2014届江苏省高三百校联合调研测试（一）数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届江苏省高三百校联合调研测试（一）数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 , ,则 答案： 试题分析：此题主要考查集合运算中的交集，难度较小 .由已知得，所以 . 考点： 1.指数不等式； 2.集合运算 . 如图，已知 O的半径为 1， MN是 O的直径，过 M点作 O的切线 AM， C是 AM的中点， AN交 O于 B点，若四边形 BCON是平行四边形 .求 AM的长； 答案： 试题分析：由题意若求 的长，则要找到 与半径 或直径 之间的长度关系，因为 是切线，所以 ，又四边形 是平行四边形，所以 ，从而 ，连接 ，因为 是直径，所以 为直角三角形，又点 是 的中点，所以 ，由直

2、角三角形的性质可知为等腰直角三角形，所以可求得 . 试题：连接 ，则 ，因为四边形 是 平行四边形，所以 ，因为 是 O的切线，所以 ，可得 ，又因为 是的中点，所以 ，得 ，故 . 考点： 1.圆的切线； 2.等腰直角三角形 . 记实数 中的最大数为 ，最小数为 .已知实数 且三数能构成三角形的三边长，若 ，则的取值范围是 . 答案： 试题分析：显然 ，又 ， 当 时， ，作出可行区域 ，因抛物线 与直线 及在第一象限内的交点分别是（ 1， 1）和 ，从而 当 时， ，作出可行区域 ，因抛物线 与直线 及在第一象限内的交点分别是（ 1， 1）和 ，从而 综上所述， 的取值范围是 。 考点：不

3、等式、简单线性规划 . 已知圆 ，点 在直线 上，若过点 存在直线 与圆交于 、 两点，且点 为 的中点，则点 横坐标 的取值范围是 答案： 试题分析：法一：数形结合法：设 ，由题意可得 ，即，解之得 法二：设点 ， ，则由条件得 A点坐标为， ，从而 ， 整理得 ， 化归为 ， 从而 ， 于是由 得 。 考点：直线与圆关系 . 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 .若对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由条件 得 ，两式相减得，故 ，两式再相减得 ，由 得， ，从而 ； 得， ，从而 ，由条件得，解之得 考点：数列通项、前 项和的概念 . 如图， 是半径为

4、1的圆 的直径， ABC是边长为 1的正三角形，则 的最大值为 答案： 试题分析：由图可知 ， ，从而，记 ，则，故当 时，的最大值为 . 考点： 1.向量数量积； 2.两角和差正弦、余弦公式 . 函数 的所有零点之和为 答案： 试题分析：设 ，则 ，原函数可化为 ，其中 ，因 ，故 是奇函数，观察函数 与 在的图象可知，共有 4个不同的交点，故在 时有 8个不同的交点，其横坐标之和为 0，即 ，从而 . 考点： 1.函数零点； 2.正弦函数、反比例函数 . 投掷一枚正方体骰子 (六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为 ,又表示集合的元素个数 , ,则 的概率为 答案

5、： 试题分析：由 知 ,函数 和 的图像有四个交点 ,所以的最小值 , ,所以 的取值是 .又因为 的取值可能是种 ,故概率是 考点： 1.古典概型； 2.方程的解 （函数的交点）； 3.集合 . 在 R上定义运算 ： a b ab 2a b，则不等式 x (x-2) 0的解集是 答案： 试题分析：此题属于概念题，考查应变能力，难度不大 .由定义可知，原不等式可化为 ，解之得 。 考点： 1.概念题； 2.二次不等式 . 已知正三棱柱底面边长是 2，外接球的表面积是 ，则该三棱柱的侧棱长 答案： 试题分析： 该三棱柱外接球的表面积是 ， 该球的半径 R=2，又正三棱柱底面边长是 2， 底面三角

6、形的外接圆半径 ， 该三棱柱的侧棱长是. 考点：简单组合体 . 已知 ，则 _. 答案： 试题分析：此题主要考查三角函数商关系及二倍角公式的简单应用，难度不大 .由条件得 ，从而 考点：三角函数商关系、二倍的正切公式 . 已知双曲线 的右焦点为 ，则该双曲线的渐近线方程为 _. 答案： 试题分析：此题主要考查双曲线的内容，难度不大 .由条件得 ， ，从而双曲线方程为 ，故渐近线方程为 . 考点：双曲线 . 某算法的伪代码如图所示 ,若输出 y的值为 1,则输入 的值为 答案： -1或 2014 试题分析：此题主 要考查对条件语句的理解，难度不大 .根据题意可知，当 时，由 得 ，当 时，由 得

7、 ，综上所述，输入 的值为 -1或 2014 考点：程序语句 . 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在 2500，3000）（元）月收入段应抽出 人 答案： 试题分析：此题主要考查频率分布直方图结构的 认识，难度较小 .从频率分布直方图可知， 各组的人数纵坐标 组距 总人数，所以月收入从 1000至 4000的人数依次是 1000、 2000、 2500、 2500、 1500、 500，从而所求人数是

8、. 考点：频率分布直方图 . 复数 (i是虚数单位 )是纯虚数 ,则实数 的值为 答案： 试题分析：此题主要考查复数的内容，难度较小 .首先将复数进行分母有理化，找到复数的实部，又由该复数是纯虚数，令实部为 0，虚部不为 0，可得解 .由原式= ，故 ， ，所以正确答案：为 4. 考点：复数 解答题 如图， 是直角梯形， 90， ， 1， 2，又 1， 120， ，直线 与直线 所成的角为 60. （ 1）求二面角 的的余弦值； （ 2）求点 到面 的距离 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：此题可用向量法来求解 .（ 1）由题意易知 ，则在平面内过点 作 交 于点 ，分别以 、 、

9、 为 轴， 为原点建立空间直角坐标系 ，找出相应点的坐标，由直线 与直线 所成角为，求出点 的坐标，从而可确定点 的坐标，由平面 内向量 、 可求得平面平面 的法向量 ，平面 法向量为 ，根据向量的数量积公式，可求出向量 与 夹角的余弦值，从而求出所求二面角的余弦值；（ 2）先求出平面 的法向量 ，又点 在平面 内，可求出向量 的坐标，由点到平面的向量计算公式 可求得点 到平面 的距离 . 试题：（ 1） 在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图） 由题意有 ，设 ， 则 由直线 与直线 所成的解为 ，得 ， 即 ，解得 ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ，得 ，平面 的法向量取

10、为 设 与 所成的角为 ，则 显然，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 5分 （ 2） ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ，则 ， 取 相关试题 2014届江苏省高三百校联合调研测试（一）数学试卷（带） 已知 ，且 ，求 的最小值 答案： . 试题分析：观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件 化为 ，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当 ，即 ，或时，等号成立，从而可得 的最小值为 1. 试题： , , , ， 当且仅当 ，或 时 的最小值是 1. 考点：柯西不等式 . 已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （ 为参数） 设直线与 轴的交点是 , 是曲线 上一

11、动点 ,求 的最大值 . 答案： 试题分析：首先将曲线 的极坐标方程、直线的参数方程转化为直角坐标方程，可知，曲线 是以 为圆心， 1为半径的圆，由直线的直角坐标方程得，令 ，可求出点 的坐标，则点 与圆心 的距离 可以求，从而可得曲线 上的动点 与定点 的最大值为 . 试题：曲线 的直角坐标方程为 ，故圆 的圆心坐标为 (0,1)，半径 直线 l的直角坐标方程 , 令 ,得 ,即 点的坐标为 (2,0). 从而 ,所以 .即 的最大值为 。 考点： 1.圆的极坐标方程； 2.直线的参数方程； 3.定点到动点的最大值 . 已知二阶矩阵 M有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M对应的变换

12、将点 变换成 ，求矩 阵 M。 答案： 试题分析：先设所求矩阵 ，根据题意，由矩阵的特征值、特征向量定义得 ，从而有 ，又由矩阵 对应的变换将点 变换成，得 ，从而有 ，联立两个方程组可解得 ，即可求出知阵 . 试题：设矩阵 ，则由条件得 ，从而 ， 又 ，从而 ，联立，解之得 , 故 考点： 1.矩阵的特征值、特征向量； 2.变换 . 已知函数 ( )，其图像 在 处的切线方程为 函数 ， （ 1）求实数 、 的值； （ 2）以函数 图像上一点为圆心， 2为半径作圆 ，若圆 上存在两个不同的点到原点 的距离为 1，求 的取值范围； （ 3）求最大的正整数 ，对于任意的 ，存在实数 、 满足

13、，使得 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）由已知可先求出切点坐标和斜率，又切点在函数 图象上，且在该处的导数等于切线的斜率，从而可列方程组为 ，故可求出实数 的值；（ 2）根据题意可将问题转化为圆 与以原点 为圆心、 1为半径的圆 有两个不同交点，即两圆相交，考虑到两圆的半径差为 1、和为 3，所以两圆心距离的范 围应为 ，再通过配方法，从而可求出实数 的取值范围；（ 3）考虑到函数 在区间 上为减函数，又 ，所以 ，若，则对任意 ，有 ，即当 时，要有 ，整理有 ，令 ，由函数的单调性、最值及零点可得，从而问题可得证，这题有一定难度 . 试题：（ 1） 当 时，

14、， ，故 ，解得 3分 （ 2）问题即为圆 与以 为圆心 1为半径的圆有两个交点，即两圆相交设 ，则 ，即 ， ， ， 必定有解； 6分 ， ， 故 有解，须 ，又 ，从而 8分 （ 3）显然 在区间 上为减函数，于是 ，若，则对任意 ，有 当 时， ，令 ， 则 令 ，则 ，故 在上为增函数，又 ， ，因此存在唯一正实数 ，使 故当 时， ， 为减函数；当时， 为增函数，因此 在 有最小值 ，又，化简得 相关试题 2014届江苏省高三百校联合调研测试（一）数学试卷（带） 已知二项式 的展开式中第 2项为常数项 ，其中 ，且展开式按 的降幂排列 （ 1）求 及 的值 （ 2）数列 中， ， ，

15、 ，求证： 能被 4整除 答案：（ 1） ， ；（ 2） )证明过程详见 . 试题分析：（ 1）由展开式中第 2项为常数项，则可根据二项式展开式的第 2项展开式中未知数 的指数为 0，从而求出 的值，将 的值代回第 2项展式可求出 的值；（ 2）可利用数学归纳法来证明， 当 时， ， ，能被 4整除，显然命题成立； 假设当 n=k时， 能被 4整除，即那么当 n =k+1时， = = = 显然 是非负整数， 能被 4整除 由 、 可知，命题对一切 都成立 试题：（ 1） ， 2分 故 ， ， 4分 （ 2）证明： 当 时， ， ，能被 4整除 假设当 n=k时， 能被 4整除，即 ，其中 p是非负整数 那么当 n =k+1时， = = = 显然 是非负整数， 能被 4整除 由 、 可知，命题对一切 都成立 10分 考点： 1.二项式定理； 2.数学归纳法 .