1、2014届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，则集合 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，故 ，选 D. 考点：集合的运算 . 在平面直角坐标系 中，记不等式组 所表示的平面区域为 .在映射 的作用下，区域 内的点 对应的象为点 ，则由点所形成的平面区域的面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 得 ，代入得， ，画出平面区域，面积为 8. 考点： 1、映射的概念； 2、不等式组表示的平面区域 . 定义域为 R的函数 满足 ，且当 时， ，则当 时， 的最小值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设 ，则 ，则
2、 ，又， ， 当 时，取到最小值为 . 考点： 1、函数的式； 2、二次函数的最值 . 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 , 满足（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将方程变为标准方程为 ，由已知得， ，则，选 C. 考点： 1、椭圆的标准方程； 2、不等式的性质 . 执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：程序在执行过程中， 的值分别为 ； ； ； ，故输出的 值为 . 考点：程序框图 . 若坐标原点在圆 的内部，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 在 的内部，则有 ，解得 ，选 C. 考点： 1、
3、点和圆的位置关系； 2、二次不等式的解法 . 在平面直角坐标系 中，点 ， ，若向量 ，则实数（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，因为 ，故 ，即，解得 . 考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量垂直 . 已知命题 ： “ ， ”，那么 是（ ） A ， ， B ， C ， D ， 答案： D 试题分析：全称命题 的否定是特称命题 ，故选D. 考点：全称命题的否定 . 填空题 设 为平面直角坐标系 内的点集，若对于任意，存在 ，使得 ，则称点集 满足性质 .给出下列三个点集： ； ； . 其中所有满足性质 的点集的序号是 _ 答案： 试题分析：设集合 中的点 ， ，构造向量 ，则
4、， ，由 ，则 ，故向量夹角为，分别画出图象，从图中观察，在 中，当点 时，图象上不存在点 B，使得 . 考点： 1、向量的数量积运算及其性质； 2、函数的图象和性质 . 设函数 则 _；若函数 存在两个零点，则实数 的取值范围是 _ 答案： ； 试题分析： ；令 ，得 ，等价于的图象和直线 有两个不同的交点，在直角坐标系中画出的图象，如图所示， . 考点： 1、分段函数； 2、函数的图象和性质 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c. 若 ， ，则 _； _ 答案： ； 试题分析： ， ，则 ，由余弦定理得， 考点： 1、诱导公式； 2、余弦定理 . 已知一个正三
5、棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为 _ 答案： 试题分析：由题意知，正三棱柱的主视图为长为 2，宽为 的矩形，故其面积为 . 考点：三视图 . 在等差数列 中， ， ，则公差 _；前 17项的和_ 答案： ； . 试题分析：由已知得 ， . 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的前 项和 . 已知复数 z满足 ，那么 _ 答案： 试题分析： ，则 . 考点： 1、复数的运算； 2、复数的模 . 解答题 已知函数 ， ，且 的最小正周期为 . （ ）若 ， ，求 的值； （ ）求函数 的单调增区间 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（
6、 ）由已知可得 ，且由 ，得 ，解三角方程并注意 ，取相应范围的根；（ ）将 变形为，利用复合函数的单调性，只需 ，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间 . 试题：（ ）解：因为 的最小正周期为 ，所以，解得 由 ，得 ，即 ，所以 ， .因为 ， 所以 . （ ）解：函数，由 ，解得 所以函数 的单调增区间为 . 考点： 1、三角方程； 2、两角和与差的三角函数； 3、三角函数的单调性 . 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示 （ ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求 的值； （ ）求
7、乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； （ ）当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2分的概率 答案：（ ） ；（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据甲乙平均成绩相等列等式，得， 可求 的值为 1；（ ）因为 的取值具有随机性，故 ，有 10种可能，而乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 8种可能，故所求事件的概率为 ；（ ）从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种，数学成绩之差的绝对值不超过 2分有 7种，故概率为 . 试题：（ ）解：依题意，得 ，解得 . （ ）解：设 “乙组平均成绩超过甲组平均成绩 ”为事件 ，
8、 依题意 ，共有 10种可能 . 由（ ）可知，当 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 8种可能 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 （ ）解：设 “这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2分 ”为事件 ， 当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种，它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， 所以事件 的结果有 7种，它们是： ， ， ， ， ， . 因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2分的概率 . 考点： 1、平均数； 2、古典概型； 3、茎叶图 . 如图，在多面体 ABCDEF中，底面 ABC
9、D是边长为 2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面 BDEF 平面 ABCD， BF=3， G和 H分别是 CE和 CF的中点 . （ ）求证： AC 平面 BDEF； （ ）求证：平面 BDGH/平面 AEF； （ ）求多面体 ABCDEF的体积 . 答案：（ ）答案：详见；（ ）答案：详见；（ ） . 试题分析：（ ） 平面 平面 ，且 ，由面面垂直的性质定理知 平面 ，该题还可以利用线面垂直的判定定理证明，先证平面 ，得 ，又 ，进而证明 平面 ；（ ）要证明面面平行，需寻求两个线面平行关系，由 ，得 平面；设 ，连接 ，则 ，从而 平面 ，进而证明平面 平面 ；（ ）对于不规则几何体的
10、体积问题，可以采取割补的办法，将之转化为规则的几何体来求，所求几何体的体积等于. 试题：（ ）证明：因为四边形 是正方形，所以 . 又因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ， 所以 平面 . （ ）证明：在 中，因为 分别是 的中点，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .设 ，连接 ，在 中，因为 ， ，所以 ，又因为平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 ， 平面 ，所以平面 平面 . （ ）解：由（ ），得 平面 ， ，四边形 的面积， 所以四棱锥 的体积 .同理，四棱锥的体积 . 所以多面体 的体积 考点： 1、直线和平面垂直的判定； 2、面面平行的判定； 3、几何体的体
11、积 . 已知函数 ，其中 是自然对数的底数， . （ ）求函数 的单调区间； （ ）当 时，求函数 的最小值 . 答案：（ ） 的单调减区间为 ；单调增区间为；（ ） 试题分析：（ ）先求导函数，得 ，令 ，得递增区间为 ；令 ，得递减区间为 ；（ ）令，得 ，讨论 与区间 的位置关系，当 ，或 时，函数单调，利用单调性求最值；当 ，将定义域分段，分别判断导函数符号，得单调区间，判断函数的值图像，从而求得最值 . 试题：（ ）解：因为 ， ，所以 令 ，得 当 变化时， 和 的变化情况如下： 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 （ ）解：由（ ），得 的单调减区间为 ；单调增区间为 所以当 ，
12、即 时， 在 上单调递增， 故 在 上的最小值为 ； 当 ，即 时， 在 上单调递减， 在 上 已知 是抛物线 上的两个点，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 .设抛物线 的焦点在直线 的下方 . （ ）求 k的取值范围； （ ）设 C为 W上一点，且 ，过 两点分别作 W的切线，记两切线的交点为 . 判断四边形 是否为梯形，并说明理由 . 答案：（ ） ；（ 2）四边形 不可能为梯形，理由详见 . 试题分析：（ ）（ ）直线 过点 ，且斜率为 k，所以直线方程可设为 ，若焦点 在直线 的下方，则满足不等式 ，代入求 的范围；（ ）设直线 的方程为 ，分别与抛物线 联立，因为直线和抛物线的一个交点
13、坐标 已知，故可利用韦达定理求出切点 的横坐标，则可求在 点处的切线斜率，若四边形 是否为梯形，则有得 或 ，根据斜率相等列方程，所得方程无解，故四边形 不是梯形 . 试题：（ ）解：抛物线 的焦点为 .由题意，得直线 的方程为， 令 ，得 ，即直线 与 y轴相交于点 .因为抛物线 的焦点在直线 的下方， 所以 ，解得 ，因为 ，所以 . （ ）解：结论：四边形 不可能为梯形 .理由如下： 假设四边形 为梯形 .由题意，设 ， ， ， 联立方程 ，消去 y，得 ，由韦达定理，得，所以 . 同理，得 .对函数 求导，得 ，所以抛物线 在点处的切线 的斜率为 ，抛物线 在点 处的切线 的斜率为.
14、由四边形 为梯形，得 或 . 若 ，则 ，即 ，因为方程 无解，所以 与 不平行 . 若 ，则 ，即 ，因为方程 无解，所以 与 不平行 .所以四边形 不是梯形，与假设矛盾 .因此四边形不可能为梯形 . 考点： 1、直线的方程； 2、直线和抛物线的位置关系； 3、导数的几何意义 . 设无穷等比数列 的公比为 q，且 ， 表示不超过实数的最大整数（如 ） ,记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 . （ ）若 ，求 ； （ ）证明： （ ）的充分必要条件为 ； （ ）若对于任意不超过 的正整数 n，都有 ，证明：. 答案：（ ） ；（ ）答案：详见；（ ）答案：详见 . 试题分析：（ ）
15、由已知得， ， ， ，又 ，根据取整函数的性质，得 ， ， .进而求 ；（ ）充分性的证明：因为，且 ，故 ，从而 ；必要性的证明，因为 ，故，又 ， ，则有 ；（ ）已知数列 的前 项和（ ），可求得 ，由取整函数得， ，故 ，要证明 ，只需证明，故可联想到 ，则 ； 试题：（ ）解：因为等比数列 的 ， ，所以 ， ，. 所以 ， ， .则 . （ ）证明：（充分性）因为 ，所以 对一切正整数 n都成立 . 因为 ， ，所以 . （必要性）因为对于任意的 ， ， 当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 . 所以对一切正整数 n都有 .因为 ， ，所以对一切正整数 n都有 . （ ）证明：因为 ，所以 ， . 因为 ，所以 ， .由 ，得 . 因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 考点： 1、等比数列的通项公式； 2、数列前 n项和； 3、充要条件 .
