程组 得 又直线 与双曲线 有两个不同交点， 解得 (3)设交点为 ，由 (2)可得 又以线段 为直径的圆经过坐标原点， 因此， 为坐标原点） 于是， 即 ， ， ，解得 又 满足 ，且 ， 所以，所求实数 考点：（ 1）双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线有两个交点问题； (3)两直线垂直与圆锥网线综合题
