1、2014届北京市丰台区高三一模文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ,则 等于 ( ). A B C D 答案： D 试题分析：由已知得， ，所以. 考点：集合间的基本运算 在同一直角坐标系中，方程 与方程 表示的曲线可能是 ( ). 答案： A 试题分析：直线方程变形为： ，在选项 B和 C中， ，解得，所以 表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线，所以 B和 C都是错误的；在选项 A中， ，解得 ，所以 表示的曲线是椭圆；在选项 D中， ，解得 ， 同号，所以不可能表示双曲线，选项 D错误 . 考点： 1.直线方程； 2.椭圆定义； 3.双曲线定义 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥
2、的体积是 ( ). A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知，这个三棱锥的底面是底为 ，高为 的三角形，三棱锥的高是 ，所以三棱锥的体积： . 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积 某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选 1人参加该行业全国技能大赛 .经过 6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示 . 若甲乙两人的平均成绩分别是 ， ，则下列说法正确的是 ( ). A ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 答案： D 试题分析： ，所以 ., ,因为 ，
3、所以乙成绩比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 . 考点： 1.茎叶图； 2.平均数和方差 设向量 = ， = ，则 “ ”是 “ / ”的 ( ). A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 时， ， ，此时 ；当 时，解得 .所以 “ ”是 “ ”的充分而不必要条件 . 考点： 1.充分条件、必要条件和充要条件的判断； 2.向量平行的坐标表示 已知函数 是定义在 R上的偶函数，它在 上是减函数 . 则下列各式一定成 立的是 ( ). A B C D 答案： C 试题分析：因为函数 是定义在 R上的偶函数，且在 是减函数，所以有： ，
4、则选项 A错误； ，则选项 B错误； ，则选项 C正确； ，则选项 D错误 . 考点： 1.偶函数的性质； 2.函数的单调性 执行如图所示的程序框图，输出的 x值为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： ， ， 否， ， 否， 否， ， 是，输出 . 考点：程序框图 . 已知等比数列 中， 1， 2，则 等于 ( ). A 2 B 2 C 4 D 4 答案： C 试题分析： ， ， ，可见， ， 依旧成等比数列，所以 ，解得 . 考点：等比数列的性质 填空题 设不等式组 表示的平面区域为 M，不等式组表示的平面区域为 N.在 M内随机取一个点，这个点在 N内的概率为 P. 当 时，
5、P=_； P的最大值是 _. 答案： 试题分析：不等式组 表示的平面区域为 M，如图所示： 区域 M的面积是 ，区域 N是长为 ，宽为 的长方形，面积为，在 M内随机取一个点，这个点在 N内的概率 . 当 时，； . 考点： 1.几何概型； 2.二次函数的最值 A， B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务 .A机到达甲地完成任务后原路返回； B机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回 .图中折线分别表示 A， B两架直升机离甲地的距离 s与时间 t之间的函数关系 . 假设执行任务过程中 A,B均匀速直线飞行，则 B机每小时比 A机多飞行 公里 . 答案： 试题分析： A、 B两架
6、直升机飞行所用的时间是一样的，但是 B机多飞行了两个甲地到乙地的距离，那么这个距离除以总时间即是 B机每小时比 A机多飞行的距离 .由图可知，甲地到乙地的距离是 40公里， (40 40)4 20(公里 ). 考点：距离和时间的关系图 已知函数 ,点 P( )在函数 图象上，那么 的最小值是 _. 答案： 试题分析：点 在函数 的图像上，所以有 ，因为 ，所以 . 考点：基本不等式 以点（ -1,1）为圆心且与直线 相切的圆的方程为_. 答案： 试题分析：由已知可得，所求圆的半径即是点 到直线 的距离：，所以圆的方程为： . 考点：直线与圆的位置关系 复数 在复平面内对应的点的坐标是 _. 答
7、案： 试题分析： ，所以复数 在复平面内对应的点的坐标是 . 考点：复数的运算及其几何意义 已知 ，则 的值为 _. 答案： 试题分析：将 的分子和分母同时除以 ，则有. 考点：三角函数间的基本关系 解答题 已知函数 . （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）求函数 在区间 上的最小值和最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 的最小值为 ； 的最大值为 . 试题分析：本题主要考查降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查数形结合思想，考查学生的计算能力 .第一问，利用降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之得到 的形式，再利用 求函数周期
8、；第二问，将代入，先求出 的范围，再数形结合求出 的范围，从而得到 的最大值和最小值 . 试题：（ 1） . 7分 （ 2） ， ， . 当 ，即 时， 的最小值为 ； 当 ，即 时， 的最大值为 . -13分 考点：降 幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值 . 年龄在 60岁（含 60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有 350人，他们的健康状况如下表： 其中健康指数的含义是： 2代表 “健康 ”， 1代表 “基本健康 ”， 0代表 “不健康，但生活能够自理 ”， -1代表 “生活不能自理 ”。 （ 1）随机访问该小区一位 80岁以下的老龄人，该老人生活能够
9、自理的概率是多少？ （ 2）按健康指数大于 0和不大于 0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取 5位，并随机地访问其中的 3位 .求被访问的 3位老龄人中恰有 1位老龄人的健康指数不 大于 0的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查随机事件的概率和分层抽样等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力 .第一问，利用已知的表格，在表格中的第一行中数出生活能够自理的人数，除以第一行的总人数，得到所求的概率；第二问，先利用分层抽样分别得出在抽取的 5位老龄人中，有 4位健康指数大于0，有 1位健康指数不大于 0，再把这 5人用字母表示出来，分别写出 5人中任选 3
10、人的所有情况，然后在所有情况中选出符合题意的种数，最后用 2个种数相除求概率 . 试题：（ 1）该小区 80岁以下老龄人生活能够自理的频率为， 所以该小区 80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 . -5分 （ 2）该小区健康指数大于 0的老龄人共有 280人，健康指数不大于 0的老龄人 共有 70人，所以被抽取的 5位老龄人中有 4位健康指数大于 0，有 1位健康指数不大于 0.设被抽取的 4位健康指数大于 0的老龄人为 A、 B、 C、 D，健康指数不大于 0的老龄人为 E. 从这五人中抽取 3 人，结果有 10 种： ABC、 ABD、 ABE、 ACD、 ACE、 ADE、BCD、 B
11、CE、 BDE、 CDE， 其中恰有一位老龄人健康指数不大于 0的有 6种： ABE、 ACE、 ADE、 BCE、BDE、 CDE， 所以被访问的 3位老龄人中恰有 1位老龄人的健康指数不大于 0的概率为. -13分 考点： 1.随机事件的概率； 2.分层抽样 . 如图，四边形 ABCD与四边形 都为正方形， ， F 为线段 的中点， E为线段 BC上的动点 . （ 1）当 E为线段 BC中点时，求证： 平面 AEF； （ 2）求证：平面 AEF 平面； （ 3）设 ，写出 为何值时 MF 平面 AEF(结论不要求证明 ). 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2）证明过程详见；（ 3） . 试
12、题分析：本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力 .第一问，在三角形 BCN中，利用 EF为中位线，得到 ，再利用线面平行的判定得 平面 AEF；第二问，利用2个正方形 ABCD和 ADMN，得 , ，利用线面垂直的判定得平面 ，利用线面垂直的性质得 ，在三角形 ABN中，利用线面垂直的判定，得 平面 ，利用面面垂直的判定得平面 AEF 平面 BCMN；第三问，根据图形写出结论 . 试题：（ 1）证明： F为线段 的中点 ,E为线段 BC中点，所以 ， 又 平面 AEF, 平面 AEF 所以 平面 AEF 4分 （ 2）证明：四边形 与四边形 都
13、为正方形 所以 , ，所以 平面 平面 ，故 ，所以 由题意 = ， F为线段 的中点 所以 ，所以 平面 平面 AEF 所以平面 AEF 平面 . -11分 （ 3） 14分 考点：线面平行、线面垂直、面面垂直 . 已知曲线 . （ 1）求曲线在点（ ）处的切线方程； （ 2）若存在 使得 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） (-,0) e,+). 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力 .第一问，要求切线方程，需求出切点的纵坐标和切线的切率，将 代
14、入到 中得到切点的纵坐标，将 代入到中得到切线的斜率，最后利用点斜式写出切线的方程；第二问，当时，利用 单调递增， 单调递减，求出函数的最小值，使之大于等于 0，当 时，通过对 的判断知函数在 R上单调递减，而 ，存在 使得 成立，综合上述 2种情况，得到结论 . 试题：（ 1）因为 ，所以切点为（ 0， -1） . ， ， 所以曲线在点（ ）处的切线方程为： y=(a-1)x-1. -4分 （ 2）（ 1）当 a0时，令 ，则 . 因为 在 上为减函数， 所以在 内 ，在 内 ， 所以在 内 是增函数，在 内 是减函数， 所以 的最大值为 因为存在 使得 ，所以 ，所以 . （ 2）当 时，
15、 0恒成立，函数 在 R上单调递减 , 而 ，即存在 使得 ，所以 . 综上所述， 的取值范围是 (-,0) e,+) -13分 考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值 . 如图， 已知椭圆 E: 的离心率为 ，过左焦点 且斜率为 的直线交 椭圆 E于 A,B两点，线段 AB的中点为 M,直线 ： 交椭圆 E于 C,D两点 . （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）求证：点 M在直线 上； （ 3）是否存在实数 ，使得四边形 AOBC为平行四边形 若存在求出 的值，若不存在说明理 由 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明过程详见；（ 3）存在 .
16、试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标 公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，利用已知的离心率和左焦点坐标，得到基本量 a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出点 A、 B、 M的坐标和直线的方程，令直线的方程与椭圆的方程联立，利用所得方程，根据韦达定理得到 ，从而得到 的坐标， 由直线方程获得，验证 是否在 上即可；第三问，数形结合，根据已知条件将题目转化为 C点坐标 与 M点坐标 的关系，通过直线与椭圆联立消参，得到 的坐标，令 ，解出 k的值， k有解，即存在 . 试题：（ 1）由题意可知 ，
17、，于是 . 所以，椭圆的标准方程为 . -3分 （ 2）设 ， ， ， 即 . 所以， ， ， ， 于是 . 因为 ，所以 在直线 上 . 8分 （ 3）由（ 2）知点 A到直线 CD的距离与点 B到直线 CD的距离相等， 若 BDM的面积是 ACM面积的 3倍， 则 |DM|=3|CM|，因为 |OD|=|OC|，于是 M为 OC中点，； 设点 C的坐标为 ，则 .因为 ，解得 . 于是 ，解得 ，所以 . 14分 考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标公式 . 从数列 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列 的一个子列 . （ 1）写出数列 的一个是等比数列的
18、子列； （ 2）设 是无穷等比数列，首项 ，公比为 .求证：当 时，数列不存在 是无穷等差数列的子列 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力 .第一问，在数列 的所有项中任意抽取几项，令其构成等比数列即可，但是至少抽取 3项；第二问，分 2种情况进行讨论： 和 ，利用数列的单调性，先假设存在，在推导过程中找出矛盾即可 . 试题：（ 1） （若只写出 2,8,32三项也给满分） . 4分 （ 2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为 ，通项公式为.因为 所以 . （ 1）当 时， （ 0， 1，且数列 是递减数列， 所以 也为递减数列且 （ 0， 1， , 令 ，得 ， 即存在 使得 ，这与 （ 0， 1矛盾 . （ 2）当 时， 1，数列 是递增数列， 所以 也为递增数列且 1， . 因为 d为正的常数，且 ， 所以存在正整数 m使得 . 令 ，则 ， 因为 = ， 所以 ，即 ，但这与 矛盾，说明假设不成立 . 综上，所以数列 不存在是无穷等差数列的子列 . 13分 考点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质 .
