1、2014届山东省威海市高三 3月模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 ， ，则 A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， 所以 ，选 . 考点：集合的基本运算，一元二次不等式解法 . 已知 ，设函数 的零点为 ， 的零点为 ，则 的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 得 ，函数 的零点为，即 的图象相交于点 ； 由 得 ，函数 的零点为 ，即 的图象相交于点 因为 互为反函数，所以 ，即 且 ， 由基本不等式得 ，当且仅当 时 “=”成立， 所以 的最大值为 . 故选 . 考点：函数的零点，反函数的图象和性质，基本不等式 . 函数 为偶函数，且在 单调递增
2、，则的解集为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知 即 ， 恒成立，故 ，即， 则 . 又函数在 单调递增，所以 . 即 解得 或 . 故选 考点：函数的奇偶性、单调性，一元二次不等式的解法 双曲线 的离心率 ，则双曲线的渐近线方程为 A B C D 答案： B 试题分析：由已知 ，所以 即 ，解得， 所以双曲线的渐近线方程为 . 考点：双曲线的几何性质 已知 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，则下列命题正确的是 ( ) A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 试题分析：由 ， ，可得 或 ， 不正确； 由 ， ，可得 或 ， 相交或 ， 互为异面直
3、线， 不正确； 由 ， ，可得 或 ， 相交， 不正确； 由 ， ，可得 ， 正确 . 选 . 考点：平行关系，垂直关系 . 考点：二项式定理 从集合 中随机抽取一个数 ，从集合 中随机抽取一个数 ，则向量 与向量 垂直的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知 有：.共 个 . 即 所以 即 ，有 ， 共 个满足条件 . 故所求概率为 . 考点：古典概型 已知函数 向左平移 个单位后，得到函数 ，下列关于的说法正确的是 ( ) A图象关于点 中心对称 B图象关于 轴对称 C在区间 单调递增 D在 单调递减 答案： C 试题分析：函数 向左平移 个单位后，得到函数即 令 ，得
4、， 不正确； 令 ，得 ， 不正确； 由 ，得 即函数的增区间为 减区间为 故选 . 考点：三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质 . 某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为 A B C D 答案： A 试题分析：由主视图与俯视图可得三棱锥 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是等腰直角三角形，且直角边长为 ，所以侧视图的面积为，选 . 考点：三视图 某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为 ( ) 分组 人数 5 15 20 10 频率 0.1 0.3 0.4 0.2 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： C 试题分析
5、： 要估计两个班的平均分， 可以认为分数是均匀分布的 . ， 故选 . 考点：频率分布表 根据给出的算法框图，计算 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：输入 ，满足 ，所以 ； 输入 ，不满足 ，所以 ，即 .故选 . 考点：算法与程序框图，函数的概念 . 若 ，则下列不等式成立的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，而对数函数要求真数为正数，所以 不成立； 因为 是减函数，又 ，则 ，故 错； 因为 在 是增函数，又 ，则 ，故 错； 在 是增函数，又 ，则 即 成立，选 . 考点：指数函数、对数函数、幂函数的性质 . （ 为虚数单位），则 ( ) A B C
6、D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，选 . 考点：复数的四则运算 填空题 函数 的定义域为 ，其图象上任一点 满足，则给出以下四个命题： 函数 一定是偶函数； 函数 可能是奇函数； 函数 在 单调递增； 若 是偶函数，其值域为 其中正确的序号为 _.（把所有正确的序号都填上） 答案： 试题分析：依题意知函数 的图象是双曲线 的一部分 . 由函数的定义，函数的图象可能是以下情况： 从以上情况可以看出： 表示偶函数， 表示奇函数， 对；由图 可知函数 在 单调递减，故 错；由图 可知函数是偶函数时，其值域也为 ，故 错 . 综上知正确的序号为 . 考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲
7、线 . 设 满足约束条件 ，则 的最大值为 _. 答案： 试题分析：画出 对应的平面区域，直线 ，如图所示 . 令 则 平移直线 ，当直线经过点 时， ；当直线经过点 时， ，所以 的最大值为 . 考点：简单线性规划的应用 已知圆 过椭圆 的两焦点且关于直线 对称，则圆 的方程为 _. 答案： 试题分析：由题可知 ，所以 ，椭圆的焦点为故圆的圆心在直线 上，又圆 关于直线 对称，圆心也在该直线上，与方程 联立可得圆心坐标为 ，半径为. 故圆的方程为 . 考点：椭圆的几何性质，圆的几何性质，圆的方程 . 函数 的单调递减区间是 _. 答案： 试题分析：依题意可知，函数的定义域为 ， . 由 得
8、，故所求单调减区间为 . 考点：应用导数研究函数的单调性 解答题 已知向量 ， . （ 1）若 ， ，且 ，求 ； （ 2）若 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 的取值范围为 . 试题分析：（ 1）根据 知 ， 利用两角和差的三角函数得到 ， 再根据角的范围得到 ； （ 2）利用平面向量的数量积，首先得到. 应用换元法令 将问题转化成二次函数在闭区间的求值域问题 . 试题： （ 1） 1分 整理得 3分 过 4分 6分 （ 2） 8分 令 9分 当 时， ，当 时， 11分 的取值范围为 . 12分 考点：，平面向量垂直的充要条件，平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，二次函数
9、的图象和性质 . 某单位招聘职工，经过几轮筛选，一轮从 2000名报名者中筛选 300名进入二轮笔试，接着按笔试成绩择优取 100名进入第三轮面试，最后从面试对象中综合考察聘用 50名 （ 1）求参加笔试的竞聘者能被聘用的概率； （ 2）用分层抽样的方式从最终聘用者中抽取 10名进行进行调查问卷 ，其中有3名女职工，求被聘用的女职工的人数； （ 3）单位从聘用的三男和二女中，选派两人参加某项培训，至少选派一名女同志参加的概率是多少？ 答案：（ 1） . （ 2）被聘用的女职工的人数为 人 .（ 3）. 试题分析：（ 1）直接应用古典概型概率的计算公式即得 . （ 2）设被聘用的女职工的人数为
10、，由 得解 . （ 3）设聘用的三男同志为 ，两个女同志记为 ，选派两人的基本事件有： , 共 10种 . 至少选一名女同志有 为 7种，应用古典概型概率的计算公式即得 . 试题：（ 1）解：设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率 ， 依题意有： . 3分 （ 2）解：设被聘用的女职工的人数为 ，则 被聘用的女职工的人数为 人 6分 （ 3）设聘用的三男同志为 ，两个女同志记为 7分 选派两人的基本事件有： , 共 10种。 9分 至少选一名女同志有 为 7种 10分 每种情况出现的可能性相等， 所以至少选派一名女同志参加的概率 12分 考点：古典概型，分层抽样 . 已知正项数列 ，其前 项和 满足
11、 且 是 和 的等比中项 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 99项和 . 答案： (1) 所以 ； (2) . 试题分析： (1) 由 知 通过 得 整理得 ， 根据 得到 所以 为公差为 的等差数列，由 求得 或 .验证舍去 . (2) (2) 由 得 ，利用对数的运算法则，将转化成 . 试题： (1) 由 知 1分 由 得 整理得 2分 为正项数列 ， 3分 所以 为公差为 的等差数列，由 得 或 4分 当 时， ，不满足 是 和 的等比中项 . 当 时， ，满足 是 和 的等比中项 . 所以 . 6分 (2) 由 得 ， 8分 所以 10分 12分 考点：等差
12、数列的通项公式，对数运算，数列的求和 . 如图，矩形 所在的平面和平面 互相垂直，等腰梯形 中， ， =2， ， ， ， 分别为 ， 的中点，为底面 的重心 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求多面体 的体积 . 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用矩形 所在的平面和平面 互相垂直，且得到 平面 ， ； 应用余弦定理知 ，得到 ； 由 平面 ，得到平面 平面 ； （ 2）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化； 8分 （ 3）将多面体 的体积分成三棱锥
13、 与 四棱锥 的体积之和，分别加以计算 . 试题：（ 1） 矩形 所在的平面和平面 互相垂直，且 平面 ， 又 平面 ，所以 1分 又 ， ， ，由余弦定理知 ， 得 2分 平面 ， 3分 平面 ； 平面 平面 ； 4分 （ 2）连结 延长交 于 ，则 为 的中点，又 为 的中点， ，又 平面 ， 平面 5分 连结 ，则 ， 平面 设函数 （其中 ）， ，已知它们在 处有相同的切线 . （ 1）求函数 ， 的式； （ 2）求函数 在 上的最小值； （ 3）判断函数 零点个数 . 答案：（ 1） . （ 2） ； （ 3）函数 只有一个零点 . 试题分析： (1) 应用导数的几何意义，确定切点处
14、的导函数值，得切线斜率，建立 的方程组 . (2) 应用导数研究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于 中 的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论 . 当 时， 在 单调递减， 单调递增， 得到 . 当 时， 在 单调递增，得到 ； 即 . （ 3）由题意 求导得 ， 由 , 确定的单调区间： 上单调递增，在上单调递减 根据 ， 得到函数 只有一个零点 . 13分，即得所求 . 试题： (1) ， 1分 由题意，两函数在 处有相同的切线 . ， . 3分 (2) ，由 得 ，由 得 ， 在 单调递增，在 单调递减 . 4分 当 时， 在 单调递减， 单调递增， . 5分 当 时， 在 单调递
15、增， ； 6分 （ 3）由题意 求导得 ， 8分 由 得 或 ，由 得 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 10分 过椭圆 的左顶点 作斜率为 2的直线，与椭圆的另一个交点为 ，与 轴的交点为 ，已知 . （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，若 轴上存在一定点 ，使得 ，求椭圆的方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ I）根据 ,设直线方程为 , 确定 的坐标，由 确定得到 ， 再根据 点在椭圆上，求得 进一步即得所求 ； （ 2）由 可设 , 得到椭圆的方程为 ， 由 得 根据动直线 与椭圆有且只有一个公共点 P 得到 ,整理得 . 确定 的坐标 ， 又 , 若 轴上存在一定点 ，使得 ,那么 可得 ,由 恒成立 ,故 ，得解 . 试题：（ 1） ,设直线方程为 , 令 ,则 , , 2分 3分 ， = , 整理得 4分 点在椭圆上 , , 5分 即 , 6分 （ 2） 可设 , 椭圆的方程为 7分 由 得 8分 动直线 与椭圆有且只有一个公共点 P ,即 整理得 9分 设 相关试题 2014届山东省威海市高三 3月模拟考试文科数学试卷（带）
