1、2014届福建福州一中高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 （ 是虚数单位），则复数 的实部是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 （ 是虚数单位），则复数，所以复数 的实部是 .故选 D.本小题关键是考查复数的除法运算，其中虚数单位的运算与实数的运算的差异较大 .是易错点 . 考点： 1.复数的除法运算 .2.复数的代数表达形式 . 已知函数 的定义域为 R，若存在常数 ，对任意 ，有，则称 为 函数给出下列函数： ； ； ； ； 是定义在 R上的奇函数，且满足对一切实数 均 有 其中是 函数的序号为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由函数
2、的定义域为 R，若存在常数 ，对任意 ，有，则称 为 函数 .因为 ，所存在 m使得 恒成立，所以 正确 .若成立，则 .显然不存在这样的 m.所以 不正确 . 若存在常数 ，对任意 都有 成立，当 x=0时不成立 .，所以 不正确 .显然存在 m，所以 正确 . 若 是定义在 R上的奇函数，且满足对一切实数 均 有 ，令 或 等于零时，即符合要求 .综上所以 正确 .故选 C. 考点： 1.新定义的问题 .2.不等式恒成立问题 .3.函数的最值 .4.假命题的证明方法 .5.特值法的思想 . 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， P为双曲线右支上一点，满足 ，直线 与圆 相切，则该双曲线的离心
3、率为（ ） A B C D 2 答案： C 试题分析：因为过 0作直线 的垂线，垂足为 A，则 ,过点 作直线的垂线，垂足为 B.由于点 O为 的中点 . ,所以点 B是线段 的中点， .又因为 ， .所以.所以在直角三角形 中可得 .所以可得 .故选 C. 考点： 1.圆锥曲线的定义 .2.等腰三角形的性质 .3.直线与圆相切的性质 .4.方程的思想 . 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P处有一棵树与两墙的距离分别 是 、 4m，不考虑树的粗细，现在用 16m长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的共圃 ABCD，设此矩形花圃的面积为 Sm2， S的最大值为 ，若将这棵树围在花圃中，则函
4、数 的图象大致是（ ） 答案： C 试题分析：假设 则 .所以 即 .花圃的面积为 （ ） .所以 时 , .当 时，这一段的图像是递减的，故选 C. 考点： 1.阅读理解清题意 .2.二次函数的最值问题 .3.含参数的最值的 求法 . 是半径为 1的圆的直径，在 AB上的任意一点 M，过点 M作垂直于 AB的弦，则弦长大于 的概率是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 是半径为 1的圆的直径，在 AB上的任意一点 M，过点 M作垂直于 AB的弦，则弦长 当弦长为 时，弦心距为 .所以弦长大于 时点 M的移动范围为 1个单位 .根据几何概型的概率为 .故选 C. 考点： 1.几
5、何概型 .2.解三角形的知识 . 将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 1个单位，所得到函数的图像对应的式为 ( ) AB C D 答案： C 试题分析：因为将函数 的图像向右平移 个单位，可得到函数图像对应的函数式为 .再向上平移 1个单位，所得到函数的图像对应的式为.化简可得 ，即 .故选 C. 考点： 1.函数图像的左右上下平移规则 .2.三角形函数二倍角公式 . 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为针对分段函数的单调性需要具备两个条件，一是各段内要单调，二就是在临界点前后出要保持一致的单调性 .由于函数 在 上是单调递增的
6、，所以在 方面需要满足 即 ，所以 .故选 A. 考点： 1.分段函数的单调性 .2.正切函数的性质与图像 .3.一次函数的单调性 . 在 ABC中， BC=1， B= , ABC的面积 S= ，则 sinC=（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ABC中， BC=1， B= , ABC的面积 S= ，即.即 .所以 .又由余弦定理可得 ,即可解得 .正弦定理可得,解得 .故选 D. 考点： 1.解三角形的知识 .2. 应用方程的思想求角度线段的长 .3.正余弦定理 . 如图是 2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低
7、分后，所剩数据的平均数和众数依次为 ( ) A 85， 84 B 84， 85 C 86， 84 D 84， 86 答案： A 试题分析：根据茎叶图可知七位评委的最高分数是 93，和最低分数是 79，去掉这两个分数还剩下 84,84,86,84,87五个分数，所以这五个数的平均数为.这五个数的众数为 84.故选 A. 考点： 1.统计的思想及基本数字特征知识 .2.茎叶图的识别 . 已知函数 的图象在 处的切线斜率为 （ ），且当 时，其图象经过 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数 的图象在 处的切线斜率为.所以可得到 ，所以 .又因为当 时，其图象经过 ，即 .所以
8、= .故选 B. 考点： 1.函数的导数的几何意义 .2.数列的思想 .3.等差数列的通项公式 .4函数与数列的交汇 . 已知函数 的单调递减区间是 (0,4),则=( ) A 3 BC 2 D答案： B 试题分析：由函数 ，所以.令 得 .又因为单调递减区间是 (0, 4)，所以可以得到 且 ，解得 .故选B. 考点： 1.函数的导数 .2.函数的单调区间 .3.含参数的数值的判定 . 设条件 ,条件 ,其中 为正常数 .若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围 ( ) A B (0,5) C D (5,+) 答案： A 试题分析：因为条件 ，所以可得 ，又因为条件, 其中 为正常数 . 且
9、 是 的必要不充分，即 ，所以 .故选 A.本小题关键是绝对值不等式的解法以及对充要条件的知识的考查 考点： 1.绝对值不等式的解法 .2.数轴表示解集 .3.充要条件 . 填空题 对于集合 (n N*， n3)，定义集合，记集合 S中的元素个数为 S(A).（ 1）若集合 A 1， 2， 3， 4，则S(A) _. （ 2）若 a1， a2， ， an是公差大于零的等差数列，则 S(A) _ (用含 n的代数式表示 ). 答案：； 试题分析：因为对于集合 (n N*， n3)，定义集合，记集合 S中的元素个数为 S(A).即集合 S中的元素是集合 A中任意两个元素的和的集合 .所以（ 1）若
10、集合 A 1， 2， 3， 4，则 S(A) 5. 当有五个元素的时候 S(A)的个数为 7，以此类推，可得当有 n个元素的时候有 个元素 .故填 . 考点： 1.集合的含义 .2.数列的求和公式 .3.列举类比的思想 . 已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是_. 答案： 试题分析：因为实数 满足约束条件 ， x,y的可行域如图为三角形 ABC围成的区域 .又因为目标函数 .所以要求 z的最小值即为求出 的最小值，即过原点直线的斜率的最小值 .通过图形可知过点 A的 最小，由题意得 A（ 3,1） .所以 z的最小值为 .故填 . 考点： 1.线性规划问题 .2.构造的思想 .3数形结合的
11、思想 . 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面 . 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 ,且该六棱柱的体积为 , 底面周长为 3, 则这个球的体 积为_. 答案： 试题分析：底面周长为 3，所以正六边形的边长为 .则六边形的面积为 .又因为六棱柱的体积为 .即 .由于六棱柱的顶点都在同一个球面上，所以球的半径为 .所以球的体积 .故填 . 考点： 1.球的内接几何体计算 .2.解三角形的知识 .3.空间想象能力 .4.棱柱的体积公式 . 已知 ，则 = . 答案： 试题分析：因为 ，所以 .所以.又因为 即 .故填 . 考点： 1.同角的三角函数的关系 .2.二倍角的公式 .3.应用公式
12、的能力 . 解答题 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足： ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，数列 的最小项是第几项，并求出该项的值 答案：（ 1） ；（ 2） 4,23 试题分析：（ 1）由于 为等差数列，且数列的前 项和为 ，且满足：， 通过假设首项与公差，根据以上两个条件，列出关于首项、公差的两个等式从而解出首项与公差的值 .即可求得等差数列的通项 . （ 2）由（ 1）可求得等差数列的前 n项和的的等式，从而求出数列 的通项公式 .根据数列 的等式再利用基本不等式可求得结论 . 试题：（ 1）设公差为 ，则有 ，即 解得 以 （ 2） 所以 当且仅当 ，即 时取等号， 故
13、数列 的最小项是第 4项，该项的值为 23 考点： 1.等差数列的通项公式，前 n项和公式 .2.基本不等式的应用 . 已知函数 的图象与 y轴的交点为，它在 y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（ 1）求 的式及 的值； （ 2）若锐角 满足 的值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）由图象可得三角函数的最值，周期 .再带一个点即可求出 的值，从而解得函数的式 .又根据函数图像可得对应的 所对的函数值是最大值，所以可求得 的值 .本小题的关键是认真阅读图像 得到相应的条件 . （ 2）由（ 1）得到的函数式，可表示出 的相应关系式，其中涉及正弦与余弦二倍角的公式
14、，分别求得相应的值即可 . 试题：（ 1）由题意得 即 ，所以， ，由 .所以.因为 ，所以 ，.又因为 是最小的正数，所以 . （ 2）因为 所以 ， . 考点： 1.待定系数的方法 .2.阅读图像的能力 .3.二倍角的运算公式 .4.解三角方程的能力 . 甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为 1， 2， 3，4， 5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢 . （ 1）求甲赢且编号和为 6的事件发生的概率； （ 2）这种游戏规则公平吗？试说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）不公平 .理由参考
15、试题分析：（ 1）因为游戏规则是编号分别为 1， 2， 3， 4， 5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢 .该游戏是有放回的，所以总共的基本事件有 25种，再列出符合条件的基本事件数即可得到结论 . （ 2）由于题意可知甲获胜的基本事件共有 13个，所以甲获胜的概率大于乙获胜的概率所以这个游戏不公平 . 试题：（ 1）设 “两个编号和为 6”为事件 A,则事件 A包含的基本事件为（ 1， 5），（ 2， 4）， （ 3， 3），（ 4， 2），（ 5， 1）共 5个， 又甲、乙两人取出的数字共有 55 25（个）等可能
16、的结果， 故 . （ 2）设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 13个： (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。 所以甲胜的概率 , 乙胜的概率 (可省略 ) 所以这种游戏规则是不公平的 . 考点： 1.概率的问题 .2.列举分类的思想 .3.事件的互斥的概念 . 如图四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面是 的中点， . （ 1）试判断直线 与平面 的位置关系，并予以证明； （ 2）若四棱锥 体积为 ， ，求证：平面. 答案：（ 1）
17、参考；（ 2）参考 试题分析：（ 1）由题意判断直线 与平面 的位置关系，这类题型要转化为直线 EF与平面内一条直线平行或则相交，所以转化为平面内两条直线的位置关系 .通过作出直线 EG即可得到直线 EF与直线 CG是相交的，即可得到结论 . （ 2）平面与平面垂直关键是要转化为直线与平面的垂直，通过研究底面平行四边形的边的大小即可得到 BD垂直于 BC.即可得到结论 . 试题：（ 1）直线 与平面 相交 . 证明如下：过 作 交 于 , 由底面 是平行四边形得 ， 相交，故直线 与平面 相交 . （ 2）解：过 B作 四棱锥 体积为 平面 , 平面 考点： 1.线面的位置关系 .2.面面的位
18、置关系 .3.空间想象力 . 已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 轴上 ,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 F1B1 F2B2是一个面积为 8的正方形 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)已知点 P的坐标为 P(-4,0), 过 P点的直线 L与椭圆 C相交于 M、 N两点 ,当线段 MN的中点 G落在正方形内 (包含边界 )时 ,求直线 L的斜率的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）依题意需要求椭圆的标准方程，所以要找到两个关于基本量的等式，由 以及面积的关系可求椭圆的方程 . （ 2）由于直线与椭圆的相交得到的弦 的中点坐标，可通过假设直线方程与椭圆的方程
19、联立可求得，判别式要大于零 .其中用直线的斜率表示中点坐标 .由于中点在正方形内，其实就是要符合一个不等式的可行域问题 .因此通过解不等式即可得到所求的结论 . 试题： (1)求得椭圆 C的方程为 ; ; (2) 点 P的坐标为 (-4,0),显然直线 L的斜率 k存在 , 直线 L方程为 如图设点 M、 N的坐标分别为 , 线段 MN的中点为 ,由 由 0解得 : 又 , , 点 G不可能在 y轴的右边 , 又直线 F1B2, F1B1的方程分别为 . 点 G在正方形 B1F2B1F1内的充要条件为 : 即即 . 考点： 1.椭圆的性质 .2.直线与椭圆的位置关系 .3.线性规划的知识 .4
20、.韦达定理 . 已知函数 的图像在点 处的切线斜率为 10. (1)求实数 的值 ; (2)判断方程 根的个数 ,并证明你的结论 ; (21)探究 : 是否存在这样的点 ,使得曲线 在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 若存在 ,求出点 A的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 答案：（ 1） 8；（ 2）一个，证明参考； (21) 试题分析：（ 1）曲线上切线的斜率是通过导数的几何意义，求曲线的导数再将该点的横坐标代 入即可求得该点的斜率，从而可解得 的值 . （ 2）判断方程的根的情况，一般是通过构造新的函数从而证明函数的与 x轴的交点的个数得到对应方程的根的个数 . (21
21、)因为是否存在这样的点 ,使得曲线 在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 .是通过说明过该点的切线方程与曲线方程联立后，构建一个新的函数，要说明该点不是新函数的极值点即可 . 试题：（ 1）因为 .图像在点 处的切线斜率为 10， .解得 . （ 2）方程 只有一个实根 .证明如下：由（ 1）可知 ，令 ，因为 ， ，所以在 内至少有一个实根 .又因为 .所以在 递增，所以函数 在 上有且只有一个零点，及方程有且只有一个实根 . (21)由 ， ，可求得曲线 在点 处的切线方程为 .即 .记，.若存在这样的点 ，使得曲线在该点附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于 不是极值点，由二次函数的性质可知，当且仅当 时， 不是极值点，即 .所以 在 上递增 .又 ，所以当 时，当 时， ，即存在唯一点 .使得曲线在点 A附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 . 考点： 1.函数求导 .2.函数与方程的根的关系 .3.构建新 函数的思想 .4.正确理解题意建立函数解题的思想 .5.分类猜想等数学思想 .
