1、2014届山东省青岛市高三 4月统一质量检测考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， 所以 选 考点：集合的运算 已知定义在实数集 上的偶函数 满足 ，且当时， ，则关于 的方程 在 上根的个数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意可得， 即函数 为周期为 的周期函数，又 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数 ， 的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程 在 上根的个数，结合函数图象可知，共有 个交点，故选 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点 已知三棱锥 中， ， ， ， ，则关于该三
2、棱锥的下列叙述正确的为（ ） A表面积 B表面积为 C体积为 D体积为 答案： A 试题分析：如图所示，由已知， 平面 ， 所以， , 即三棱锥的各个面均为直角三角形， 所以，三棱锥的表面积为，选 考点：垂直关系，几何体的表面积与体积 已知点 与点 在直线 的两侧，且 ， 则的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知， ，画出可行域及直线 ，如图所示 平移 ，当其经过点 时， ； 当其经过点 时， ，故选 考点：简单线性规划 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学共有学生 名，抽取了一个容量为 的样本，已知样本中女生比男生少 人，则该校共有女生
3、（ ） A 人 B 人 C 人 D 人 答案： D 试题分析：抽样比为 ，设样本中女生有 人，则 +（ ， 所以， ，该校共有女生 人， 故选 考点：分层抽样 如图是一个算法的流程图若输入 的值为 ，则输出 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，执行程序， ，不满足 ， 执行程序， ，不满足 ， 执行程序， ，满足 ，输出 故选 考点：算法与程序框图 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与圆相交于 两点， 若点 在圆 上，则实数（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 ，将直线方程代人 ， 整理得， ， 所以， ， 由于点 在圆 上，所以， ， 解得， ，故选 考
4、点：直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算 函数 （ )的图象如图所示，则的值为 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知， ，所以 ， 将 代人得， ，所以， ， ，故选 考点：正弦型函数，三角函数求值 数列 为等差数列， 为等比数列， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：设公差为 ，由已知， ，解得 ， 所以， ，故选 考点：等差数列、等比数列 已知复数 ，其中 为虚数单位，则 的实部为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 所以 ，其实部为 ，选 考点：复数的四则运算，复数的概念 填空题 对于下列命题： 函数 在区间 内有零点的充分不必要条件是 ； 已
5、知 是空间四点，命题甲： 四点不共面，命题乙：直线 和 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件； “ ”是 “对任意的实数 ， 恒成立 ”的充要条件； “ ”是 “方程 表示双曲线 ”的充分必要条件其中所有真命题的序号是 答案： 试题分析：函数 在区间 内有零点，即， 解得， ；由 知， 是真命题； 对于 已知 是空间四点，命题甲： 四点不共面，命题乙：直线 和 不相交，则甲 乙，反之，乙推不出甲， 是真命题； 由于 所以， 恒成立；反之，时，不一定 ， 是假命题； 方程 表示双曲线等价于方程 ，故 是真命题 故答案：为 考点：充要条件，函数零点存在定理，绝对值不等式的性质，双曲线 如图， 是可
6、导函数，直线 是曲线 在 处的切线，令，则 答案： 试题分析：观察图形可知， ，切线 过点 ， 所以，切线方程为 ，因此， ； 故 考点：导数的几何意义，直线方程，商的导数计算法则 已知 ， 和 的夹角为 ，以 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 答案： 试题分析：由已知得，平行四边形面积为 考点：平面向量的数量积、夹角、模，平行四边形的面积 已知 与 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中 的值没有写上当 等于 时，预测 的值为 答案： 试题分析：由已知， ， ， 所以 ， ， 当 时， ，答案：为 考点：回
7、归直线方程及其应用 抛物线 的焦点坐标为 答案： 试题分析：由于 ，焦点在 轴的正半轴，所以，抛物线 的焦点坐标为 考点：抛物线的几何性质 解答题 已知函数 ， （ 1）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （ 2）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 , 为坐标原点 ,求的外接圆的面积 答案：（ 1）最小正周期为 ，单调递增区间是 （ ）；（ 2） 试题分析：（ 1）首先应用三角函数公式，化简得到 ，其最小正周期为 ，由复合函数的单调性，根据解得函数 的单调递增区间是（ ）； （ 2）由已知求得， 从而 ， ， 由 ，求得 的外接圆的半径为 ，进一步计算 试题：（ 1） ， 2分 所以，函数
8、 的最小正周期为 3分 由 （ ）得 （ ）， 函数 的单调递增区间是 （ ） 5分 （ 2） ， ， 7分 从而 ， 10分 设 的外接圆的半径为 ， 由 的外接圆的面积 12分 考点：三角函数式的化简，三角函数的性质，正弦定理的应用，圆面积公式 已知函数 （ 1）从区间 内任取一个实数 ，设事件 =函数 在区间上有两个不同的零点 ，求事件 发生的概率； （ 2）若连续掷两次骰子 (骰子六个面上标注的点数分别为 ）得到的点数分别为 和 ，记事件 在 恒成立 ，求事件 发生的概率 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据函数 在区间 上有两个不同的零点， 得知 有两个不同的正根 和
9、， 由不等式组 ，利用几何概型得解 （ 2）应用基本不等式得到 ， 由于 在 恒成立，得到 ； 讨论当 ， ， 的情况， 得到满足条件的基本事件个数，而基本事件总数为 ， 故应用古典概型概率的计算公式即得解 试题：（ 1） 函数 在区间 上有两个不同的零点， ，即 有两个不同的正根 和 4分 6分 （ 2）由已知： ，所以 ，即 ， 在 恒成立 8分 当 时， 适合 ； 当 时， 均适合 ； 当 时， 均适合 ； 满足 的基本事件个数为 10分 而基本事件总数为 ， 11分 12分 考点：古典概型，几何概型，一元二次方程根的分别，基本不等式的应用，不等式恒成立问题 如图，在四棱锥 中，底面 为
10、正方形， 平面 ，已知 ， 为线段 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求四棱锥 的体积 答案：（ 1）见； （ 2）四棱锥 的体积 试题分析： （ 1）注意做辅助线，连结 和 交于 ，连结 ， 根据 为 中点， 为 中点，得到 ， 即证得 平面 ； （ 2）分析几何体的特征，注意发现 “底面 ”、高是否已存在？如果没现成的要注意 “一作，二证，三计算 ” 解答本题的关键是确定 “垂直关系 ”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从 “非规范几何体 ”，探索得到线线、线面的垂直关系 试题：（ 1）连结 和 交于 ，连结 ， 1分 为正方形， 为 中点， 为 中点， ，
11、 4分 平面 ， 平面 平面 5分 （ 2）作 于 平面 ， 平面 ， ， 为正方形， ， 平面 ， 平面 ， 7分 ， ， 平面 8分 平面 ， 平面 ， ， ， ， & 已知数列 满足： 且 （ 1）令 ，判断 是否为等差数列，并求出 ； （ 2）记 的前 项的和为 ，求 答案：（ 1） 是以 为首项，以 为公差的等差数列，； （ 2） 试题分析：（ 1）注意从 出发，确定 数列中相邻项的关系，得到 ，再根据 为首项，以 为公差的等差数列 ，确定通项公式 （ 2）研究发现 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项，以 为公差的等差数列，因此，应用 “分组求和法 ”，计算等比、等差
12、数列数列的和 解得本题的关键是确定数列的基本特征 试题：（ 1） 即 4分 ， 是以 为首项，以 为公差的等差数列 5分 6分 （ 2）对于 当 为偶数时，可得 即 ， 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 8分 当 为奇数时，可得 即 ， 是以 为首项，以 为公差的等差数列 10分 12分 考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式 已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数 （ 1）若 在 处的切线 与直线 垂直，求 的值； （ 2）求 在 上的最小值； （ 3）试探究能否存在区间 ，使得 和 在区间 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间 的特点，并指出 和 在区间 上的单调性；若不
13、能存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） （ 3）当 时，不能存在区间 ，使得 和 在区间 上具有相同的单调性；当 时，存在区间 ，使得 和 在区间上均为减函数 试题分析：（ 1）切点处的导数值，即为切线的斜率，根据 在 处的切线 与直线 垂直，斜率乘积为 ，建立 的方程； （ 2）遵循求导数、求驻点、讨论区间单调性、确定极值（最值）； （ 3）求 的定义域为 ，及导数 根据 时， ，知 在 上单调递减 重点讨论 的单调性 注意到其驻点为 ，故应讨论： ， 的情况，作出判断 综上，当 时，不能存在区间 ，使得 和 在区间 上具有相同的单调性；当 时，存在区间 ，使得 和 在区间上均为减函
14、数 试题：（ 1） ， ， 在 处的切线 与直线 垂直， 3分 （ 2） 的定义域为 ，且 令 ，得 4分 若 ，即 时， ， 在 上为增函数，； 5分 若 ，即 时， ， 在 上为减函数， ； 6分 若 ，即 时， 由于 时， ； 时， 相关试题 2014届山东省青岛市高三 4月统一质量检测考试文科数学试卷（带） 已知动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，记圆心 的轨迹为曲线 ；设 为曲线 上的一个不在 轴上的动点， 为坐标原点，过点 作 的平行线交曲线 于 两个不同的点 （ 1）求曲线 的方程； （ 2）试探究 和 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （ 3）记 的
15、面积为 ，求 的最大值 答案：（ 1）圆心 的轨迹 ： ； （ 2） 和 的比值为一个常数，这个常数为 ； （ 3）当 时， 取最大值 试题分析：（ 1）设圆心 的坐标为 ，半径为 利用已知条件，判断得到动圆 与圆 只能内切， 从而由 ， 判断得出圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且 ， 求得圆心 的轨迹 ： ； （ 2）设 ，研究直线 ，直线与椭圆联立的方程组，应用韦达定理，弦长公式，确定作出结论； （ 3）注意到 的面积 的面积， 利用 到直线 的距离 ，将面积表示为 ，应用 “换元 ”思想， 令 ，得到 应用基本不等式得解 试题：（ 1）设圆心 的坐标为 ，半径为 由于动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，所以动 圆 与圆 只能内切 2分 圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆，其中 ， 故圆心 的轨迹 ： 4分 （ 2）设 ，直线 ，则直线由 可得： ， 6分 由 可得： 8分 和 的比值为一个常数，这个常数为 &nb
