1、2014届江苏省无锡市市北高中高三期初考试文科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ， ，则 . 答案： 试题分析：根据并集的定义有 ，再由补集的定义有. 考点：集合的运算 . 已知函数 ，若 ,且 ，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：画出函数图象，从图象上可知 ，所以由可得 ，所以 ，设 ， ，当 时， ，当 时，所以函数 在 上的最小值为 . 考点：二次函数、导数的应用 . 已知 是边长为 4的正三角形， 是 内部两点，且满足， ，则 的面积为 答案： 试题分析：以 为原点，以 的垂直平分线为 轴建立如图所示坐标系，由三角形边长为 4得 ， ，得 ，故 ，又由 ，由图可知 的
2、面积 . 考点：向量的运算，数形结合的思想 . 函数 在区间 上的最小值为 _ 答案： 试题分析：求导得 ，当 ， ，所以 在区间是增函数，所以它的最小值为 . 考点：函数的导数及其应用 . 设 ，则 的值为 答案： 试题分析： 是由反比例函数 先向右平移 17个单位，再向上平移 1个单位得到的，所以它关于点 对称，所以当 时，所以 . 考点：函数的中心对称，数列的求和 . 椭圆中有如下结论：椭圆 上斜率为 1的弦的中点在直线 上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线上斜率为 1的弦的中点在直线 上 答案： 试题分析：根据结构上的类似容易类比得到结论，下面给出证明：设双曲线上斜率为 1的弦的两
3、端点 ，则 ，且 ，两式相减得 ，由得 ，也即 ，所以弦 的中点在直线 上 . 考点：合情推理和演绎推理 . 已知函数 的图象关于直线 对称，则 的单调递增区间为 答案： 试题分析：因为函数 图象的对称轴为 ，所以也就是函数的最值 ，解得 ，所以 ， 由不等式 得 ，所以函数的递增区间为 . 考点：三角函数的图象与性质 . 已知 都是单位向量，且 ，则 的值为 答案： 试题分析：由 得 ，两边平方得 ，又都是单位向量，所以有 ，所以 . 考点：向量的数量积 . 设 ，函数 有意义 , 实数 取值范围 . 答案： 试题分析：由题意得， 对 都成立，当 时，显然成立，或当 即 时不等式也成立，所以
4、实数 取值范围 . 考点：对数函数的定义域、一元二次不等式 . 若方程 的解所在区间为 ，则 . 答案： 试题分析：设 ，则函数 是增函数，又 ，所以函数在区间 有唯一零点，所以方程的唯一解所在区间为，所以 . 考点：函数的零点、根的存在性的判定 . 若正实数 满足 ，则 的最小值是 _ 答案： 试题分析：因为 是正实数，所民由基本不等式得，设 ，则 ，即，所以 ，所以 ，所以 的最小值是 18. 考点：基本不等式、一元二次不等式 . 在等差数列 中，若 ，则 答案： 试题分析：设 的公差为 ，所以 . 考点：等差数列的通项公式和性质 . = 答案： 试题分析： . 考点：复数的四则运算 .
5、函数 的最小正周期是 答案： 试题分析： ，所以函数的最小正周期 . 考点：二倍角公式、三角函数的周期 . 解答题 设二次函数 在区间 上的最大值、最小值分别是，集合 （ ）若 ，且 ，求 的值； （ ）若 ，且 ，记 ，求 的最小值 答案：（ ） ， ；（ ） . 试题分析：（ ）由方程的根求出函数式，再利用函数的单调性求出最值；（ ）由方程有两相等实根 1，求出 的关系式，消去 得到含有参数函数式，进一步求出 ，再由 的单调性求出最小值 . 试题：（ ）由 ，可知 1分 又 ，故 1和 2是方程 的两实根，所以 3分 解得， 4分 所以， 当 时 ，即 5分 当 时 ，即 6分 （ ）由题
6、意知方程 有两相等实根 1，所以 ，即 ， 8分 所以， 其对称轴方程为 ， 又 ，故 9分 所以， 10分 11分 14分 又 在 单调递增，所以当 时， 16分 考点：二次函数的式、二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性 . 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求在 的延长线上， 在 的延长线上，且对角线 过 点 .已知米， 米。 （ 1）设 （单位：米），要使花坛 的面积大于 32平方米，求 的取值范围； （ 2）若 （单位：米），则当 ， 的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积 . 答案：（ ） ；（ ）花坛 的面积最大 27平方米，此时 米， 米 . 试
7、题分析：（ ）把 用 表示后，再把矩形 面积表示出来，解不等式可得；（ ）对（ ）中的函数式，以导数为工具，求出最大值 . 试题：由于 即 ，则 故 4分 （ 1）由 得 ， 因为 ，所以 ，即 从而 或 即 长的取值范围是 8分 （ 2）令 ，则 11分 因为当 时， ，所以函数 在 上为单调递减函数， 从而当 时 取得最大值，即花坛 的面积最大 27平方米， 此时 米， 米 16分 考点：函数的应用、导数的应用 . 如图，在 中， 边上的中线 长为 3，且 ， （ ）求 的值；（ ）求 边的长 答案：（ ） ；（ ） 4； 试题分析：（ ）由条件可求出 ， 的正弦值，再用差角公式即可求出；
8、（ ）在 可用正弦定理求出 ，从而得到 ，在中再应用余弦定理则可求出 . 试题：（ ）因为 ，所以 2分 又 ,所以 4分 所以 7分 （ ）在 中 ,由正弦定理 ,得 ,即 ,解得 10分 故 ,从而在 中 ,由余弦定理 ,得，所以 14分 考点：正弦定理、余弦定理的应用 . 已知 ， （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 ， 求 的值 答案：（ ） ；（ ） 或 7. 试题分析：（ ）根据向量的数量积的坐标表示，转化为三角函数运算即可；（ ）由 ，可求出 ，联系条件，可用 “凑角法 ”，. 试题：（ 1） ， 5分 （ 2） ， ， ， 7分 9分 或 14分 考点：向量的数量积、三角函数
9、公式的应用 . 如图，正三棱柱 中，点 是 的中点 . （ ）求证 : 平面 ； （ ）求证 : 平面 . 答案：（ ）详见；（ ）详见 . 试题分析：（ ）欲证线面垂直，先考察线线垂直，易知 和，所以 平面 ；（ ）线面平行，先构造线线平行，根据中点，易想到构造三角形中位线，连接 ,设 ，则可达到目的. 试题：（ ）因为 是正三角形 ,而点 是 的中点，所以3 分 又三棱柱 是正三棱柱，所以 面 ， 面 ，所以， ，所以 平面； 7 分 （ ）连接 ,设 ,则 为 的中点 ,连接 ,由 是 的中点 , 得 11 分 又 面 ,且 面 ,所以 平面 .14 分 考点：直线与平面平行的判定、直线
10、与平面垂直的判定 . 已知数列 中， ，前 和 （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值，若不存在，试说明理由 . 答案：（ ）详见；（ ） ；（ ）存在， 试题分析：（ ）对条件式进行变形，得到递推关系 得证；（ ）由条件求出首项和公差即得；（ ）利用裂项相消法求出 ，再考察的上确界，可得 的最小值 . 试题：（ ）因为 ，所以 ， 所以 ， 整理，得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以，数列 为等差数列。 （ ） ， ，所以 ， 即为公差， 所以 ； （ ）因为 ， 所以 ， 所以对 时， ，且当 时， ，所以要使 对一切正整数 都成立，只要 ，所以存在实数 使得 对一切正整数都成立， 的最小值为 . 考点：等差数列、数列的求和、不等式、裂项相消法 .
