1、2014届山东省郯城一中高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知条件 ，条件 ，则 是 成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案： B 试题分析：由 等价于 ，得 ： ， ，所以， 是 成立的必要不充分条件， 选 B. 考点：充要条件，不等关系 . 对任意实数 a,b定义运算 如下 ，则函数的值域为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为，对任意实数 a,b定义运算 如下 ， 所以， = = ， 故 ，选 B. 考点：分段函数，对数函数的性质，新定义 . 已知函数 下列结论中 函数的图象是中心对称图形 若 是 的
2、极小值点，则 在区间单调递减 若 是 的极值点，则 . 正确的个数有 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析： 对于 ，当 时， ，当时， ； ，命题正确； = ， 关于点 )成中心对称， 命题正确； （ i）当 时， 有两解，不妨设为 ，列表如下 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知： 是函数 的极小值点，但是 在区间 不具有单调性， 命题不正确； （ ii）当 时， 恒成立， 在 R上单调增函数，不存在极值点； 由表格可知 分别为 的极值点，且 ， 命题正确 综上，正确的命题有 ； 故选 C 考点：应用导数研究函数的单调性、极值
3、 若函数 ，若 ,则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为， ，所以， 即， ， 所以， 或 ，解得， 或 ，故选 A. 考点：分段函数，对数及对数运算 . 已知 是 的一个零点， ，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为，函数 在 是单调减函数，所以，当 是的一个零点时，在 的两侧，函数值异号；如果，应有 ，故选 C. 考点：函数零点存在定理，函数的单调性 . 在 中，角 A， B， C所对边分别为 a,b,c，且 ，面积，则 等于 ( ) A B 5 C D 25 答案： B 试题分析： ， ， 由余弦定理得 ， ，故选B. 考点：余弦定理的
4、应用 已知 ，若 ，则 = ( ) A 1 B -2 C -2或 4 D 4 答案： D 试题分析： ，即 ，解得，（因为 ），故选 D. 考点：定积分基本定理 已知 ，把数列 的各项排列成如下的三角形状， 记 表示第 行的第 个数，则 = ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 表示第 行的第 个数，可知， 表示第 10行的第12个数， 根据图形可知： 每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第 10行的最后一个项的项数为 ， 即为 ； 每一行都有 个项，所以第 10行有 210-1=19项，得到第 10行第一个项为 100-19+1=82，所以第 12项的项数为 82+12-1=
5、93； 所以 ，故选 A 考点：归纳推理 已知命题 p1：函数 在 R上为增函数， p2：函数 在 R上为减函数，则在命题 和 中，真命题是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： = 在 R上为增函数， 真； 而对 ，当 时 ，又 ，所以 ，函数单调递增； 同理得当 时，函数单调递减，故 是假命题 由此可知， q1真， q2假， q3假， q4真 故选 C 考点：简单逻辑联结词，函数的单调性，应用导数研究函数的单调性 . 设 是定义在 R上的奇函数，当 ，则 = ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 答案： A 试题分析：由 是定义在 R上的奇函数，且当 ， 得 ，选 A. 考点：
6、函数的奇偶性 将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1个单位，所得函数图象对应的式为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：将函数 的图象向右平移 个单位，得到，再向上平移 1个单位，得到，故选 C. 考点：三角函数图象变换 已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， 的定义域为 ，所以，由 ，得， 所以，函数 的定义域为 ，选 B. 考点：函数的定义域 填空题 已知函数 的定义域 -1， 5，部分对应值如表， 的导函数的图象如图所示，下列关于函数 的命题； x -1 0 2 4 5 F(x) 1 2 1.5 2 1 函数 的值域
7、为 1， 2； 函数 在 0， 2上是减函数； 如果当 时， 的最大值是 2，那么 t的最大值为 4； 当 时，函数 最多有 4个零点 . 其中正确命题的序号是 . 答案： 试题分析：由 的导函数 的图象可看出（如表格）， 0 （ 0,2） 2 （ 2,4） 4 + 0 - 0 + 0 - 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 由表格可知：函数 在区间 -1， 0）上单调递增，在区间（ 0， 2）上单调递减，在区间（ 2， 4）上单调递增，在区间（ 4， 5上单调递增 正确； 函数 在 x=0和 x=4时，分别取得极大值，在 x=2时取得极小值，且由对应值表 f（ 0） =2， f（ 2）
8、=1.5， f（ 4） =2，又 f（ -1） =1， f（ 5） =1 函数 的值域为 1， 2 正确； 根据已知的对应值表及表格画出图象如下图： 根据以上知识可得：当 时， 的最大值是 2，则 t=0，或4故 不正确； 由图象可以看出：当 1.5 a 2时，函数 有 4个零点； 当 a=2时，函数 有 2个零点；当 a=1.5时，函数有 3个零点； 当 1a 1.5时，函数 有 4个零点； 当 1 a 2时，函数 最多有 4个零点故 正确 综上可知 正确 故答案：为 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点 . 已知奇函数 满足 ，且当 时， ，则的值为 答案： 试题分析：因为，奇
9、函数 满足 ，所以，函数 是周期为 4 的周期函数；又当 时， ，所以， = ，答案：为 . 考点：函数的奇偶性、周期性 若实数 满足 ，则 的值域是 . 答案： 1,9 试题分析：首先画出可行域（如图），直线 ，平移直线 知，过 时， 最小值为 0，过点 时， 的最大值为 2； 根据指数函数 是单调增函数，即可得到 的值域为 1,9. 考点：简单线性规划的应用，函数的值域 . 不等式 的解集是 答案： 试题分析：解答本题可利用 “分段讨论法 ”，也可利用 “几何法 ”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式 的解集是 . 考点：绝对值不等式的解法 解答题 函数 的部分图象如图所示。 （ 1
10、）求 的最小正周期及式； （ 2）设 ，求函数 在区间 上的最小值 . 答案：（ 1） .（ 2） 有最小值为 . 试题分析：（ 1）本题较为简单，通过观察图象可得， . 根据 时， ，可得 ， 结合 可求得 ，进一步可得式 . （ 2）利用三角函数的和差倍半公式，将 化简为 . 通过确定 ，应用函数的图象得到 的最小值为 . 试题：（ 1）由图可得 ，所以 . 3分 当 时， ，可得 ， . 6分 （ 2） . 9分 . 当 ，即 时， 有最小值为 . 12分 考点：三角函数的图象和性质，三角函数的和差倍半公式 . 已知 a， b， c分别为 ABC的三个内角 A， B， C的对边，向量，且
11、向量 . （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 的面积为 ，求 b， c. 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据平面向量互相垂直，它们的数量积为零，可得到 ， 再根据 ，得到 （ 2）利用三角形面积公式即余弦定理，得到 及 ，解方程组即得所求。 本题虽然不难，但知识覆盖面较广，能考查考生灵活运用平面向量知识、三角知识解题的能力 . 试题：（ 1）向量 ，且向量 . 所以， ，即 ， ， （ 2） ，且 ， ，故 ， 又 且 a=2， ，从而 ， 解 得， 考点：平面向量的坐标运算，余弦定理的应用 . 已知各项均为正数的数列 前 n项和为 ，首项为 ，且 等差数列。 （ 1）求数列
12、的通项公式； （ 2）若 ，设 ，求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）解答此类问题，一般方法是 “两步一验 ”，即分别确定， 利用两式相减得到 ，根据 作出判断，易错之处，是忽视对 的情况，是否适合 的情况 . （ 2）通过确定 的通项公式 ，其结构特点适合于应用 “错位相减法 ”求 .应注意准确确定和式中的项数 . 试题：（ 1）由题意知 1分 当 时， 当 时， 两式相减得 3分 整理得： 4分 数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列。 5分 （ 2） ， 6分 - 得 9分 . 11分 12分 考点：数列的通项公式，等比数列的求和公式， “错位相减法
13、 ”. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元 /千克）满足关系式 其中为常数。己知销售价格为 5元 /千克时，每日可售出该商品 11千克。 （ 1）求 的值； （ 2）若该商品的成本为 3元 /千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。 答案：（ 1） （ 2） 时，函教 取得最大值，且最大值为 42. 试题分析：（ 1）将 代入计算即得所求 . （ 2）依题意，该商品每日的销售量 ， 所以商场每日销售该商品所获得利润 利用导数，通过 “求导数、求驻点、讨论区间导数值符号、确定极值、比较区间端点函数值、确定最值 ”. 利
14、用 “表解法 ”，形象直观，易于理解 . 试题：（ 1）因为 时， 。所以 3分 （ 2）由（ 1）可知，该商品每日的销售量 ， 所以商场每日销售该商品所获得利润 7分 从而 9分 于是，当 变化时， ， 的变化情况如下表 （ 3,4） 4 （ 4,6） + 0 单调递增 极大值 42 单调递减 由表知， 是函数 在区间 内的极大值点，也是最大值点。 所以当 时，函教 取得最大值，且最大值为 42 12分 考点：生活中的优化问题举例，利用导数研究函数的最值 . 设 . （ 1）当 取到极值，求 的值； （ 2）当 满足什么条件时， 在区间 上有单调递增的区间 . 答案：（ 1） ；（ 2） .
15、 试题分析：（ 1）遵循 “求导数、求驻点、讨论区间导数值的正负、确定极值 ”. （ 2）要使 上有单调增区间， 也就是 等价于 ， 通过讨论 三种情况，利用 “分离参数法 ”，转化成不等式恒成立，通过确定函数的最值，得到 的范围 . 试题：（ 1）由题意知 1分 且 ，由 当 5分 （ 2）要使 即 7分 （ i）当 （ ii）当 ，解得： （ iii）当 此时只要 ，解得： 10分 综上得： 12分 考点：应用导数研究函数的极值， “分离参数法 ”. 已知函数 （ 1）当 时，求曲线 在点 处 的切线方程； （ 2）当 时，若 在区间 上的最小值为 -2，求 的取值范围； （ 3）若对任意
16、 ，且 恒成立，求的取值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ;(3) . 试题分析：（ 1）曲线 在点 处的切线斜率，等于函数在该点的导数值 . （ 2）遵循 “求导数、求驻点、讨论区间导数值的正负、确定极值 ”等步骤， 通过讨论 ， ， ， 时函数的单调性，确定得到最小值， 确定 的取值范围 . （ 3）根据题目的条件结构特征，构造函数 ，即， 只要 在 上单调递增即可 . 通过研究 讨论 ， ，得到 在 上单调递增； 当 时，只需 在 上恒成立，因为 ，将问题转化成只要 ，从而，利用一元二次不等式的知识，得到实数 的取值范围 . 本题突出利用了 “转化与化归思想 ”. 试题：（ 1）当 时， ， ， 曲线 在点 处的切线方程是 ； （ 2）函数 x的定义域是 当 时， 令 ，得 或 当 ，即 时， 在 上单调递增， 所以 在 上的最小值是 ； 当 时， 在 上的最小值是 ，不合题意； 当 时， 在 上单调递减， 所以 在 上的最小值是 ，不合题意 综上， a1； （ 3）设 ，则 ， 只要 在 上单调递增即可。 10分 而 当 时， ，此时 在 上单调递增； 11分 当 时，只需 在 上恒成立，因为 ，只要， 则需要 ，
