1、2014届四川资阳高中高三上学期第二次诊断考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A x|-1 x 2， B x|0 x 4，则集合 （ ） A x|0 x 2 B x|-1 x0 C x|2 x 4 D x|-1 x 0 答案： B 试题分析： ，所以 ，选 B. 考点：集合的基本运算 . 设 ， ，且满足 则 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：令 ，则 的图象关于原点点对称 .由题设得： ，即，所以 ，即 .选 D. 考点：函数及其性质 . 将一根长为 3m的木棒随机折成三段，折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是（ ） A B C D 答案： C
2、试题分析：设这三段分别为， ，则 .若能构成三角形，则还应满足： 即 .作出以上不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得 .选 C. 考点： 1、几何概型； 2、不等式组表示的区域 . 某算法的程序框图如图所示，则输出 S的值是（ ） A 6 B 24 C 120 D 840 答案： C 试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：，这时 .最后输出 120.选 C. 考点：程序框图 . 已知点 P在抛物线 上，且点 P到 x轴的距离与点 P到此抛物线的焦点的距离之比为 ，则点 P到 x轴的距离是 （ ） A B C 1 D 2 答案： B 试题分析：抛物线的准线为 ，设点 到 的距离为
3、，则 .选 B. 考点：抛物线 . 从 1， 3， 5， 7， 9这 5个奇数中选取 3个数字，从 2， 4， 6， 8这 4个偶数中选取 2个数字，再将这 5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列这样的五位数的个数是（ ） A 180 B 360 C 480 D 720 答案： D 试题分析：第一步，选： ；第二步，排： .根据分步计数原理得，符合条件的五位数共有： 个 .选 D. 考点：排列组合，计数原理 . 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以对称轴为： 即 ，结合选项知，选 D. 考点： 1、三角变换； 2、三角函数
4、的对称轴 . 已知 a， b R，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若 ，又 ，所以 ；反之则不一定成立，比如 ，但 .所以是充分条件，但不是必要条件 .选 A. 考点： 1、充要条件； 2、不等关系 . 已知 i是虚数单位，若 ，则 z（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，选 A. 考点：复数的基本运算 . 某班有男生 36人，女生 18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为 9的样本，则抽取的女生人数为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 答案： C 试题分析： ，选 C
5、. 考点：分层抽样 . 填空题 设满足条件 的点 构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点 构成的平面区域的面积为 （其中 ， 分别表示不大于 x， y的最大整数，例如 ， ），给出下列结论： 点 在直线 左上方的区域内； 点 在直线 左下方的区域内； ； 其中所有正确结论的序号是 _ 答案： 试题分析： .如下图所示，当点 在 A 区域时， ；当点 在 B区域时， ；当点 在 C区域时，；当点 在 D区域时， ；当点在 E区域时， .所以 . ，所以点 在直线 右上方的区域内 .所以只有 正确 . 考点： 1、新定义； 2、平面区域 . 已知双曲线 的渐近线与圆 有公共点，则该双曲线离心率的取
6、值范围是 _. 答案： 试题分析：将圆的方程配方得： .双曲线的渐近线方程为.由于双曲线 的渐近线与圆 有公共点，所以 ，即 ，所以离心率的取值范围为. 考点： 1、双曲线的离心率； 2、直线与圆的位置关系 . 设函数 则 时 x的取值范围是 _ 答案： 试题分析： 时， ； 时，.综上得， 的取值范围为：. 考点： 1、分段函数； 2、解不等式 . 展开式中 的系数是 _ 答案： -3 试题分析： ，所以 的系数为： -3 考点：二项式定理及多项式的乘法 . 在平面直角坐标系中，若点 ， ， ，则 _ 答案： 试题分析： . 考点：向量的坐标运算及向量的模 . 解答题 已知 （ ）求 的最大
7、值及取得最大值时 x的值； （ ）在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， ，求 ABC的面积 答案：（ ） ， 时，函数 取得最大值 2（ ） . 试题分析：（ ）将 展开化一，化为的形式，然后利用正弦函数的最大值，即可求得函数取得最大值 .（ ）由（ ）得 ，即 ，这是一个特殊值，可求得 因为 ，根据正弦定理，得 .这样得到一个关于 的方程，再用余弦定理列一个关于 的方程，解方程组，便可得的值，从而可求出 ABC的面积 . 试题：（ ） 2分 当 ，即 ， 时，函数 取得最大值 2 4分 （ ）由 ，得 ， ， ，解得 6分 因为 ，根据正弦定理，得 ， 8
8、分 由余弦定理，有 ， 则 ， 解得 ， ， 10分 故 ABC的面积 12分 考点： 1、三角恒等变换； 2、三角函数的最值； 3、正弦定理与余弦定理 . 某中学举行了一次 “环保知识竞赛 ”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（ 得分取正整数，满分为 100分）作为样本（样本容量为 n）进行统计按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ，的数据） 频率分布直方图 茎叶图 （ ）求样本容量 n和频率分布直方图中 x、 y的值； （ ）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80分以上（含 80分）的同学中随机抽取 3名同学到市政广
9、场参加环保知识宣传的志愿者活动，设 表示所抽取的 3名同学中得分在 的学生个数，求 的分布列及其数学期望 答案：（ ） （ ） 的分布列为： 1 2 3 . 试题分析：（ ）由频率分布直方图可求出分数在 50到 60的频率，由茎叶图可得出分数在 50到 60的人数， 由此可得样本容量 .又由茎叶图可得分数在 90到 100的人数，从而求得 .这样除了 60到 70分这一组之外，其余各组的频率都知道了，也就可以求出 的值了 .（ ）由（ ）可知，分数在 80,90)有 5人，分数在 90,100)有 2人，共 7人因为要抽取 3人，故至少有一人在 ，所以得分在 的学生个数的可能取值为 （注意一般
10、情况下是可以取 0的），这是一个超几何分布，由此可得 的分布列和期望 . 试题：（ ）由题意可知，样本容量 ， ， 3分 （ ）由题意可知，分数在 80,90)有 5人，分数在 90,100)有 2人，共 7人抽取的 3名同学中得分在 的学生个数 的可能取值为 ，则 ， ， 所以， 的分布列为 1 2 3 所以， 12分 考点： 1、频率分布直方图与茎叶图； 2、随机变量的分布列及期望； 3、超几何分布 . 在数列 中，前 n项和为 ，且 （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，数列 前 n项和为 ，求 的取值范围 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）已知前 项和公式 求 ，则 .由此可得
11、数列 的通项公式 （ ）由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法 .在本题中用错位相消法可得 这也是一个数列，要求数列的范围，首先考查数列的单调性，而考查数列的单调性，一般是考查相邻两项的差的符号 .作差易得 ，所以这是一个递增数列，第一项即为最小值 .递增数列有可能无限增大，趋近于无穷大 .本题中由于 ，所以 .由此即得 的取值范围 试题：（ ）当 时， ； 当 时， ，经验证， 满足上式 故数列 的通项公式 4分 （ ）可知 ， 则 ， 两式相减，得 ， 所以 8分 由于 ，则 单调递增，故 ， 又 ， 故 的取值范围是 12分 考点： 1、等差数列与等比数列； 2、错
12、位相消法求和； 3、数列的范围 . 设函数 （ ） （ ）若函数 是定义在 R上的偶函数，求 a的值； （ ）若不等式 对任意 ， 恒成立，求实数 m的取值范围 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）函数 是定义在 R上的偶函数，则 恒成立，代入式得： ， .即 对任意都成立，由此得 ， （ ）不等式 对任意，恒成立，则 小于等于 的最大值，而所以 对任意恒成立， 令 ，这是关于 的一次函数，故只需 取两个端点的值时不等式成立即可，即 ，解之即可得实数 m的取值范围 . 试题：（ ）由函数 是定义在 R上的偶函数，则 恒成立， 即 ，所以 ， 所以 恒成立，则 ，故 4分 （ ） 所以 对任
13、意 恒成立，令 ， 由 解得 ， 故实数 m的取值范围是 12分 考点： 1、函数的奇偶性； 2、不等式恒成立问题 . 已知点 ， ，动点 G满足 （ ）求动点 G的轨迹 的方程； （ ）已知过点 且与 轴不垂直的直线 l交（ ）中的轨迹 于 P， Q两点在线段 上是否存在点 ，使得以 MP， MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数 m的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ ） 的方程是 （ ）存在，实数 m的取值范围是 试题分析：（ ）由椭圆的定义知，动点 G的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，由题设即可得动点 G的轨迹 的方程 .（ ）要使得以 MP、 MQ为邻边的平行四边形是菱形，只
14、需 即可设 ，则， ，由 得移项用平方差公式得 设直线 的方程为 ，则 ， ，故 式变形为 ，然后用韦达定理可得一个 与 的关系式： ，由此关系式可看出，这样的点 存在，并由可求出 的取值范围 . 另外，由于 ，所以也可利用 得：. 试题：（ ）由 ，且 知，动点 G的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，设该椭圆的标准方程为 ， ， 由题知 ， ，则 ， 故动点 G的轨迹 的方程是 4分 （ ）假设在线段 上存在 ，使得以 MP、 MQ为邻边的平行四边形是菱形直线 l与 轴不垂直，设直线 的方程为 ， 由 可得 ， 6分 ， ， ，其中 由于 MP， MQ为邻边的平行四边形是菱形， 所以 ，则有 ， 8
15、分 从而 ， 所以 ， 又 ，则 ， ， 故上式变形为 ， 10分 将 代入上式，得 ， 即 ，所以 ，可知 故实数 m的取值范围是 .13分 考点： 1、椭圆的方程； 2、直线与圆锥曲线的关系 . 已知函数 （其中 ， e是自然对数的底数） （ ）若 ，试判断函数 在区间 上的单调性； （ ）若 ，当 时，试比较 与 2的大小； （ ）若函数 有两个极值点 ， （ ），求 k的取值范围，并证明 答案：（ ）函数 在区间 上是单调递减函数；（ ）； （ ）实数 k的取值范围是 ；证明详见 . 试题分析：（ ）求导，根据其符号即可得其单调性；（ ） 当 时，通过导数可得其范围，从而得出 与 2的
16、大小；（ ）函数有两个极值点 ， ，则 ， 是 的两个根，即方程有两个根 .接下来就研究函数 图象特征，结合图象便可知 取何值时，方程 有两个根 . 结合 图象可知，函数 的两个极值点 ， 满足 . ，这里面有 两个变量，那么能否换掉一个呢？ 由 ，得 ，利用这个关系式便可将 换掉而只留 ： ，这样根据 的范围，便可得 ，从而使问题得证 . 试题：（ ）由 可知，当 时，由于 ， 故函数 在区间 上是单调递减函数 3分 （ ）当 时， ，则 ， 4分 令 ， ， 由于 ，故 ，于是 在 为增函数， 6分 所以 ，即 在 恒成立， 从而 在 为增函数，故 8分 （ ）函数 有两个极值点 ， ，则 ， 是 的两个根， 即方程 有两个根，设 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增且 ； 当 时， ，函数 单调递增且 ； 当 时， ，函数 单调递减且 要使 有两个根，只需 故实数 k的取值范围是 10分 又由上可知函数 的两个极值点 相关试题 2014届四川资阳高中高三上学期第二次诊断考试理科数学试卷（带）
