1、2014届河南省南阳市第一中学高三 10月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，得 ，所以选 B. 考点：函数的定义域 . 定义域为 的函数 图像的两个端点为 、 ， 是图象上任意一点，其中 已知向量，若不等式 恒成立，则称函数 在 上“ 阶线性近似 ”若函数 在 上 “ 阶线性近似 ”，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意知 ， ， ，故 ，令， ，由 得 ，在 是增函数，在 是减函数，由 ，所以 ， ，选 D. 考点：向量、函数与不等式的综合运用 . 已知曲线方程 ，若对任意实数 ，
2、直线都不是曲线 )的切线，则 的取值范围是（ ） A B C D 且 答案： B 试题分析： ，直线 的斜率为 -1，由题意知关于 的方程 无解，所以 ，解得 或 ，选 B. 考点：导数的几何意义 . 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数 ，所以函数在 上是增函数，由得 ，解得 或 ，所以选 C. 考点：函数的单调性 . 如下面左图所示，半径为 的 切直线 于 ，射线 从 出发绕着 点顺时针旋转到 旋转过程中， 交 于 记 为 、弓形 的面积为 ，那么 的图象是下面右图中的（ ） 答案： A 试题分析：由弓形面积的变化规律可以看出，函数 的图
3、象应关于点成中心对称，排除 C， D，当 时， ，又排除 B，所以选 A. 考点：函数的图象 . 若曲线 的所有切线中，只有一条与直线 垂直，则实数 的值等于（ ） A 0 B 2 C 0或 2 D 3 答案： B 试题分析： ，直线 的斜率为 ，由题意知关于的方程 即 有且仅有一解，所以 ，所以选 B. 考点：导数的几何意义 . 已知 ，命题 ，则（ ） A 是假命题 ; B 是假命题 ; C 是真命题 ; D 是真命题 答案： D 试题分析： 恒成立，所以 在 是减函数，所以，故 是真命题，由全称命题的否定知，选 D. 考点：全称命题的否定、不等式恒成立 . 定义运算 ，如 ，令 ，则 为
4、（ ） A奇函数，值域 B偶函数，值域 C非奇非偶函数，值域 D偶函数，值域 答案： B 试题分析：显然函数 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数， ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，所以当 时， 取得最大值 1，所以选 B. 考点：指数函数的图象和性质 . 设函数 ，若 ，则 （ ） A B C D 2 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ， ，选 C. 考点：微积分基本定理 . 已知定义在 上的奇函数 ，满足 ,且在区间 上是增函数 ,则 ( ). A B C D 答案： D 试题分析：由 得 ，又 是 上的奇函数，得 ，所以 ，所以函数 是以 8为周期的周期函数，所以 ， ，
5、又奇函数 在 上是增函数，所以 在 上是增函数，所以 ，即得 ，选 D. 考点：函数的奇偶性、函数的周期性 . 函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：若 ，则 不可能为减函数，当 时，由函数在 上为减函数，知 在 恒成立，等价于，即 ，得 ，所以 的取值范围是是 ，选 B. 考点：对数函数，复合函数的单调性 . 函数 的最大值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 ，得 ，又函数 在定义域上显然是增函数，所以当 时， 取最大值 ，选 C. 考点：函数的单调性和最值 . 填空题 已知 ,若存在 ,使得,则 的取值范围是 _ 答案： 试题分
6、析：存在 ,使得 等价于，根据基本不等式得， ，当时，取等号，即 ； ，所以 在 是减函数，在 是增函数， ，而 ，令 ，所以 在定义域上是增函数，所以有，所以 ，即 ，易知， ，由得 ，所以 的取值范围是 . 考点：函数的综合应用 . 若函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：函数 在 上有两个零点即直线 与函数的图象有两个交点， ，所以 在 是减函数，在 上是增函数， ，所以实数 的取值范围是. 考点：函数零点、函数的最值 . 答案： 试题分析：，或画出函数的图象，可以求出它在区间 与 轴围成的面积是 3，由定积分的几何意义知答案：为 3. 考点：定积分的计算
7、、定积分的几何意义 . 函数 的递减区间是 _ 答案： 和 试题分析： ，这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为 和 . 考点： .函数的单调性 解答题 函数 .若 的定义域为 ，求实数 的取值范围 . 答案： . 试题分析：由 的定义域为 可知 恒成立，这时要分 和 两种情况讨论，当 时，比较简单，易得结果，当 时，函数 为二次函数，要使 恒成立，由二次函数的图象应有， ，如此便可求出 的取值范围 . 试题：（ 1）当 时， ， 的定义域为 ，符合题意； （ 2）当 时， ， 的定义域不为 ，所以 ； （ 3）当 时， 的定义域为 知抛物线全部在 轴上
8、方（或在上方相切），此时应有 ，解得 ； 综合（ 1），（ 2），（ 3）有 的取值范围是 . 考点：二次函数、函数的定义域 . 已知函数 ， ， 的定义域为 （ 1）求 的值； （ 2）若函数 在区间 上是单调递减函数，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1） 得 ，易得 ；（ 2）函数 在区间 上是单调递减函数，则可由减函数的定义得到不等式恒成立，求出的取值范围，或由函数的导函数 在 恒成立求出 的取值范围 . 试题：（ 1）由 得 ，所以 ，即 ； （ 2）解法一：由（ 1）知 设 ，因为 在区间 上是单调减函数 所以 恒成立，即恒成立，由于 ，所以实数
9、的取值范围是 解法二：由（ 1）知 ，因为 在区间 上是单调减函数， 所以有 在 恒成立，即 在 恒成立，所以 所以实数 的取值范围是 考点：函数的单调性，恒成立问题 . 已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ，有 恒成立 . （ 1）判断 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （ 2）若 对所有 恒成立，求实数 的取值范围。 答案：（ 1）增函数，证明详见；（ 2） 或 或 试题分析：（ 1）要判断函数的单调性一般可用增函数和减函数的定义或利用导函数判断，由于本题没有函数式，再结合题目特点，适于用定义判断，解决问题的关键是对照增函数和减函数的定义，再结合奇函数的条件，怎样通过适当的赋值
10、构造出与 和 相关的式子，再判断符号解决，通过观察，只要令 即可； (2)不等式恒成立问题一般要转化为函数的最值问题，先将原问题转化为 对任意 成立，再构造函数，问题又转化为任意 恒成立，此时可对 的系数 的符号讨论，但较为繁琐，较为简单的做法是只要 满足 且即可 . 试题：（ 1）设 且 ，则 ， 是奇函数 由题设知 且 时 ， 即 在 上是增函数 （ 2）由（ 1）知， 在 上是增函数，且 要 ，对所有 恒成立，需且只需 即 成立， 令 ，对任意 恒成立 需且只需 满足 ， 或 或 考点：函数的单调性、不等式恒成立 . 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度
11、 （千米 /每小时）的函数式可以表示为，已知甲、乙两地相距 100千米 . （ 1）当汽车以 40千米 /小时的速度行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （ 2）当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 答案：（ 1） 17.5；（ 2） 80， 11.2. 试题分析：（ 1）求从甲地到乙地要耗油多少升，需要知道行驶时间和每小时的耗油量，行驶时间可由路程和行驶速度得出，而每小时耗油量是行驶速度的函数，可由条件 中的函数关系式求出；（ 2）设速度为 千米 /小时，与（ 1）相同，可分别求出行驶时间和每小时的耗油量，则甲地到乙地耗油油量是速度的函数，列出函数关系式，再用导数求函数
12、的最值 . 试题：（ 1）当 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，要耗油 （升） 所以，当汽车以 40千米 /小时的速度行驶时，从甲地到乙地要耗油 17.5升 （ 2）设速度为 千米 /小时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为升，依题意得 令 ，得 当 时， ， 是减函数 ,当 时， ， 是增函数 当 时， 取得极小值 此时 （升） 答：当汽车以 80千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙耗油量少，最少为11.2升 考点：函数的应用，与导数与函数的单调性最值 . 已知函数 . （ 1）若函数 在 处取得极值，且函数 只有一个零点，求 的取值范围 . （ 2）若函数 在区间 上
13、不是单调函数，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）函数 在 处取得极值，知 ，再由函数 只有一个零点和函数的图象特点判断函数 的极大值和极小值和 0的大小关系即可解决，这是解决三次多项式函数零点个数的一般方法，体现了数形结合的数形思想；（ 2）三次函数的导函数是二次函数，要使三次函数在 不是单调函数，则要满足导数的 ，要使函数 在区间 上不是单调函数，还要满足三次函数的导函数在 上至少有一个零点 . 试题：（ 1） ，由 ， 所以 ， 可知：当 时， ， 单调递增；当 时， ，单调递减； 当 时， ， 单调递增；而 . 所以函数 只有一个零点 或 ，解得 的取
14、值范围是. .由条件知方程 在 上有两个不等的实根，且在至少有一个根 .由 ； 由 使得： . 综上可知： 的取值范围是 . 考点：三次函数的零点、三次函数的单调性 . 已知函数 （ ）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围； （ ）当 时，方程 有实根，求实数 的最大值 . 答案：（ ） ；（ ） 0 试题分析：（ ）函数 在 上为增函数，则它的导函数 在上恒成立，于是问题转化为不等式恒成立问题，这类问题若方便分离参数一般分离参数，若不方便分离参数，则可从函数自身的单调性解决，但往往会涉及分类讨论，较为麻烦，根据题目特点，本题需要采用第二种方法；（ ）这是一个由方程有解求参数取值范围（或最值
15、）的问题，这类问题若方便分离参一般可分离参数，转化为求函数的值域问题，若不方便分离参数，则根 据函数类型，采用数形结合方法解答，本题适合于第一种方法，但本题分离参数后，若直接求 的最值，则较为困难，比较巧妙的做法是，将问题转化为求 的最值 . 试题：（ I）因为函数 在 上为增函数，所以 在 上恒成立 当 时， 在 上恒成立， 所以 在 上为增函数，故 符合题意 当 时，由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，故只能 ，所以 在 上恒成立 令函数 ，其对称轴为 ，因为 ，所以 ，要使 在 上恒成立，只要 即可， 即 ，所以 因为 ，所以.综上所述， 的取值范围为 （ ）当 时， 可化为 ， 问题转化为 在 上有解， 即求函数 的值域， 令 ， ， 所以当 时， ， 在 上为增函数，当 时， ，在 上为减函数，因此 ， 而 ，所以 ，即当 时， 取得最大值 0. 考点：函数的单调性、函数与方程的综合问题 .
